江西省南昌市第二中学2018届高三上学期第七次月考(期末)数学(理)试卷及答案

南昌二中2017～2018学年度上学期第七次考试
高三数学（理）试卷
一、选择题（每小题5分，共60分。

每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）
1．已知集合2{|4},{|1}A x y x B x a x a ==-=≤≤+，若A B A ⋃=，则实数的取值 范围为（ ）
A. ][()
,32,-∞-⋃+∞ B.
C. D.
2．已知实数,m n 满足()()4235m ni i i +-=+，则m n +=（ ） A.
9
5
B.
11
5
C.
9
4
D.
114
3．给出下列命题:
①已知,a b R ∈,“1a >且1b >”是“1ab >”的充分条件;
②已知平面向量,a b ,"1,1"a b >>是“1a b +>”的必要不充分条件; ③已知,a b R ∈,“221a b +≥”是“1a b +≥”的充分不必要条件; ④命题:P “0x R ∃∈,使0
0e
1x x ≥+且00ln 1x x ≤-”的否定为:p ⌝ “x R ∀∈,都有
e 1x x <+且ln 1x x >-”.其中正确命题的个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
4．若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]
0,1x ∈时，f(x)=x,则函数y=f(x)- 3log x 的零点个数是（ ）
A. 6个
B. 4个
C. 3个
D. 2个
5．若将函数()sin2cos2f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（ ） A.
4
π
B.
8
π
C.
38
π
D.
58
π
6．如图，在△ABC 中， 21,,33
AD AC BP BD ==u u u v u u u v u u u v u u u v 若AP AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v ,则λ
μ的值为( )
A. －3
B. 3
C. 2
D. －2
7．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A. 9
4
- B.
9
4
C.
27
4
D. 274
-
8．执行如图所示的程序框图，如果输出s ＝4，那么判断框内应填入的条件是（ ）
A. k ≤ 14?
B. k ≤ 15?
C. k ≤ 16?
D. k ≤ 17?
9．如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小 的面的面积为（ ） A. 8
B. 4
C. 43
D. 42
10．北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，，30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ） A ．25 B ．32 C ．60
D ．100
11．已知12,F F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线，
垂足为点A ,交另一条渐近线于点B ，且2213
AF F B =u u u u r u u u u r
,则该双曲线的离心率为（ ）
D. 2
12．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x ≠时， ()()0f x f x x
+
'>，
若()1a f =，()22b f =--，11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()1a f =， 则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A. a c b <<
B. b c a <<
C. a b c <<
D. c a b <<
二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上）
13．设n= 2
6sinx π
⎰dx ，则二项式22n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为 ________．
14．已知实数,x y 满足⎪⎩
⎪⎨⎧+≤≤+-≥1
13337y x y x x y 则234
12x y z -+⎛⎫
= ⎪⎝⎭的最小值为__________．
15．已知椭圆22
194
x y +=与x 轴交于,A B 两点，过椭圆上一点()00,P x y （P 不与,A B 重合）的切线l 的方程为
00194
x x y y +=，过点,A B 且垂直于x 轴垂线分别与l 交于,C D 两点，设CB AD 、交于点Q ，则点Q 的轨迹方程为__________． 16．有下列命题：
①等比数列{}n a 中，前n 项和为n s ，公比为q ，则n n n n n s s s s s 232,,--仍然是等比数列,其公比为
n q ；
②一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的体积是π34cm 3
；
③若数列{}n a 是正项数列，且221n a a a n =+++Λn 3+(
)*
∈N n ，
则
n n n a a a n 621
3222
1+=++++Λ； ④在ABC ∆中，1,2,1200
===∠AC AB BAC ,D 是边BC 上的一点（包括端点），则的取值
范围是[]2,5-.
其中正确命题的序号是_____（填序号）
三、解答题(本大题共70分=10分+12×5分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（本小题12分）已知数列{}n a 为等差数列，公差为d ，其前n 项和为n S ， 且1357915a a a a a ++++=， 24681025a a a a a ++++=. （1）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ；
（2）若数列{}n b 满足14b a =， ()
*13n n n b b n N +=+∈，求满足6n n b S n ≤+的所有n 的值.
