豫晋冀三省联考高三数学上学期第二次调研试卷 理(含解析)

豫晋冀三省联考2015届高三上学期第二次调研数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）
A．（1，2）B．C．
2．（5分）已知复数1﹣i=（i为虚数单位），则z等于（）
A．﹣1+3i B．﹣1+2i C．1﹣3i D．1﹣2i
3．（5分）设{a n}是等差数列，若a5=log8，则a4+a6等于（）
A．6 B．8 C．9 D．16
4．（5分）我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（5分）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么•的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为（）
A．8 B．C．3 D．
7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）
A．3 B．﹣6 C．10 D．﹣15
8．（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x
﹣y的
最大值是（）
A．6 B．0 C．2 D．2
9．（5分）函数y=（0＜φ＜）的图象如图，则
（）
A．k=，ω=，φ=B．k=，ω=，φ=
C．k=﹣，ω=2，φ=D．k=﹣2，ω=2，φ=
10．（5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（）
A．B．C．D．
11．（5分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点C，D设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，则等于（）
A．B．C．1 D．2
12．（5分）已知≤k＜1，函数f（x）=|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g （x）=|2x﹣1|的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则（x4﹣x3）+（x2﹣x1）的最小值为
（）
A．1 B．log23 C．log26 D．3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．（5分）设常数a∈R，若的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=．
14．（5分）某次测量发现一组数据（x i，y i）具有较强的相关性，并计算得=x+1，其中数
据（1，y0）因书写不清，只记得y0是任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为．（残差=真实值﹣预测值）
15．（5分）设奇函数f（x）定义在（﹣π，0）∪（0，π）上，其导函数为f′（x），且f （）=0，当0＜x＜π时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜2f（）sinx的解集为．
16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=（﹣1）n a n+，{S n}的前n项和为T n，则T2014=．
三、解答题；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C（C为钝角）所对的边分别为a，b，c，且cos（A+B ﹣C）=，a=2，=2．
（1）求cosC的值；
（2）求b的长．
18．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=CA=2，点E是PC的中点．
（1）求证：侧面PAC⊥平面PBC；
（2）若异面直线AE与PB所成的角为θ，且，求二面角C﹣AB﹣E的大小．
19．（12分）某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往为100位顾客准备泡茶工具所需的时间（t），结果如下：
类别铁观音龙井金骏眉大红袍
顾客数（人）20 30 40 10
时间t（分钟/人） 2 3 4 6
注：服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．
（1）求服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；
（2）用X表示至第4分钟末已准备好了工具的顾客人数，求X的分布列及数学期望．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，
（i）求•的最值．
（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．
21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底）．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x0∈（0，e]，在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g （x0）成立，
求a的取值范围．
22．（10分）如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．
（l）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求⊙O的半径r的长．
23．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），
点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．
（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．
24．（10分）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．
豫晋冀三省联考2015届高三上学期第二次调研数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）
A．（1，2）B．C．
考点：对数函数的定义域；交集及其运算．
专题：函数的性质及应用．
分析：解指数不等式求出集合A，求出对数函数的定义域即求出集合B，然后求解它们的交集．
解答：解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，
由x﹣1＞0得x＞1
∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}
∴A∩B={x|1＜x≤2}
故选D．
点评：本题考查指数不等式的解法，交集及其运算，对数函数的定义域，考查计算能力．2．（5分）已知复数1﹣i=（i为虚数单位），则z等于（）
