第2章-逻辑代数基础1

对 2.3.3 逻辑代数的3个重要规则
偶
规 3.对偶规则： 将F中所有“”换成“+”， “+”换成“”，
则
“1”换成“0”，“0”换成“1”，
而变量都保持不变，
得到函数是F的对偶式，记作 F’ 或 FD
注意事项： ① 不能破坏原表达式的运算顺序； ② 表达式中的非运算符不能改变
若某逻辑表达式是正确的，则其对偶式也是正确的
逻 辑 代 数 的 公 式 与 规 则
10 吸收律
21
A(A+B)=A A(A+B)=AB
A+AB=A A+AB=A+B
2.3
2.3.1 基本公式
以上公式可通过真值表证明，如反演律证明
逻
辑
代
数
的
公
式
与 规
由表2.6可见，无论逻辑变量A和B的取值如何，都有：
则
ABAB A B A B
推广到三个逻辑变量则有：
第二章 数字逻辑基础
2.1 逻辑变量与逻辑函数 2.2 基本逻辑运算与基本逻辑门 2.3 逻辑代数的公式与规则 2.4 逻辑函数的表示方法 2.5 逻辑函数的标准形式 2.6 逻辑函数的化简方法
1
2.1
2.1 逻辑变量与逻辑函数
逻辑变量：逻辑代数中的变量
逻 辑
逻辑变量的命名方式：单个英文字母
变 逻辑变量的取值：0和1（逻辑值）
辑 为因变量。
运
算
与
基
本
逻
辑
逻辑代数中将符合图2.2的函数关系定义为
门 逻辑与，又叫逻辑乘，所以逻辑函数表达式中
的与项也叫乘积项，运算符号为“·”，2变量
的逻辑与运算表达式为： F = A·B
实现逻辑与运算的逻辑电路称为与门
4
2输入与门符号
2.2
2.2.1 逻辑与运算和与门
在不致混淆的场合下，A和B的逻辑与运算
关系是不一样的。
▪ 例如一个逻辑电路在正逻辑分析时是一个与门电路，而使用负 逻辑分析时则成为一个或门电路。
负逻辑门的逻辑符号和正逻辑门的逻辑符号画法一样，但要在输入 端和输出端分别加上一个小圆圈，以便区别于正逻辑门。
13 提示：多输入门的逻辑符号和真值表
4. 逻辑门的使能和禁止特性
逻 辑 门
术语：
用F=D+E代入后，
左端= A(F+C)=A(D+E+C)=AD+AE+AC 右端= A(D+E)+AC=AD+AE+AC
所以，等式成立
例 用代入法证明反演律也适用3变量的情况
进一步可推广到多变量的反演律，反演律又称德·摩根定理
24
反 2.3.3 逻辑代数的3个重要规则
演 规 则
2.反演规则： 将F中所有“”换成“+”， “+”换成“”， “1”换成“0”，“0”换成“1”， 原变量换成反变量，反变量换成原变量，
11
异
异或、同或运算真值表(异或与同或互为取非运算)
或 、
A B F=AB F=AB +A B F=A ⊙ B F=A B +AB
同
00
0
0
1
1
或
01
1
1
0
0
运 算
10
1
1
0
0
的
11
0
0
1
1
真
值
表
IEEE/ANSI符号
国际符号
惯用符号
异或门 A =1 F A
XOR B
B
同或门
A B
=F
A B
XNOR
ABC ABC ABC ABC
22
2.3
2.3.2 常用公式
逻 辑 代 数 的 公 式 与 规 则
23
代 2.3.3 逻辑代数的3个重要规则
入
规 1.代入规则： 将逻辑等式中某个逻辑变量全部用同一逻辑函数代替，
则
则逻辑等式仍成立
例 已知等式A(B+C)=AB+AC，证明：用逻辑函数F=D+E代入等式中的B后， 等式仍成立
A
B
Y=A+B
0
0
0
0
1
1
Y=B 使能
1
0
1
Y=1
16
1
1
1
禁止
4. 逻辑门的使能和禁止特性
逻 3）与非门
辑
门
的
使
能
与非门被禁止
与非门被使能
和
禁
止
特
性
控制输入端 A
信号输入端 B
17
与非门的使能与禁止运算真值表
A
B
Y=AB
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Y=1 禁止
Y=B 使能
4. 逻辑门的使能和禁止特性
性
与门被禁止
与门被使能
14
4. 逻辑门的使能和禁止特性