18．（本小题12分）高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位： cm ）的茎叶图如下：
（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；
（2）从该班身高超过180cm 的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；
（3）在两组身高位于[
)170,180（单位： cm ）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[)180,175（单位： cm ）的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．
19．（本小题12分）如图，在等腰梯形ABCD 中， 060ABC ∠=，上底2CD =，下底4AB =，点E 为下底AB 的中点，现将该梯形中的三角形BEC 沿线段EC 折起，形成四棱锥B AECD -.
（1）在四棱锥B AECD -中，求证： AD BD ⊥；
（2）若平面BEC 与平面AECD 所成二面角的平面角为0120，求直线AE 与平面ABD 所成角的正弦值.
20．（本小题12分）设抛物线()2
40y mx m =>的准线与x 轴交于1F ,抛物线的焦点为2F ，以12
F F 、为焦点，离心率1
2e =
的椭圆与抛物线的一个交点为226,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
；自1F 引直线交抛物线于P Q 、两个不同的点，设11F P FQ λ=u u u v u u u v
.
（1）求抛物线的方程和椭圆的方程； （2）若1
,12λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
，求PQ 的取值范围.
21．（本小题12分）已知函数()2
ln f x ax x x x =+-， ()2
x
g x e x =-（e 为自然对数的底数）．
（1）当[
)0,x ∈+∞时，求()g x 的最小值； （2）若函数()f x 恰有两个不同极值点12,x x ．
①求a 的取值范围；
②求证： 2
12x x e ≥．
四、请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 过()2,0M ，倾斜角为()0αα≠．以O 为极点， x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
sin 4cos ρθθ=．
（1）求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）已知直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且2MA MB =，求直线l 的斜率k ．
23．（本小题10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()12f x x x m =++--， (1)当m ＝5时，求f(x)>0的解集；
(2)若关于的不等式f(x)≥2的解集是R ，求m 的取值范围．
南昌二中2017～2018学年度上学期第七次考试
高三数学（理）试卷参考答案
一、 选择题（每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C
A
C
B
B
B
C
B
D
C
A
D
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.60 14．1
64
． 15. ()22139x y x +=≠± 16. ②③④ 一、单选题
1．已知集合2{|4},{|1}A x y x B x a x a ==-=≤≤+，若A B A ⋃=，则实数的取值范围为
（ ）
A. ][()
,32,-∞-⋃+∞ B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：集合2{|4}{|22}A x y x x x ==-=-≤≤，若A B A ⋃=，则B A ⊆，所以
有2
{
12
a a ≥-+≤，所以21a -≤≤，故选C. 考点：集合间的关系.
2．已知实数,m n 满足()()4235m ni i i +-=+，则m n +=（ ） A.
95 B. 115 C. 94 D. 114
【答案】A
【解析】∵()()()424m 2n 4235m ni i n m i i +-=++-=+，
∴425{ 423m n n m +=-=，解得： 710
{ 11
10
m n =
=，
∴m n +=
95
故选：A
3．给出下列命题:①已知,a b R ∈,“1a >且1b >”是“1ab >”的充分条件; ②已知平面向量,a b ,"1,1"a b >>是“1a b +>”的必要不充分条件; ③已知,a b R ∈,“221a b +≥”是“1a b +≥”的充分不必要条件; ④命题:P “0x R ∃∈,使0
0e
1x x ≥+且00ln 1x x ≤-”的否定为:p ⌝ “x R ∀∈,都有e 1
x x <+且ln 1x x >-”.其中正确命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C
【解析】①已知,a b ∈R ,“1a >且1b >”能够推出“1ab >”,“1ab >”不能推出“1ab >”,本选项正确;
②已知平面向量,a b , “1,1>>a b ”不能推出“1+>a b ”,本选项不正确; ③已知,a b ∈R ,“221a b +≥”是“1+≥a b ”的充分不必要条件,正确; ④命题:P “0x ∃∈R ,使0
0e
1x x ≥+且00ln 1x x ≤-”的否定为:p ⌝ “x ∀∈R ,都有
e 1x x <+或ln 1x x >-”本选项不正确.