A．﹣1+3i B．﹣1+2i C．1﹣3i D．1﹣2i
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则即可得出．
解答：解：∵复数1﹣i=，
∴==﹣1+3i．
故选：A．
点评：本题考查了复数定义是法则，属于基础题．
3．（5分）设{a n}是等差数列，若a5=log8，则a4+a6等于（）
A．6 B．8 C．9 D．16
考点：等差数列的性质．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：根据a4+a6=2a5，即可得出结论．
解答：解：由题意，a5=log8=3，
∵{a n}是等差数列，
∴a4+a6=2a5=6，
故选：A．
点评：本题主要考查了等差数列中的等差中项的性质，比较基础．
4．（5分）我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
考点：系统抽样方法．
专题：计算题；概率与统计．
分析：求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可．解答：解：系统抽样的抽取间隔为=6．
设抽到的最小编号x，
则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，
所以x=3．
故选：B．
点评：本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键．
5．（5分）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么•的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量．
专题：平面向量及应用．
分析：由向量的坐标加法运算求得+与的坐标，然后直接利用向量共线的坐标表示列式求解k的值，再求其数量积．
解答：解：∵向量=（1，k），=（2，2），
∴+=（3，k+2），
又+与共线，
∴（k+2）﹣3k=0，
解得：k=1，
∴•=1×2+1×2=4，
故选D
点评：平行问题是一个重要的知识点，在2015届高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．
6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为（）
A．8 B．C．3 D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：先根据双曲线方程求得其中一条渐近线方程，根据题意可知圆心到渐近线的距离为2，进而表示出圆心到渐近线的距离，求得a，b的关系，即可求出双曲线的离心率．解答：解：依题意可知双曲线的一渐近线方程为bx﹣ay=0，
∵|AB|=2，圆的半径为3
∴圆心到渐近线的距离为2，
即=2，解得b= a
∴c=3a，
∴双曲线的离心率为e==3．
故选：C．
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是利用数形结合的方法求得圆心到渐近线的距离．
7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）
A．3 B．﹣6 C．10 D．﹣15
考点：循环结构；选择结构．
专题：计算题．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环判断i是否为奇数求出S的值，并输出最后的S值．
解答：解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：
是否继续循环 i S
循环前 1 0
第一圈是 2﹣1
第二圈是 3 3
第三圈是 4﹣6
第四圈是 5 10
第五圈否
故最后输出的S值为10
故选C．
点评：根据流程图写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是从流程图中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据，选择恰当的数学模型解答．
8．（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x
﹣y的
最大值是（）
A．6 B．0 C．2 D．2
考点：简单线性规划．
专题：数形结合；不等式的解法及应用．
分析：由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为4的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
解答：解：由作出可行域如图，
由图可得A（a，﹣a），B（a，a），
由，得a=2．
∴A（2，﹣2），
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，
∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．
故选：A．
点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．（5分）函数y=（0＜φ＜）的图象如图，则
（）
A．k=，ω=，φ=B．k=，ω=，φ=
C．k=﹣，ω=2，φ=D．k=﹣2，ω=2，φ=
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：用待定系数法求出k的值，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
解答：解：把（﹣2，0）代入y=kx+1，求得k=．
再根据•=﹣=π，可得ω=．
再根据五点法作图可得×+φ=π，求得φ=，
故选：A．
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于基础题．
10．（5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（）
A．B．C．D．
考点：简单空间图形的三视图．
专题：常规题型．
分析：由题意可以判断出两球在正方体的正投影与正方形相切，排除C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住，排除A；得到正确选项．
解答：解：由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切，排除C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被全挡住，由于两球不等，所以排除A；B正确；
故选B
点评：本题是基础题，考查几何体的三视图知识，本题的解答采用排除法，无限思想的应用，考查空间想象能力．
11．（5分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点C，D设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，则等于（）
