第5章 假设检验习题[统计学经典理论]

第五章假设检验
思考与练习
一、单项选择题
1．将由显著性水平所规定的拒绝域平分为两部分，置于概率分布的两边，每边占显著性水平的二分之一，这是（ b ）。

a. 单侧检验
b.双侧检验
c.右侧检验
d.左侧检验
2.检验功效定义为（ b ）。

a. 原假设为真时将其接受的概率
b. 原假设不真时将其舍弃的概率
c. 原假设为真时将其舍弃的概率
d. 原假设不真时将其接受的概率
3.符号检验中，（+）号的个数与（-）号的个数相差较远时，意味着（c ）。

a.存在试验误差（随机误差）
b.存在着条件误差
c.不存在什么误差
d.既有抽样误差，也有条件误差
4.得出两总体的样本数据如下：
甲：8，6，10，7，8 乙：5，11，6，9，7，10 秩和检验中，秩和最大可能值是（ c ）。

a. 15
b. 48
c. 45
d. 66
二、多项选择题
1.显著性水平与检验拒绝域关系（ a b d ）
a. 显著性水平提高（α变小），意味着拒绝域缩小
b. 显著性水平降低，意味着拒绝域扩大
c. 显著性水平提高，意味着拒绝域扩大
d. 显著性水平降低，意味着拒绝域扩大化
e. 显著性水平提高或降低，不影响拒绝域的变化
2. β错误（ a c d e ）
a. 是在原假设不真实的条件下发生
b. 是在原假设真实的条件下发生
c. 决定于原假设与真实值之间的差距
d. 原假设与真实值之间的差距越大，犯β错误的可能性就越小
e. 原假设与真实值之间的差距越小，犯β错误的可能性就越大
三、计算题
1．假设某产品的重量服从正态分布，现在从一批产品中随机抽取16件，测得平均重量为820克，标准差为60克，试以显著性水平α=与α=，分别检验这批产品的平均重量是否是800克。

解：假设检验为800:,800:0100≠=μμH H (产品重量应该使用双侧检验)。

采用t 分布的检验统计量n x t /0σμ-=。

查出α＝和两个水平下的临界值(df=n-1=15)为和。

667.116/60800820=-=t 。

因为t ，所以在两个水平下都接受原假设。

2．某牌号彩电规定无故障时间为10 000小时，厂家采取改进措施，现在从新批量彩电中抽取100台，测得平均无故障时间为10 150小时，标准差为500小时，能否据此判断该彩电无故障时间有显著增加(α=)？
解：假设检验为10000:,10000:0100>=μμH H （使用寿命有无显著增加，应该使用右侧检验）。

n=100可近似采用正态分布的检验统计量n x z /0σμ-=。

查出α＝水平下的反查正态概率表得到临界值2到4之间（因为表中给出的是双侧检验的接受域临界值，因此本题的单侧检验显著性水平应先乘以2，再查到对应的临界值）。

计算统计量值3100/5001000010150=-=z 。

因为42)，所以拒绝原假设，无故障时间有显著增加。

3．回顾本章开头的案例，医院从2008年元旦出生的新生儿中随机抽取了50名，测量他们的平均体重为3300克，而
2007年元旦时抽取的50名新生儿的平均体重是3200克。

现假设根据以住的调查，新生儿体重的标准差是65克。

试问：
（1）以0.05的显著性水平，检验新生儿体重在这两年中是否有显著的变化？
（2）计算检验的p-值，并根据p-值重新检验（1）中的结论。

解：（1）假设检验为3200:,3200:0100>=μμH H 。

新生儿体重服从正态分布，构造检验统计量n x z /0σμ-=。

查出α＝水平下的临界值为1.645。

计算统计量值10.8785750/6532003300=-=z 。

因为z>1.645，所以拒绝原假设。

（2）对应p 值＝1/2*(1-F(z)) ，由于z »3，可以认为p 值几乎等于0，拒绝原假设。

（1）、（2）都说明这两年新生儿的体重显著增加了。

4．某加油站经理希望了解驾车人士在该加油站的加油习惯。

在一周内，他随机地抽取100名驾车人士调查，得到如下结果：平均加油量等于13.5加仑，样本标准差是3.2加仑，有19人购买无铅汽油。

试问：
(1)以0.05的显著性水平，是否有证据说明平均加油量并非12加仑？
(2)计算(1)的p-值。

(3)以0.05的显著性水平来说，是否有证据说明少于20%的驾车者购买无铅汽油？
(4)计算(3)的p-值。

(5)在加油量服从正态分布假设下，若样本容量为25，计算(1)和(2)。

解：(1)(2)假设检验为12:,12:0100≠=μμH H 。

采用正态分布的检验统计量n x z /0σμ-=。

查出α＝水平下的临界值为。

计算统计量值6875.4100/2.3125.13=-=z 。

因为，所以拒绝原假设。

对应p 值＝2(1-F(z)) ，查表得到F(z)在0.999 994和0.999 999之间，所以p 值在0.000 006和0.000 001之间（因为表中给出了双侧检验的接受域概率，因此本题中双侧检验的p 值＝
1-F(|z|)，直接查表即得F(|z|)）。