正确的个数为2. 故选：C
4．若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]
0,1x ∈时，f(x)=x,则函数y=f(x)-
3log x 的零点个数是（ ）
A. 6个
B. 4个
C. 3个
D. 2个 【答案】B
【解析】
因为偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以()f x 的周期为2，当[]
0,1x ∈时， ()f x x =，所以当[]
1,0x ∈-时， ()f x x =-，函数()3log y f x x =-的零点等价于函数()y f x =与3log y x =的交点个数，
在同一坐标系中，画出()y f x =的图象与3log y x =的图象，如上图所示，显然()y f x =的图象与3log y x =的图象有4个交点。

选B.
点睛：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，是中档题。

根据函数零点和方程的关系进行转化是解答本题的关键。

5．若将函数()sin2cos2f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（ ） A.
4π B. 8π C. 38π D. 58
π
【答案】B
【解析】函数()sin2cos22sin 24f x x x x π⎛
⎫=+=
+ ⎪⎝
⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，得到
2sin 224y x πϕ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭ 图象关于y 轴对称，即()242k k Z ππϕπ+=+∈，解得1=28k πϕπ+，
又0ϕ>，当0k =时， ϕ的最小值为
8
π
，故选B. 6．如图，在△ABC 中， 21,,33
AD AC BP BD ==u u u v u u u v u u u v u u u v 若AP AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v ,则λ
μ的值为( )
A. －3
B. 3
C. 2
D. －2 【答案】B
【解析】∵21,33AD AC BP BD =∴=u u u v u u u v u u u v u u u v ()
121393
AD AB AC AB -=-u u u v u u u v u u u v u u u v
∴2239
AP AB BP AB AC =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
又AP AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v ，∴22,,339λ
λμμ
===
故选B.
7．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A. 94-
B. 94
C. 274
D. 27
4
- 【答案】C
【解析】设数列{}n a 的公比为q ，由题意知1q >． ∵()()243510a a a a λ+-+-=，
∴3
241142
531111a a a q a q a a a q a q
λ+-+-==--． ∴3367
87
61111891114222
111111
a q a q a q a q q a a a q a q a q q a q a q q q λ+-+-+=+⋅=+⋅=---， 设()6
2,(1)1x f x x x =>-，则()()
()
522
22231
x x f x x -'=-， 故当61x <<
()()0,f x f x '<单调递减；当6
x >时， ()()0,f x f x '>单调递增． ∴当62x =
，即232x =时， ()f x 有最小值，且()min 32724
f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．
∴89a a λ+的最小值为
27
4
．选C ． 点睛：本题考查的范围较广，解题的方法比较综合，考查了学生运用所学知识解决综合性问题的能力．解题时需要从条件中得到λ的表达式，然后将所求89a a λ+表示为数列公比q 的形式，为了达到解题的目的，在构造函数的基础上，通过求导数得到函数的单调性，根据单调性求得函数的最小值，从而求得89a a λ+的最小值．
8．执行如图所示的程序框图，如果输出s ＝4，那么判断框内应填入的条件是（ ）
A. k ≤ 14?
B. k ≤ 15?
C. k ≤ 16?
D. k ≤ 17? 【答案】B
【解析】执行执行如图所示的程序框图，第一次循环， ；第二次循环，
；第三次循环，
；第四次循环，
；…第十四次循环， ；
此时结束循环，判断框内应填入的条件只能是 ，
故选B.
【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
9．如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（ ）
A. 8
B. 4
C. 43
D. 42
【答案】C
【解析】由三视图可知：该几何体的直观图如图所示，
由三视图特征可知， PA ⊥平面ABC , DB ⊥平面ABC , ,AB AC ⊥
4,2PA AB AC DB ====,面积最小的为侧面BCD ∆，
∴1
22
BCD S ∆=⨯=故选：C.