A．B．C．1 D．2
考点：抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设AF的方程是y=（x﹣1），与抛物线方程联立，求出C的坐标，同理求出D的坐标，可得k2，即可求出．
解答：解：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）
∴AF的方程是y=（x﹣1），
设k0=，则AF：y=k0（x﹣1），
与抛物线方程联立，可得k02x2﹣（2k02+4）x+k02=0，
利用韦达定理x3x1=1，
∴x3=，
∴y3=k0（x3﹣1）=﹣，
即C（，﹣），
同理D（，﹣），
∴k2==2k1，
∴=．
故选：B．
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．（5分）已知≤k＜1，函数f（x）=|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g （x）=|2x﹣1|的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则（x4﹣x3）+（x2﹣x1）的最小值为
（）
A．1 B．log23 C．log26 D．3
考点：函数的零点与方程根的关系．
专题：函数的性质及应用．
分析：先表示出和，和，再表示出，，从而表示出
，求出其范围，从而求出（x4﹣x3）+（x2﹣x1）的范围，进而求出
（x4﹣x3）+（x2﹣x1）的最小值．
解答：解：∵x1＜x2，
∴，，
又∵x3＜x4，
∴，，
∴，；
∴；
又，
∴；
∴x4﹣x3+x2﹣x1∈
故选：B．
点评：本题考察了函数的零点，方程的根的关系，求函数的值域问题以及指数函数的运算，是一道综合题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．（5分）设常数a∈R，若的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=﹣2．
考点：二项式系数的性质．
专题：计算题．
分析：利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得
x7的系数，列出方程求解即可．
解答：解：的展开式的通项为T r+1=C5r x10﹣2r（）r=C5r x10﹣3r a r
令10﹣3r=7得r=1，
∴x7的系数是aC51
∵x7的系数是﹣10，
∴a C51=﹣10，
解得a=﹣2．
故答案为：﹣2．
点评：本题主要考查了二项式系数的性质．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
14．（5分）某次测量发现一组数据（x i，y i）具有较强的相关性，并计算得=x+1，其中数据（1，y0）因书写不清，只记得y0是任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为．（残差=真实值﹣预测值）
考点：回归分析．
专题：计算题；概率与统计．
分析：求出预测值，再求出该数据对应的残差的绝对值不大于1时y0的取值范围，用几何概型解答．
解答：解：由题意，其预估值为1+1=2，
该数据对应的残差的绝对值不大于1时，1≤y0≤3，
其概率可由几何概型求得，
即该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率P==．
故答案为：．
点评：本题考查了几何概型的概率公式，属于基础题．
15．（5分）设奇函数f（x）定义在（﹣π，0）∪（0，π）上，其导函数为f′（x），且f （）=0，当0＜x＜π时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜2f（）sinx的解集为（﹣，0）∪（，π）．
考点：利用导数研究函数的单调性；函数的定义域及其求法．
专题：导数的综合应用．
分析：设g（x）=，利用导数判断出g（x）单调性，根据函数的单调性求出不等式的解集．
解答：解：设g（x）=，
∴g′（x）=，
∵f（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的奇函数，
故g（﹣x）===g（x）
∴g（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的偶函数．
∵当0＜x＜π时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0
∴g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，π）上单调递减，
∴g（x）在（﹣π，0）上单调递增．
∵f（）=0，
∴g（）==0，
∵f（x）＜2f（）sinx，
∴g（x）＜g（），x∈（0，π），或g（x）＞g（﹣），x∈（﹣π，0），
∴，或．
故x的不等式f（x）＜2f（）sinx的解集为（﹣，0）∪（，π）．
故答案为：（﹣，0）∪（，π）
点评：求抽象不等式的解集，一般能够利用已知条件判断出函数的单调性，再根据函数的单调性将抽象不等式转化为具体函的不等式解之
16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=（﹣1）n a n+，{S n}的前n项和为T n，则T2014=．
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由数列递推式求得数列的通项公式，得到数列的奇数项和偶数项，然后代入T2014，分组后利用等比数列的求和公式得答案．
解答：解：由S n=（﹣1）n a n+，
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（﹣1）n a n﹣（﹣1）n﹣1a n﹣1﹣．
n为偶数时，a n﹣1=；
n为奇数时，2a n+a n﹣1=，
∴a2=a4=…=a2014=0．
∴T2014=（﹣a1+a2﹣a3+…+a2014）+（++…+）
=﹣（a1+a3+…+a2013）+（++…+）
=﹣（）+（++…+）
=﹣+
=．
故答案为：．
点评：本题考查了数列递推式，考查了等比数列的前n项和，训练了数列的分组求和，是中档题．
三、解答题；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C（C为钝角）所对的边分别为a，b，c，且cos（A+B ﹣C）=，a=2，=2．
（1）求cosC的值；
（2）求b的长．
考点：余弦定理；正弦定理．
专题：解三角形．
分析：（1）已知第二个等式利用正弦定理化简，把a的值代入求出c的值，第一个等式中的角度变形后，利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，即可求出cosC的值；（2）利用余弦定理列出关系式，把a，c，cosC的值代入即可求出b的值．
解答：解：（1）由正弦定理得：===2，即c=2a=4，
∵cos（A+B﹣C）=cos（π﹣2C）=﹣cos2C=﹣2cos2C+1=，
