2019届高考数学一轮总复习 8.3圆的方程练习.doc

2019届高考数学一轮总复习 8.3圆的方程练习
一、选择题
1．若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2
＋y 2
＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3
D ．－3
解析 因为圆x 2
＋y 2
＋2x －4y ＝0的圆心为(－1,2)，所以3×(－1)＋2＋a ＝0，解得a ＝1.
答案 B
2．方程|x |－1＝1－y －
2
所表示的曲线是( )
A ．一个圆
B ．两个圆
C ．半个圆
D ．两个半圆
解析 由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧
x |－2
＋y －
2
＝1，
|x |－1≥0.
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －
2
＋y －
2
＝1，
x ≥1
或
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋2
＋y －
2
＝1，
x ≤－1.
故原方程表示两个半圆． 答案 D
3．(2015·青岛模拟)若过点A (a ，a )可作圆x 2
＋y 2
－2ax ＋a 2
＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－3)
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32 C ．(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32 D ．(－3，＋∞)
解析 圆的方程可化为(x －a )2
＋y 2
＝3－2a .过点A (a ，a )可作圆的两条切线，所以
⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
＋a 2
－2a 2
＋a 2
＋2a －3>0，3－2a >0，
解之得a <－3或1<a <32
，
故a 的取值范围为(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32. 答案 C
4．已知方程x 2
＋y 2
＋kx ＋2y ＋k 2
＝0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆
的圆心的坐标为( )
A ．(－1,1)
B ．(－1,0)
C ．(1，－1)
D ．(0，－1)
解析 由x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0知所表示圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝12－3k 2
＋4，
当k ＝0时，r max ＝1
24＝1，
此时圆的方程为x 2
＋y 2
＋2y ＝0，
即x 2
＋(y ＋1)2
＝1，所以圆心为(0，－1)． 答案 D
5．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )
A ．x 2
＋y 2
－2x ＋4y ＝0 B ．x 2
＋y 2
＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2
＋y 2
＋2x －4y ＝0 D ．x 2
＋y 2
－2x －4y ＝0
解析 由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0得a (x ＋1)－(x ＋y －1)＝0，∴直线恒过定点(－1,2)． ∴圆的方程为(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝5， 即x 2
＋y 2
＋2x －4y ＝0. 答案 C
6．若圆x 2
＋y 2
－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )
A ．(－∞，4)
B ．(－∞，0)
C ．(－4，＋∞)
D ．(4，＋∞)
解析 将圆的方程变形为(x －1)2
＋(y ＋3)2
＝10－5a ，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a >0，即a <2.∵圆关于直线y ＝x ＋2b 对称，∴圆心在直线y ＝x ＋2b 上，即－3＝1＋2b ，解得b ＝－2，∴a －b <4.
答案 A 二、填空题
7．经过三点A (1，－1)、B (1,4)、C (4，－2)的圆的方程为______________． 解析 根据题意，设所求圆的方程为
x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．
由于圆过A 、B 、C 三点，
所以有⎩⎪⎨⎪
⎧
2＋D －E ＋F ＝0，17＋D ＋4E ＋F ＝0，
20＋4D －2E ＋F ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
D ＝－7，
E ＝－3，
F ＝2.
故所求圆的方程为x 2
＋y 2
－7x －3y ＋2＝0. 答案 x 2
＋y 2
－7x －3y ＋2＝0
8．已知A 、B 是圆O ：x 2
＋y 2
＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 的长为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是______________．
解析 设圆心坐标为M (x ，y )， 则(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝⎝
⎛⎭
⎪⎫|AB |22，
即(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝9. 答案 (x －1)2
＋(y ＋1)2
＝9
9．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2
＋y 2
－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．
解析 l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝32
，则AB 边上的高的最小值为
3
2
－
1.
故△ABC 面积的最小值是12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1
＝3－ 2. 答案 3－ 2 三、解答题
10．根据下列条件求圆的方程．
(1)经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上； (2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)． 解 (1)设圆的标准方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2，
由题意列出方程组⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＋
b 2＝r 2
，a －
2
＋b －2
＝r 2
，
2a ＋3b ＋1＝0，
解之得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝4，
b ＝－3，
r 2＝25.
∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2
＝25.
(2)方法一：设圆的标准方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
，
则有⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝－4a ，－a 2
＋－2－b 2
＝r 2
，
|a ＋b －1|
2＝r ，
解得⎩⎨⎧
a
＝1，
b ＝－4，
r ＝2 2.
∴圆的方程为(x －1)2
＋(y ＋4)2
＝8.
方法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．
∴半径r ＝
－
2
＋－4＋
2
＝2 2.
∴所求圆的方程为(x －1)2
＋(y ＋4)2
＝8.