p 值，拒绝原假设。

都说明平均加油量并非12加仑。

(3)(4)假设检验为%20:%,20:10<=p H p H 。

采用成数检验统计量()n p p p P z /1--=。

查出α＝水平下的临界值为和5之间。

计算统计量值()5.2100/2.012.020.019.0-=--=z ，因此z ＝－2.5<-1.65(<-1.64)，所以拒绝原假设。

p 值为（因为本题为单侧检验，p 值＝(1-F(|z|))/2 ）。

显然p 值，所以拒绝原假设。

(5) 假设检验为12:,12:0100≠=μμH H 。

采用正态分布的检验统计量n x z /0σμ-=。

查出α＝水平下的临界值为。

计算统计量值344.225/2.3125.13≈-=z 。

因为，所以拒绝原假设。

对应p 值＝2(1-F(z)) ，查表得到F(z)在和之间，所以p 值在和之间（因为表中给出了双侧检验的接受域概率，因此本题中双侧检验的p 值＝1-F(|z|)，直接查表即得F(|z|)）。

显然p 值，拒绝原假设。

5．某市全部职工中，平常订阅某种报纸的占40%，最近从订阅率来看似乎出现减少的现象，随机抽200户职工家庭进行调查，有76户职工订阅该报纸，问报纸的订阅率是否显著降低(α=5)？
解：假设检验为%40:%,40:10<=p H p H 。

采用成数检验统计量()n
p p p P z /1--=。

查出α＝水平下的临界值为和之间。

计算统计量值()-0.577200/4.014.040.038.0≈--=z ， z ＝，所以接受原假设。

p 值为和之间（因为本题为单侧检验，p 值＝
(1-F(|z|))/2 ）。

显然p 值，所以接受原假设，抽样没有表明报纸订阅率显著下降。

6．某型号的汽车轮胎耐用里程按正态分布，其平均耐用里程为25 000公里。

现在从某厂生产的轮胎随机取10个进行里程测试，结果数据如下：
25 400 25 600 25 300 24 900 25 500
24 800 25 000 24 800 25 200 25 700
根据以上数据，检验该厂轮胎的耐用里程是否存在显著性的差异( =5)。

再用p-值重新检验，结论是否一致。

样说明该厂轮胎耐用里程显著增加。

7．从某铁矿南北两段各抽取容量为10的样本，随机配成10对如下：
南段含铁
28 20 4 32 8 12 16 48 8 20
量
北段含铁20 11 13 10 45 15 11 13 25 8
量
试用符号检验法，在α=的条件下，检验“南北两段含铁量无显著差异”的假设。

6<9，所以认为南段和北段含铁量无显著差异。

8．在14对条件相同的地块上分别播下种籽A和种籽B，其收获量纪录如下表，试以显著性水平α=，用秩和检验法检验两种种籽的收获量是否存在显著性的差异。

种籽收获量记录
(单位：公斤
由表可知，，且p 值，所以可以拒绝原假设，两种种籽的收获量存在显著差异。

9．某汽油站有两种商标的汽油A 和B ，某天售出的50桶汽油可按商标A 和B 排成这样的顺序：
AABAABABBAAABBABBABBABBAB
AABBBBAABABABAAABAAAAABB
试问：在显著性水平α=条件下，这一序列是否有随机性？ 解： 因为A (8个)，AA(4个)，AAA(2个)，AAAAA(1个)，B(7个)，BB(6个)，BBBB(1个)。

n1=27，n2=23。

假设检验H 0:样本为随机样本，H 1:样本为非随机样本。

求出游程总和。

R 1=15，
R 2=14，R=29。

因为()84.2515023272122121=+⨯⨯=++=n n n n R E ， ()()()()() 3.476150505050232722327212221221212121≈-⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-++--=n n n n n n n n n n σ 构造统计量()909.0476.384.2529≈-=-=σR E R z 。

由于α的临界值为，，所以接受原假设，序列是随机的。