∴cosC=﹣；
（2）由余弦定理得：cosC=，
把a=2，c=4，cosC=﹣代入得：b=．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及诱导公式，熟练掌握定理是解本题的关键．
18．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=CA=2，点E是PC的中点．
（1）求证：侧面PAC⊥平面PBC；
（2）若异面直线AE与PB所成的角为θ，且，求二面角C﹣AB﹣E的大小．
考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（1）利用线面垂直的性质可得PB⊥AC，利用线面垂直的判定即可得出AC⊥平面PBC，利用面面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）通过建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出BC的长度，进而利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．
解答：（1）证明：∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥AC；
∵∠BCA=90°，∴AC⊥BC；
又∵PB∩BC=B，∴AC⊥平面PBC；
又∵AC⊂平面PAC，∴面PAC⊥面PBC
（2）以C为原点，CA、CB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，设BC=m＞0，
则C（0，0，0），A（2，0，0），E（0，，1），B（0，m，0），P（0，m，2）．
∴，，．
由，得，由==，
∴，解得m=．
则，．
设平面ABE的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=1，则y=，
z=1，
∴=（1，，1）．
取平面ABC的一个法向量=（0，0，1），
∴===．∴．
∴二面角C﹣AB﹣E的大小为60°．
点评：本题综合考查了通过建立空间直角坐标系求异面直线的夹角、二面角，线面、面面垂直的判定与性质定理，需要较强的推理能力、计算能力和空间想象能力．
19．（12分）某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往为100位顾客准备泡茶工具所需的时间（t），结果如下：
类别铁观音龙井金骏眉大红袍
顾客数（人）20 30 40 10
时间t（分钟/人） 2 3 4 6
注：服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．
（1）求服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；
（2）用X表示至第4分钟末已准备好了工具的顾客人数，求X的分布列及数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
专题：概率与统计．
分析：（1）设Y表示服务员准备工具所需的时间，用P表示对应的概率，求出Y的分布列，
计算“服务员在第6分钟开始为第三位顾客准备泡茶工具”的概率；
（2）分析X的可能取值，求出X的分布列与数学期望．
解答：解：（1）设Y表示服务员准备工具所需的时间，用P表示概率，得Y的分布列如下；Y 2 3 4 6
P
A表示事件“服务员在6分钟开始为第三位顾客准备泡茶工具”，则事件A对应两种情形：
①为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟，且为第二位所需的时间为3分钟；
②为第一位顾客所需的时间为3分钟，且为第一位顾客准备所需的时间为2分钟；
∴P（A）=P（Y=2）•P（Y=3）+P（Y=3）•P（Y=2）
=×+×=；
（2）X的取值为0、1、2，
X=0时对应为第一位顾客准备所需的时间超过4分钟，
∴P（X=0）=P（Y＞4）=；
X=1对应为第一位顾客所需的时间2分钟且为第二位顾客准备所需的时间超过2分钟，
或为第一位顾客准备所需的时间3分钟或为第一位顾客准备所需的时间4分钟，
∴P（X=1）=P（Y=2）•P（Y＞2）+P（Y=3）+P（ Y=4）
=×++=；
X=2对应准备两位顾客泡茶工具的时间均为2分钟，
∴P（X=2）=P（Y=2）P（Y=2）=×=；
∴X的数学期望是E（X）=0×+1×+2×=．
点评：本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，解题的关键是得出随机变量的可能取值，把随机变量与事件结合起来，是中档题．
20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，
（i）求•的最值．
（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．
考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）把点代入椭圆的方程，得到，由离心率，再
由a2=b2+c2，
联立即可得到a2、b2、c2；
（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），设k AC=k，由k AC•k BD=﹣=﹣，可得．
把直线AC、BD的方程分别与椭圆的方程联立解得点A，B，的坐标，再利用数量积即可得到关于k的表达式，利用基本不等式的性质即可得出最值；
（ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB，得到
=4，代入计算即可证明．
解答：解：（1）由题意可得，解得，
∴椭圆的标准方程为．
（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x1＞0，x2＞0．
设k AC=k，∵k AC•k BD=﹣=﹣，∴．
可得直线AC、BD的方程分别为y=kx，．
联立，．
解得，．
∴=x1x2+y1y2===2，当且仅当时取等号．
可知：当x1＞0，x2＞0时，有最大值2．
当x1＜0，x2＜0．有最小值﹣2．
ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB．
∴=4=4
=4
=4==128，
∴四边形ABCD的面积=为定值．
点评：熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程得到一元二次方程的根与系数的关系、数量积、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式等是解题的关键．
21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底）．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x0∈（0，e]，在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g （x0）成立，