11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 由圆弧C 1和圆弧C 2相接而成，两相接点M ，N 均在直线x ＝5上．圆弧C 1的圆心是坐标原点O ，半径为13；圆弧C 2过点A (29，0)．
(1)求圆弧C 2的方程；
(2)曲线C 上是否存在点P ，满足PA ＝30PO ？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．
解 (1)圆弧C 1所在圆的方程为x 2
＋y 2
＝169，令x ＝5，解得M (5,12)，N (5，－12)． 则线段AM 中垂线的方程为y －6＝2(x －17)，令y ＝0，得圆弧C 2所在圆的圆心为(14,0)， 又圆弧C 2所在圆的半径r 2＝29－14＝15， ∴圆弧C 2的方程为(x －14)2
＋y 2
＝225(5≤x ≤29)．
(2)不存在．理由：假设存在这样的点P (x ，y )，则由PA ＝30PO ，得x 2
＋y 2
＋2x －29＝0，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
＋y 2
＋2x －29＝0，x 2＋y 2
＝
－13≤x ，
解得x ＝－70(舍去)．
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋y 2
＋2x －29＝0，x －2＋y 2
＝x ，
解得x ＝0(舍去)，综上，这样的点P 不存在．
培 优 演 练
1．设P 为直线3x ＋4y ＋3＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2
＋y 2
－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值为( )
A ．1
B ．2 C. 3
D ．3
解析 依题意，圆C ：(x －1)2
＋(y －1)2
＝1的圆心是点C (1，1)，半径是1，易知|PC |的最小值等于圆心C (1,1)到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离，即10
5
＝2，
而四边形PACB 的面积等于2S △PAC ＝2×(1
2|PA |·|AC |)＝|PA |·|AC |＝|PA |＝
|PC |2
－1，
因此四边形PACB 的面积的最小值是22
－1＝ 3. 答案 C
2．(2014·江西卷)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )
A.4
5
π B.34π C ．(6－25)π
D.54
π
解析 由题意得以AB 为直径的圆C 过原点O ，圆心C 为AB 的中点，设D 为切点，要使圆C 的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC ＋CD 最小，其最小值为OE (过原点O 作直线2x ＋y －4＝0的垂线，垂足为E )的长度．由点到直线的距离公式得OE ＝
45
.∴圆C 面积
的最小值为π⎝
⎛⎭⎪⎫252＝4
5
π.故选A. 答案 A
3．(2015·江苏扬州中学月考)已知方程x 2
＋x tan θ－1sin θ
＝0有两个不等实根a 和b ，
那么过点A (a ，a 2
)，B (b ，b 2
)的直线与圆x 2
＋y 2
＝1的位置关系是________．
解析 由题意可知过A ，B 两点的直线方程为(a ＋b )x －y －ab ＝0，圆心到直线AB 的距
离为d ＝
|ab |
a ＋
b 2＋1，而a ＋b ＝－1tan θ，ab ＝－1
sin θ，因此d ＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
1sin θ1
tan 2
θ
＋1，化简
后得d ＝1，故直线与圆相切．
答案 相切
4．已知曲线C 的方程为：ax 2
＋ay 2
－2a 2
x －4y ＝0(a ≠0，a 为常数)． (1)判断曲线C 的形状；
(2)设曲线C 分别与x 轴，y 轴交于点A ，B (A ，B 不同于原点O )，试判断△AOB 的面积S 是否为定值？并证明你的判断；
(3)设直线l ：y ＝－2x ＋4与曲线C 交于不同的两点M ，N ，且|OM |＝|ON |，求曲线C 的方程．
解 (1)将曲线C 的方程化为x 2＋y 2－2ax －4a
y ＝0⇒(x －a )2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －2a 2＝a 2＋4a
2，可知曲
线C 是以点⎝
⎛⎭
⎪⎫a ，2a 为圆心，以
a 2＋4
a
2为半径的圆．
(2)△AOB 的面积S 为定值． 证明如下：
在曲线C 的方程中令y ＝0，得ax (x －2a )＝0，得点A (2a,0)，
在曲线C 方程中令x ＝0，得y (ay －4)＝0，得点B ⎝
⎛⎭
⎪⎫0，4a ，
∴S ＝12|OA |·|OB |＝12·|2a |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4a ＝4(定值)．
(3)∵圆C 过坐标原点，且|OM |＝|ON |， ∴OC ⊥MN ，∴2a 2＝1
2
，∴a ＝±2.
当a ＝－2时，圆心坐标为(－2，－1)，圆的半径为5， 圆心到直线l ：y ＝－2x ＋4的距离
d ＝
|－4－1－4|5＝9
5
>5， 直线l 与圆C 相离，不合题意舍去， ∴a ＝2时符合题意．
这时曲线C的方程为x2＋y2－4x－2y＝0.。