10．北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，，30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ） A ．25 B ．32 C ．60 D ．100 【答案】C 【解析】
试题分析：6号、15号与24号放在一组，则其余三个编号要么都比6小，要么都比24大，比6 小
时，有1035=C 种选法，都比24大时，有2036=C 种选法，合计30种选法，6号、15号与24在选
厅时有两种选法，所以选取的种数共有602)2010(=⨯+种，故正确选项为C. 考点：组合与排列的概念.
11．已知12,F F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线，
垂足为点A ,交另一条渐近线于点B ，且2213
AF F B =u u u u r u u u u r
,则该双曲线的离心率为
A.
2
D. 2
【答案】A
【解析】由()
2,0F c 到渐近线b
y x a
= 的距离为d b =
= ，即有2AF b =u u u u r
，则
23BF b =u u u u r ，在2AF O ∆ 中， 22,,,b OA a OF c tan F OA a
==∠=u u u r u u u u r
224tan 1b
b a AOB a b a ⨯
∠==⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，化简可得222a b = ，即有222232c a b a =+= ，
即有c e a == ，故选A.
【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式，从而求出e 的值.
12．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x ≠时， ()()0f x f x x
+
'>，
若()1a f =， ()22b f =--， 11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ()1a f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）
A. a c b <<
B. b c a <<
C. a b c <<
D. c a b << 【答案】D
【解析】试题分析：设()()h x xf x =，所以()()()h x f x xf x ='+'，因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()h x 是定义在R 的偶函数，当0x >时， ()()()0h x f x xf x =+'>'，此时函数
()
h x 单调递增．因为
()()
11a f h ==，
()()
222b f h =--=-，
111ln ln ln 222c f h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，又1212>>，所以b a c >>．故选D ．
考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性；3、导数在研究函数中的应用．
【思路点晴】本题是函数的奇偶性、单调性、导数在函数研究中的应用等方面的综合应用问题，属于难题．解决本题的基本思路是通过构造函数()h x ()xf x =，并对()h x 进行求导，可以发现a ，
b ，
c 就是()h x 的三个函数值，再根据()h x 的单调性，就可以比较出a ， b ， c 的大小，进而
得出结论． 二、填空题
13．设n= 2
6sinx π
⎰dx ，则二项式
22n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为 ________．
【答案】60
【解析】n= 2
6sinx π
⎰
dx 206cos 6.x π
=-= 故得到n=6,
6
22x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭=()()62636622k k k k k k
k C x x C x ---∑-=∑-
常数项k=2，代入得到60. 故答案为：60.
点睛：这个题目考查的是二项式定理的应用，和积分的应用。

一般二项式的小题，考查的有求某些项的和，求某一项的系数，或者求某一项。

要分清楚二项式系数和，和系数和。

求和时注意赋值法的应用。

14．已知实数,x y 满足73,{313, 1
y x x y x y ≥-+≤≤+则234
12x y z -+⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的最小值为__________．
【答案】
164
【解析】作出不等式组所对应的可行域，如图所示：
当234
12x y z -+⎛⎫= ⎪
⎝⎭
过点A ()1,4时， 234
12x y z -+⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
有最小值为
164
.
故选：
164
点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
15．已知椭圆22
194
x y +=与x 轴交于,A B 两点，过椭圆上一点()00,P x y （P 不与,A B 重合）的切线l 的方程为
00194
x x y y +=，过点,A B 且垂直于x 轴垂线分别与l 交于,C D 两点，设CB AD 、交于点Q ，则点Q 的轨迹方程为__________．
【答案】()2
2139
x y x +=≠± 【解析】
椭圆22
194
x y +=，可得()()3,0,3,0A B -. 由3x =-代入切线l 的方程00194x x y y +=，可得()00433x y y +=，即()00433,3x C y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
.
由3x =代入切线l 的方程
00194x x y y
+=，可得()00433x y y -=，即()00433,3x D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭.
