复变函数与积分变量课后习题答4(全).doc

（1）% =
解 （1）当刀f 8
⑵I …殍
(3卜=M / _ J|2”
=cos 2n0 + i sin 2月们
贫-
► 8时
,cos 2sin 2H0
的极限都不存在，故z n
=$土发散.故急捉+）发散.
习题四
1.下列序列是否有极限?如果有极限,求出其极限.
+ 土 （2）% =吗气（3）礼=（号）. n n \z ） 时,衫不存在极限，故％的极限不存在.
0 （n — 8）,故［血z n — 0. ir —8 令m 二厂普r 2n
.
=信）"无极限.
2. 下列级数是否收敛?是否绝对收敛？
⑴§（螺+ ：）；⑵名首；（3疙（l+i ）". 解（1）因无上
A 】n
⑵»1彳=史吉收敛:故（2）绝对收敛.
91-1 M • I Al n
•
（3） lini （l + i ）rt
= lim （再）％孕，*0,故发散.
庶—8 ”一＞8 3. 试证级数£ （2之尸当J I ＜号时绝对收敛.
当危
\(2z)n\= 2” •
\(2z)n\ = (2r)n < 1. S（2r）rt收敛，故S（2z）n绝对收敛.
M a 1 It « 1
解⑴击
4. 试确定下列慕级数的收敛半径. ⑴、狎(2)£(1 +』)心气(3)S
解 (1) lim 勺为 | — lim "-— 1,故 R 二 1, n —^8
| >1—8 Tl
(2) lim V \C n \ = lim J (1 + —) = lim(l + —)n
= e,
l|f 8
A Y \
Tl f ”—8 fl
故R =』・ e
(3) lim I 1 = lim y~~“ = lim —= 0,
Wf 8 I C n I 闻f 8 ( Tl + I / ! JI —8 ?1 + 1
故 R = 8.
5. 将下列各函数展开为z 的幕级数,并指出其收敛区域.
⑴ 7~~~~j ； (2) 7 ----- K ---- (a 工 0,& 会 0)；
1 + z \z - a)\z - b)
fl N
〈3) ~ ； (4)ch z; (5)sir?z ； (6)6*-1
. (1 + z )
]
1
- (- z') 8 8
、(-/)”=云(-I)”』，
原点到所有奇点的距离最小值为1 ,故I Z | < 1.
(2)
1 .(a = b )
4- a -
Z-
a
n oc
=z -
=a
n 0
原式
收敛区域:
2.(a h b )
1 ( 1
a -
b z - a
原式
)2 尊一
=、(- 1)1 次”-2,
力=1
(4)ch z
e[+
e" ―2
—
z2n
一2（：〃！二 n!
S(2”)!，
1 一cos
2z
< 8.
-[1 V (2z)H • (- 1)”
2 一 2 2 乙
_ JL 小(一1)2 •
一2：(2Q!
(5)sin2i
n =0(2n)!
< 8.
E）=广•六(。

一
「疽伊⑴，，（。

）=-1
f(z) = T^i)if(z)~(t^i)i，广(。

)=一1
⑴专，
z
⑶疽3又，z° = 1 +汀 解
⑴?-(7)
No = 1；
(2)sin z,
之° =
1;
(4)ianz,初=才.
广⑴+畏果一当'<(0)= 1
f(z) =
- …・
因为1为f(z)的唯一奇点，原点到1的距离为1,故收敛半径
R < 1.
7.求下列函数在指定点NO 处的泰勒展式.
Z - 1\< 8.
(2n)!
=
-(TT7^i) =-[X(-D"U-i)«*] 8
=一 £(一1尸-n(z 一 1 尸T R 2 1
8
=习(一 1)”( ” + l)(z - 1)” , |z — l|<l.
M = 0 (2)sin z — sin(z — 1 + 1) =sin(z — l)oos 1 + sin lcos( z — 1)
5京(z 二 1)"〈-止 W (2n + 1)!
+ sm 1 匕
#=o
8.将下列各函数在指定圆环内展开为洛朗级数. (1) (3) (4)
解 z + 1 Z^( Z ' z 2e l/
^0< |z|< / - 2e + 5 ., (2 -2)(/+ I)" <
COS -j —— »0 < | z - 1 [ <
(DO < \z\<【时，
L 七,0< \z\< 1,1< kl< 8； 一 1/
< 2； OO ZL + 1 _
/(z - 1 ) 』< 8时,()< Z + 1 z 2
(z
(2)z 2
e«
n =0
v
1 < z V2.・.—v
5 1
；-刃z 5
1
2-
z
4 cos 1
1 z r~) = 土-号
为/
< 1,
2 1
+ z -1,
湖)
n j
z
8
=s n =0
1 z
2
2
e
e
1 z
1 J
1 + 2・
z
8
J
ft M
1 1 — 1 /z 1 4 z 2~n
n!-
0< |z|<
2 n!
n 0 z
n
z
n
2 1 z 2n !
1
1 — (z —
=-力(Z _ 1)1,
J|=O
8
=s
H = 0(z 一1)I2
・
9.将f(z) = 3 ! A在N = 1处展开洛朗级数- z - 3z + Z
解 &)=(崩(—1) = 土_土・
/(e)的奇点为Z1 = 1,€2 = 2./(z)在0< h - 11 < 1 与
2 — 1 I > 1 解析.
当0< lz - 1|< 1 时，
当时,。

< 右<1,
-」+ -----
-1 Z - 1 Z — 1 1 1
i _ 7
N — 1
10.将六n) =( / ：］亍在z - i的去心邻域内展开成洛朗级数.
解f(z)的孤立奇点为土i./(z)在最大的去心邻域0 < \z-i\<2内解析.
当0 V I N -i|< 2 时，
f(Z)=(/! 1)2 =疽7)2 . (7 孑
= 土)
(z - i)21.—J- 2i f
(z ~ i) _ 1 (z
■ r 00
2i
:宇)
n-a
_ 1)2 , 2i •史(~1)” F - G=)Z 7*1-1
= N(-1”
•・】(2i)m
=克(-1)” ・(〃 +1). y
z。

(2i)"2 .
上式即为/Xz)在N = i的去心邻域内的洛朗级数.
(2i)“。