逻 1）与门
辑
门
的
使
能
与门被禁止
和
禁
止
特
性
与门被使能
与门的使能与禁止运算真值表
A
B
Y=AB
0
0
0
0
1
0
Y=0 禁止
1
0
0
Y=B
15
1
1
1
使能
4. 逻辑门的使能和禁止特性
逻 2）或门
辑
门
的
使
能
或门被使能
或门被禁止
和
禁
止
特
性
或门的使能与禁止运算真值表
A
数字电路
B
F=f(A,B)
2
图2.1 数字电路框图
2.2
2.2 基本逻辑运算与基本逻辑门
2.2.1 逻辑与运算和与门
基 本
2.2.2 逻辑或运算和或门
逻
2.2.3 逻辑非运算和非门
辑
2.2.4 基本逻辑门的其它符号表示
运 算
2.2.5 由基本逻辑门构成的其它复合门
与
基
逻辑代数中逻辑运算包括基本逻辑运算和复合逻辑运
基 逻辑或，又叫逻辑加，运算符号为“+”，2变
本 量的逻辑或运算表达式为：
逻
F=A+B
辑
逻辑或电路实例
门
实现逻辑或运算的逻辑电路称为或门
6
2输入或门符号
2.2
2.2.2 逻辑或运算和或门
基 本
F=A+B对应的真值表如表2.2所示。 由真值表可以看出，逻辑或运算的运
或运算真值表
AB
F
逻
算规则是：
27
2.6.1
F AD AD AB AC CD ABEF
逻 辑
F ABC ABC ABC ABC
函
数 的
F AB AAB
公
式 法
F AB AC BC CB BD BD ADE
化
公式化简法简单方便，对逻辑函
简
数的变量个数没有限制。但这种
方法所化简的结果是否达到“最
得到的函数是F的非(称反函数或补函数)。
反演规则是反演律的推广，使用时的注意事项：
① 不能破坏原表达式的运算顺序； ② 不属于单变量的非运算符应保持不变
[例2-1] 求下列函数的反函数
F1 AB ABC CD
F2 ABCDE
解：由反演规则可逐步写出：
F1 AB ABC CD ABABC CD (A B) (A B C)(C D) 25 F2 ABCDE A BCDE A B C D E
9
2.2
2.2.5 由基本逻辑门构成的其它复合门
与非门 ——1个与门和1个非门的组合，F=(AB) ；
基 或非门 ——1个或门和1个非门的组合，F=(A+B) ； 本 与或非门 ——2个与门、1个或门和1个非门的组合，F=(AB+CD)
逻
辑
IEEE/ANSI符号
国际符号 惯用符号
运
算
与 基
与非门 A NAND B
辑 而把灯的状态作为因变量。
运
算
F是A的函数。逻辑代数中将符合图2.8的函
与 数关系定义为逻辑非，又叫逻辑反，运算符号
基 为“￣”，逻辑非属于单目运算，即只有一个
本 运算对象，逻辑非运算表达式为：
逻
F=A
辑 门 实现逻辑非运算的逻辑电路称为非门
逻辑非电路实例 非运算真值表
A
F=A
0
1
8
1
0
2.2
2.2.4 基本逻辑门的其它符号表示
1
0
0
1
1
1
5
2输入与运算的Proteus仿真结果
2.2
2.2.2 逻辑或运算和或门
如果条件之一具备，结果就发生，则称这种逻辑关系为逻辑或运算。
基
本 逻
只要当开关A、B之一闭合时，灯F就能亮。 把电路中开关的状态作为自变量，而把灯的状
辑 态作为因变量。
运
算
与
逻辑代数中将符合图2.5的函数关系定义为
逻 4）或非门
辑
门
的
使
能
或非门被使能
或非门被禁止
和
禁
止
特
性
控制输入端 A
信号输入端 B
18
与非门的使能与禁止运算真值表
A
B
Y=A+B
0
0
1
0
1
0
Y=B 使能
1
0
0
1
1
0
Y=0 禁止
4. 逻辑门的使能和禁止特性
逻 辑 5）异或门和同或门的使能、禁止特性？ 门 的 使 能 和 禁 止 特 性
19
下图是一个用于楼梯灯光控制的电路图，采用这个电路，行人可以方
辑
0+0=0
000
运
0+1=1
011
算
1+0=1
与
1+1=1
基
101 101
本
逻
辑
门
2输入或运算的Proteus仿真结果 7
2.2
2.2.3 逻辑非运算和非门