可得直线CB 的方程为()()00
2339x y x y +=
--
直线AD 的方程为()()00
2339x y x y -=
+
⨯可得()
()
202
2
2
49981x y x
y -=-
-
结合P 在椭圆上，可得22
00194x y +=. 即有2
2
00994
y x -=.
代入可得， ()2
2139x y x +=≠±. 故答案为()2
2139
x y x +=≠±. 16．有下列命题： ①等比数列
中，前n 项和为，公比为，则，
，
仍然是等比数列,其公比为；
②一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的体积是cm 3
；
③若数列
是正项数列，且
，
则；
④在
中，
D 是边BC 上的一点（包括端点），则
的取值范围是
.
其中正确命题的序号是_____（填番号） 【答案】②③④ 【解析】①错,,
,不符合等比数列. ②,
=
. ③
中n 用n-1代得
,两式
做差得,,符合.,所以.
④如下图建立 平面直角坐标系
,
,,
,
,所以
,符合.填②③④.
三、解答题
17．已知数列{}n a 为等差数列，公差为d ，其前n 项和为n S ，且1357915a a a a a ++++=，
24681025a a a a a ++++=.
（1）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ；
（2）若数列{}n b 满足14b a =， ()
*13n n n b b n N +=+∈，求满足6n n b S n ≤+的所有n 的值. 【答案】（Ⅰ）n a = 27n -， n S = 26n n -（Ⅱ）1n =或2n =．
【解析】试题分析：（1）根据1357915a a a a a ++++=， 24681025a a a a a ++++=，可分别求出5a 和6a ，即可求出数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ；（2）由（1）求出数列{}n b 的通项公式，然后即可求出满足6n n b S n ≤+的所有n 的值.
试题解析：（1）∵1357915a a a a a ++++=， 24681025a a a a a ++++=， ∴5515a =， 6525a =，得53a =， 65a =，∴2d =， ∴()55n a a n d =+- ()325n =+- 27n =-，得15a =-， ∴()112
n n n S na d -=+
26n n =-．
（2）∵141b a ==， 13n
n n b b +-=，
∴()()()1
21122113
331n n n n n n n b b b b b b b b -----=-+-+⋅⋅⋅+-+=++⋅⋅⋅++
()3122
n n -=≥，
又131
12
b -==
∴()31*2
n n b n N -=∈，
故由6n n b S n ≤+得2312n n -≤ ∴1n =或2n =．
18．高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位： cm ）的茎叶图如下：
（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；
（2）从该班身高超过180cm 的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；
（3）在两组身高位于[
)170,180（单位： cm ）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于
[)170,180（单位： cm ）的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．
【答案】(1)答案见解析；(2)
6
7
；(3)答案见解析. 【解析】试题分析：（1）根据茎叶图中的数据写出各自中位数即可；（2）利用组合数公式和对立事件的概率公式进行求解；（3）写出随机变量的所有可能取值，求出每个变量的概率，列表得到其分布列，进而利用期望公式进行求解.
试题解析：（1）第一组学生身高的中位数为172176
174
2
+
=，
第二组学生身高的中位数为174175
174.5
2
+
=；
（2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A，
()23
2
7
6
1
7
C
P A
C
=-=，
∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为
6
7
；
（3）X的可能取值为0，1，2，3
()22
32
22
53
1
10
C C
P X
C C
===，()
11221
32232
22
53
2
1
5
C C C C C
P X
C C
+
===，
()22111
22232
22
53
13
2
30
C C C C C
P X
C C
+
===，()
21
22
22
53
1
3
15
C C
P X
C C
===，
∴X的分布列为
X0 1 2 3
P
1
10
2
5
13
30
1
15
()213122
123
5301515
E x=⨯+⨯+⨯=．
19．如图，在等腰梯形ABCD中，0
60
ABC
∠=，上底2
CD=，下底4
AB=，点E为下底AB的中点，现将该梯形中的三角形BEC沿线段EC折起，形成四棱锥B AECD
-.