求a的取值范围．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，f′（x）=1﹣=．分别解出f′（x）
＜0，f′（x）＞0，即可得出函数的单调区间．
（2）g′（x）=（1﹣x）e1﹣x，分别解出g′（x）＞0，g′（x）＜0，即可得出函数g（x）的单调性极值与最值．因此函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．
当a=2时，不适合题意；当a≠2时，f′（x）=，x∈（0，e]．由
于在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，可得：函数f（x）
在（0，e]上不单调，于是．
解得①，此时，当x变化时，可得函数f（x）的单调性极值与最值．由于x→0时，f（x）→+∞，，f（e）=（2﹣a）（e﹣1）﹣2．由题意当且仅当满足：≤0②，f（e）≥1③．再利用导数研究其单调性极值与最值即可．
解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，f′（x）=1﹣=．
由f′（x）＜0，解得0＜x＜2；由f′（x）＞0，解得2＜x．
∴函数f（x）的单调递增区间为（2，+∞）；单调递减区间为（0，2）．
（2）g′（x）=（1﹣x）e1﹣x，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增；当1＜x时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减．
∵g（0）=0，g（1）=1，1＞g（e）=e•e1﹣e=e2﹣e＞0，
∴函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．
当a=2时，不适合题意；
当a≠2时，f′（x）=，x∈（0，e]．
∵在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，
∴函数f（x）在（0，e]上不单调，∴．
∴①，此时，当x变化时，列表如下：
x
f′（x）﹣0 +
f（x）单调递减极小值单调递增
∵x→0时，f（x）→+∞，，f（e）=（2﹣a）（e﹣1）﹣2．
由于对任意的x0∈（0，e]，在（0，e]上存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，
当且仅当满足：≤0②，f（e）≥1③．
令h（a）=a﹣2，，h′（a）=．
令h′（a）=0，解得a=0．
当a∈（﹣∞，0）时，h′（a）＞0，函数h（a）为增函数；
当a∈时，h′（a）＜0，函数h（a）为减函数．
∴当a=0时，函数h（a）取得极大值即最大值，h（0）=0．即②式在
恒成立．
由③式解得a≤，④．
由①④可得：当a∈时，对任意的x0∈（0，e]，在（0，e]上存在两
个不同的
x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法与恒成立问题等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22．（10分）如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．
（l）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求⊙O的半径r的长．
考点：与圆有关的比例线段．
专题：立体几何．
分析：（1）如图所示，连接OC．由AB∥DE，可得，由于OD=OE，可得OA=OB．由于AC=CB，可得OC⊥AB．即可得出直线AB是EO的切线．
（2）延长AO交⊙O于点F，连接CF．由（1）可得∠ACD=∠F．由tan∠AC D=，可得tan∠F=．由于△ACD∽△AFC，可得，再利用切割线定理可得：AC2=AD•（AD+2r），即可得出．解答：（1）证明：如图所示，连接OC．
∵AB∥DE，∴，∵OD=OE，∴OA=OB．∵AC=CB，∴OC⊥AB．∴直线AB是EO的切线．（2）解：延长AO交⊙O于点F，连接CF．由（1）可得∠ACD=∠F．
∵tan∠ACD=，∴tan∠F=．
∵△ACD∽△AFC，
∴，
而AD=2，∴AC=4．
由切割线定理可得：AC2=AD•（AD+2r），
∴42=2×（2+2r），解得r=3．
点评：本题考查了圆的切线的性质、切割线定理、相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），
点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．
（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．
考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：（1）首先，将曲线C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围．
解答：解：（1）根据题意，得
曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=12，
设点P（x′，y′），Q（x，y），
根据中点坐标公式，得
，代入x2+y2﹣4y=12，
得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，
（2）直线l的普通方程为：y=ax，根据题意，得
，
解得实数a的取值范围为：．
点评：本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．
24．（10分）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．
考点：带绝对值的函数；其他不等式的解法．
专题：计算题；压轴题．
分析：（Ⅰ）不等式等价于①，或②，或③．
分别求出这3个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值等于4，故有|a﹣1|＞4，解此不等式求得实数a的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6 即|2x+1|+|2x﹣3|≤6，
∴①，或②，或
③．
解①得﹣1≤x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x≤2．
故由不等式可得，
即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．
（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，即f（x）的最小值等于4，∴|a﹣1|＞4，解此不等式得a＜﹣3或a＞5．
故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。