如果条件具备时，结果不发生；而条件不具备时，结果反而发生，
基
则称这种逻辑关系为逻辑非运算。
本 逻
当开关A断开时，灯F能亮，开关A接通时， 灯F反而不亮。把电路中开关的状态作为自变量，
基
也可以表示为AB。由于每个自变量都只有 0、1两种可能的取值，可以将自变量的各
本
种取值和相应的函数值用表格表示，称为
逻
逻辑函数的真值表表示法。
辑 运 算
由真值表可以看出，逻辑与运算的运算规 则是
0·0=0 0·1=0
与
1·0=0
基
1·1=1
本
逻
辑
门
表2.1 与运算真值表
A
B
F
0
0
0
0
1
0
12
F
A =1 F B
A B
F
F
A =F B
A B
⊙F
正 正逻辑和负逻辑
逻 通常规定：
辑 和
▪ 高电平代表1，低电平代表0，是正逻辑(高电平有效)
负
▪ 高电平代表0，低电平代表1，是负逻辑(低电平有效)
逻
▪ 本书中如无特殊声明，均指正逻辑。
辑 对同一个逻辑电路，从正逻辑和负逻辑的角度分析，其表达的逻辑
数
解：设输入逻辑变量A、B、C分别表示三个人，F代表表决结果，两人以上同 意则表示通过，否则为不通过。A、B、C同意为1，不同意为0。F通过为1，不
的 通过为0。
& FA B
F
A &F A
F
B
B
本
逻 辑 门
或非门 A NOR B
≥FA
1
B
F
A ≥F A
B1
B
+F
A
与或非门 B
&≥ 1
F
A B
C
C
D
D
10
A &≥
A
FB
1F B
C
C
D
D
+F
复 合
异或、同或(异或非)
门
电
路 异或运算( XOR )——F=A B = A B + A B
规则：00=0，01=1，10=1，11=0； 即：两变量取值相同，结果为0；取值不同，结果为1；
原始形式：信号没经反相处理的原始形式。 互补形式：信号反相后的形式。
的 使能：如果允许一个数字信号按照其原始形式或者反相后的互
使
补形式通过某个逻辑门，则说明该逻辑门被使能。
能 禁止：如果阻止一个数字信号按照其原始形式或者反相后的互
和
补形式通过某个逻辑门，则说明该逻辑门被禁止。
禁 1）与门
止
特
基
本
IEEE/ANSI符号
国际符号
惯用符号
逻
辑 运
与门 A AND B
&F
A B
F
A B
&F
A B
F
算
与 基
或门 A OR B
≥1 F
A B
F
A ≥1 F B
A B
+F
本
逻 辑
非门 NOT A
1 FA
F
A 1F
A
F
门
注意： 与门和或门电路具有两个或两个以上的输入端和一个输出端； 非门电路具有一个输入端和一个输出端。
[例] 用对偶规则证明 (A C)(B D)(B D) AB BC
2.6 逻辑函数的化简方法
26
2.6.1
2.6.1 逻辑函数的公式法化简
具体操作：对需要化简的逻辑函数反复运用逻辑代数的基 逻 本定律和常用公式，消去多余的与项和每一个与项中的多 辑 余因子，从而使其符合最简式标准。 函 数 的 公 式 法 化 简
逻
便的在楼梯上部和楼梯下部开启和关闭照明灯。并允许行人从不同方向
辑
进入楼梯时开启照明灯，走过楼梯后关闭照明灯。试分析这种电路可用
门
何种类型的逻辑门来描述。
举
例
A1
220Vac(火线)
灯
B1
A2
楼梯上部 开关A
(地线)
B2
楼梯下部 开关B
20
2.3
2.3.1 基本公式
注：逻辑运算的优先级 （） > 非 > 与 > 或
量
正逻辑：用“0”表示低电平，用“1”表示高电平
与
负逻辑：用“0”表示高电平，用“1”表示低电平
逻 辑
逻辑值不同于二进制数的数值，逻辑值“0”和“1”没有大小之 分，只表示两种不同的状态，比如表示电平的高和低、开关的通
函
和断、指示灯的亮和灭、命题的真和假这类只有两种取值的事件
数
或状态。
设输入变量为A和B，输出变量为F，则逻辑函数可以表示为F=f(A，B)。
本 算。基本逻辑运算只有三种：逻辑与运算、逻辑或运算和
逻 辑 门
逻辑非运算。实际数字电路的逻辑运算通常是这三种基本 逻辑运算的各种不同组合。