（1）在四棱锥B AECD
-中，求证：AD BD
⊥；
（2）若平面BEC与平面AECD所成二面角的平面角为0
120，求直线AE与平面ABD所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
3
． 【解析】试题分析：（1）由60ABC ∠=︒， 2CD =， 4AB =，点E 为AB 的中点，得三角形BEC 沿线段EC 折起后可得四边形AECD 为菱形，边长为2， 60DAE ∠=︒，取EC 的中点F ，连接DF ，
BF ， DE ，可证EC BF ⊥， EC DF ⊥，即可证EC ⊥平面BFD ，从而AD ⊥平面BFD ，即可得证；（2）以F 为坐标原点，建立空间直角坐标系，由（1）可证BFD ∠为平面BEC 与平面AECD 所成二面角的平面角，从而求出D ， E ， A ， B ，再求出平面ABD 的一个法向量，即可求出直线AE 与平面ABD 所成角的正弦值.
试题解析：（1）证明：由三角形BEC 沿线段EC 折起前， 60ABC ∠=︒， 2CD =， 4AB =，点E 为AB 的中点，得三角形BEC 沿线段EC 折起后，四边形AECD 为菱形，边长为2，
60DAE ∠=︒，如图，
取EC 的中点F ，连接DF ， BF ， DE ， ∵由题得BEC V 和DEC V 均为正三角形， ∴EC BF ⊥， EC DF ⊥， 又BF DF F ⋂= ∴EC ⊥平面BFD ， ∵AD ∥EC ∴AD ⊥平面BFD ， ∵BD ⊂平面BFD ， ∴AD BD ⊥．
（2）解：以F 为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，
由EC ⊥平面BFD ，有z 轴在平面BFD 内， 在（1）中，∵BF EC ⊥， DF EC ⊥，
∴BFD ∠为平面BEC 与平面AECD 所成二面角的平面角， ∴120BFD ∠=︒，
而3BF DF ==3BD =且30BFz ∠=︒，
得点B 的横坐标为32-
，点B 的竖坐标为3
2
， 则(
)
300D
，，， ()010E ，，， )
320A
，，， 3302B ⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭，，， 故()
310AE =--u u u v ，，， 33302BD ⎫
=-⎪⎪⎝⎭
u u u v ， ()020AD =-u u u v ，，，
设平面ABD 的一个法向量为()n x y z =v
，，，
∴()()()333·0?022{ ·020?0BD n x y z AD n x y z ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝
⎭=-=u u u v v u u u v v ，，，，，，，，，，
得3330 220x z y -=-=，， 令1x =，得0y =， 3z =
ABD 的一个法向量为(103n =v
，，，
∴·cos ||?||
AE n
AE n AE n 〈〉=u u u v v
u u u v v u u u
v v ， ()(310?10322-=⨯，，，， 3=， ∵直线AE 与平面ABD 所成角为锐角或直角， ∴直线AE 与平面ABD 3
点睛：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，空间向量在立体几何中的应用之线面角的求法.空间
向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角
20．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>过点31,2A ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 1F ， 2F 分别是椭圆的左、右焦点，以
原点为圆
20．设抛物线()2
40y mx m =>的准线与x 轴交于1F ,抛物线的焦点为2F ，以12F F 、为焦点，离心
率1
2e =
的椭圆与抛物线的一个交点为23E ⎛ ⎝⎭
；自1F 引直线交抛物线于P Q 、两个不同的点，设11F P FQ λ=u u u v u u u v
.
（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程； （Ⅱ）若1
,12λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
，求PQ 的取值范围.
【答案】(Ⅰ)椭圆的方程为22143x y +=；抛物线的方程是： 2
4y x =.(Ⅱ) ⎛ ⎝⎦
. 【解析】试题分析：
(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，根据椭圆上的点及离心率可得关于,a b 的方程
组，求得,a b 可得椭圆的方程；根据椭圆的焦点坐标可得1m =，进而可得抛物线方程．(Ⅱ)设出直线PQ 的方程，与椭圆方程联立消元后根据根与系数的关系及弦长公式可得PQ ，再根据λ的范围，利用函数的有关知识求得PQ 的范围即可． 试题解析：
（Ⅰ）设椭圆的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
由题意得22424199{
1
2
a b
c a a +===，解得224
{ 3a b ==，
∴椭圆的方程为22
143
x y +=， ∴点2F 的坐标为()1,0, ∴1m =,
∴抛物线的方程是2
4y x =.
（Ⅱ）由题意得直线PQ 的斜率存在，设其方程为()()10y k x k =+≠， 由()2
1{
4y k x y x
=+=消去x 整理得2440ky y k -+=（*）
∵直线PQ 与抛物线交于两点， ∴216160k ∆=->． 设()11,P x y ， ()22,Q x y ， 则124y y =①，124
y y k
+=
②． ∵11FQ FQ λ=u u u v u u u v
， ()11,0F
-, ∴()()11221,1,x y x y λ+=+ ∴12y y λ=．③
由①②③消去12,y y 得： ()
22
41k λ
λ=
+．
∴
PQ ==
=
=4241616k PQ k -=，将()
2
241k λλ=+代入上式得
()()
2
4
22
2
2
2
21111616216PQ
λλλλλ
λλ+++⎛⎫
=
-=
-=++- ⎪⎝⎭
，
∵()1
1,12f λλλλ⎡⎫
=+
∈⎪⎢⎣⎭
在上单调递减， ∴()()112f f f λ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，即1522λλ<+≤，∴2
11702164λλ⎛⎫
<++-≤ ⎪⎝⎭
，
∴0PQ <≤
，即PQ 的求值范围为⎛ ⎝
⎦． 点睛：圆锥曲线中的最值与范围问题是高考中的常考题型，常与不等式、函数等知识结合在一起，涉及的知识点较多、难度较大．解题时可先建立关于某个参数的目标函数，再求这个函数的最值，常用的方法有以下几个：
①利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系； ②利用基本不等式求出参数的取值范围； ③利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
21．已知函数()2
ln f x ax x x x =+-， ()2
x
g x e x =-（e 为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当[
)0,x ∈+∞时，求()g x 的最小值； （Ⅱ）若函数()f x 恰有两个不同极值点12,x x ． ①求a 的取值范围；
②求证： 2
12x x e ≥．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 1
02a e
<<
，②见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）求出()'f x ，令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间， ()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间，根据单调性可得()g x 的最小值；（Ⅱ）①()f x 恰有两个极值点，等价于()2ln h x ax x =-在()0,+∞上恰有两个不同零点，当0a ≤时， ()'0h x <在()0,+∞恒成立， ()h x 在()0,+∞上单调递减，不合要求；当0a >时，研究函数的单调性结合零点存在定
理可得a 的取值范围，②不妨设120x x <<，则有： 1122
2{
2lnx ax lnx ax ==，可得121122ln 2x x x
x x x +>-，令
1
2x t x =
，原不等式等价于()21ln 01
t t t --<+， ()0,1t ∈，验证函数()()21ln 1t g t t t -=-+的最大值小
于零即可得结论.
试题解析：（Ⅰ） ()'2x
g x e x =-， ()()''2x g x e =-， [
)0,x ∈+∞，
所以()'g x 在[
)0,ln2上单调递减，在()ln2,+∞上单调递增， ()()()min ''ln221ln20g x g ==->，
即[
)0,x ∈+∞时，恒有()'20x
g x e x =->，
故()g x 在[
)0,+∞上单调递增， ()()min 01g x g ==． （Ⅱ）()'2ln f x ax x =-①，要()f x 恰有两个极值点，
等价于()2ln h x ax x =-在()0,+∞上恰有两个不同零点． ()121
'2ax h x a x x
-=-
=
， 当0a ≤时， ()'0h x <在()0,+∞恒成立， ()h x 在()0,+∞上单调递减，不合要求； 当0a >时， ()h x 在10,
2a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，
而()11ln 22h a a ⎛⎫=+
⎪⎝⎭，由()111ln 20022h a a a e ⎛⎫
=+<⇒<< ⎪⎝⎭
， ∴12e a >， 2
121122a e a a ⎛⎫>> ⎪⎝⎭
， 此时()120h a =>， 21112221
122022a a a h e ae a e a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=->⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦
， 故当102a e <<
时， ()2ln g x ax x =-在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,2a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上各恰有一个零点，
即当102a e <<
时函数()f x 有两个极值点． 另法：考查ln 2x a x
=
②不妨设120x x <<，则有： 11
22
2{ 2lnx ax lnx ax ==，两式相加与相减得： ()()
()12121122
2{ 2ln x x a x x x
ln a x x x =+=-， ()121
12122
ln ln x x x x x x x x +⇔=
-，而()21212ln 2x x e x x >⇔>，
121122ln 2x x x x x x +⇔
>-，令()12
0,1x
t x =∈，
()()1
ln 21ln 2101
t t t t t t +⇔
>⇔+--<-， ()()210,1ln 01t t t t -∈⇔-<+， ()0,1t ∈， 考查函数()()21ln 1
t g t t t -=-
+， ()0,1t ∈， ()()
()
2
2
1'01t g t t t -=>+恒成立于()0,1，
()g x 在()0,1上单调递增，则恒有()()10g t g <=．
即()21ln 01
t t t --<+， ()0,1t ∈成立， 故命题得证．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 过()2,0M ，倾斜角为()0αα≠．以O 为极点， x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
sin 4cos ρθθ=． （Ⅰ）求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且2MA MB =，求直线l 的斜率k ． 【答案】（Ⅰ）2
4y x =（Ⅱ）2k =±
【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线的参数方程，结合2
sin 4cos ρθθ=得2
2
sin 4cos ρθρθ=，即可得解曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）2cos x t α=+， sin y t α=代入2
4y x =得
()()2
2
sin 4cos 80t t αα--=．设,A B 两点对应的参数分别为1
t 与2
t
，结合韦达定理，可求
1224cos sin t t αα+=
， 122
8
sin t t α
=-，再根据2MA MB =，消去1t 与2t 即可得解.
试题解析：（Ⅰ）直线l 的参数方程为2{
x tcos y tsin α
α
=+=（t 为参数），
由2
sin 4cos ρθθ=得2
2
sin 4cos ρθρθ= ∴曲线C 的直角坐标方程为2
4y x =．
（Ⅱ）把2cos x t α=+， sin y t α=代入2
4y x =得()
()22sin 4cos 80t t αα--=．
设,A B 两点对应的参数分别为1t 与2t ，则1224cos sin t t αα+=
， 12
28
sin t t α
=-， 易知1t 与2t 异号 又∵2MA MB = ∴122t t =-．消去1t 与2t 得tan 2α=±，即2k =± 选修4-5：不等式选讲
23．已知函数()12f x x x m =++--， (1)当m ＝5时，求f(x)>0的解集；
(2)若关于的不等式f(x)≥2的解集是R ，求m 的取值范围． 【答案】（1）()()23,-∞-⋃+∞；（2）(]
,1-∞
【解析】试题分析：（I ）当m=5时，原不等式可化为|x+1|+|x-2|>5，分三种情况去绝对值，对不等式加以讨论，最后综合即得到f （x ）>0的解集；
（II ）关于x 的不等式f （x ）≥2的解集是R ，根据绝对值不等式的性质，可得|x+1|+|x-2|的最小值3大于或等于m+2，由此可得实数m 的取值范围． 试题解析：
(1)由题设知：|x ＋1|＋|x －2|>5，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：或
或
解得f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞). (2)不等式f (x )≥2即|x ＋1|＋|x －2|>m ＋2， ∵x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2| ≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，
不等式|x＋1|＋|x－2|≥m＋2解集是R，
∴m＋2≤3，m的取值范围是(－∞，1]
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。