苏教七年级下册期末解答题压轴数学必备知识点题目精选及答案解析

苏教七年级下册期末解答题压轴数学必备知识点题目精选及答案解析 一、解答题
1．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 上一点，将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED ，边AE 交BC 于点F ．
(1)如图①，当AE ⊥BC 时，写出图中所有与∠B 相等的角： ；所有与∠C 相等的角： ．
(2)若∠C －∠B ＝50°，∠BAD ＝x °(0＜x ≤45) ． ① 求∠B 的度数；
②是否存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．若存在，并求x 的值；若不存在，请说明理由．
2．如图，在ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，20B ∠=︒，60C ∠=°．
（1）求CAD ∠、AEC ∠和EAD ∠的度数．
（2）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当30B ∠=︒，60C ∠=°，则
EAD ∠=__________︒．
当50B ∠=︒，C 60∠=︒时，则EAD ∠=__________︒． 当60B ∠=︒，60C ∠=°时，则EAD ∠=__________︒． 当70B ∠=︒，60C ∠=°时，则EAD ∠=__________︒．
（3）若B 和C ∠的度数改为用字母α和β来表示，你能找到EAD ∠与α和β之间的关系吗？请直接写出你发现的结论．
3．如图所示，已知射线//,//,100CB OA AB OC C OAB ︒∠=∠=.点E 、F 在射线CB 上，且满足FOB AOB ∠=∠，OE 平分COF ∠ （1）求EOB ∠的度数；
（2）若平行移动AB ，那么:OBC OFC ∠∠的值是否随之发生变化？如果变化，找出变化规律.若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使OEC OBA ∠=∠？若存在，求出其度数．若不存在，请说明理由.
4．如果三角形的两个内角α与β满足290αβ+=︒，那么我们称这样的三角形是“准互余三角形”．
（1）如图1，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，BD 是ABC 的角平分线，求证：ABD △是“准互余三角形”；
（2）关于“准互余三角形”，有下列说法：
①在ABC 中，若100A ∠=︒，70B ∠=︒，10C ∠=︒，则ABC 是“准互余三角形”； ②若ABC 是“准互余三角形”，90C ∠>︒，60A ∠=︒，则20B ∠=︒； ③“准互余三角形”一定是钝角三角形．
其中正确的结论是___________（填写所有正确说法的序号）；
（3）如图2，B ，C 为直线l 上两点，点A 在直线l 外，且50ABC ∠=︒．若P 是直线l 上一点，且ABP △是“准互余三角形”，请直接写出APB ∠的度数． 5．互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究． 小亮：已知，如图三角形
，点D 是三角形
内一点，连接BD ，CD ，试探究
BDC ∠与A ∠，，2∠之间的关系．
小明：可以用三角形内角和定理去解决． 小丽：用外角的相关结论也能解决．
（1）请你在横线上补全小明的探究过程： ∵，（______） ∴，（等式性质）
∵， ∴
，
∴
．（______）
（2）请你按照小丽的思路完成探究过程； （3）利用探究的结果，解决下列问题： ①如图①，在凹四边形中，，
，求
______；
②如图②，在凹四边形
中，
与ACD ∠的角平分线交于点E ，60A ∠=︒，
，则
______；
③如图③，
，ACD ∠的十等分线相交于点、
、
、…、
，若
，
，则A ∠的度数为______；
④如图④，BAC ∠，BDC ∠的角平分线交于点E ，则B ，C ∠与E ∠之间的数量关系是______； ⑤如图⑤，，BAC ∠的角平分线交于点E ，
，
，求AEB ∠的
度数．
6．直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在直线PQ 上运动，点B 在直线MN 上运动．
（1）如图1，已知AE BE 、分别是BAO ∠和ABO ∠角的平分线，点A
B 、在运动的过程中，AEB ∠的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出AEB ∠的大小．
（2）如图2，已知AB 不平行CD AD BC ，、分别是BAP ∠和ABM ∠的角平分线，又
DE CE 、分别是ADC ∠和BCD ∠的角平分线，点A B 、在运动的过程中，CED ∠的大小是否
会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出CED ∠的度数． （3）如图3，延长BA 至G ，已知BAO OAG ∠∠、的角平分线与BOQ ∠的角平分线及反向延长线相交于E F 、，在AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，则ABO ∠的度数为____（直接写答案）
7．已知//AB CD ，点M 、N 分别是AB 、CD 上的点，点G 在AB 、CD 之间，连接
MG 、NG ．
（1）如图1，若GM GN ⊥，求AMG CNG +∠∠的度数．
（2）在（1）的条件下，分别作BMG ∠和GND ∠的平分线交于点H ，求MHN ∠的度数． （3）如图2，若点P 是CD 下方一点，MT 平分BMP ∠，NC 平分TNP ∠，已知
40BMT ∠=︒．则判断以下两个结论是否正确，并证明你认为正确的结论．①MTN P
∠+∠为定值；②MTN P ∠-∠为定值． 8．（想一想）
在三角形的三条重要线段（高、中线、角平分线）中，能把三角形面积平分的是三角形的______； （比一比）
如图，已知12l l //，点A 、D 在直线1l 上，点B 、C 在直线2l 上，连接AB 、AC 、DB 、
DC ，AC 与DB 相交于点O ，则ABC 的面积_______DBC △的面积；（填“＞”“＜”或
“＝”）
（用一用）
如图所示，学校种植园有一块四边形试验田STPQ ．现准备过S 点修一条笔直的小路（小路面积忽略不计），将试验田分成面积相等的两部分，安排“拾穗班”、“锄禾班”两班种植蔬菜，进行劳动实践，王老师提醒同学们先把四边形转化为同面积的三角形，再把三角形的面积二等分即可．请你在下图中画出小路SM ，并保留作图痕迹．
9．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
（探究1）：如图1，在ΔA BC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分
析发现∠BOC=90º+1
2∠A，（请补齐空白处
．．．．．．）
理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠1=1
2
∠ABC，_________________，
在ΔABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180º．
∴∠1+∠2=1
2（∠ABC+∠ACB）=1
2
（180º－∠A）=90º－1
2
∠A，
∴∠BOC=180º－（∠1+∠2）=180º－（________）=90º+1
2
∠A．
（探究2）：如图2，已知O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
（应用）：如图3，在RtΔAOB中，∠AOB=90º，已知AB不平行与CD，AC、BD分别是
∠BAO和∠ABO的角平分线，又CE、DE分别是∠ACD和∠BDC的角平分线，则
∠E=_______；
（拓展）：如图4，直线MN与直线PQ相交于O，∠MOQ=60º，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线交于E、F，在ΔAEF中，如果有一个角是另一个角的4倍，则
∠ABO=______．
10．问题1：现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．（1）探究1：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是；（2）探究2：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是；
（3）探究3：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．
（4）问题2：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD 纸片沿EF 折叠，使点A 、B 落在四边形EFCD 的内部时，∠1+∠2与∠A 、∠B 之间的数量关系是 .
【参考答案】
一、解答题
1．(1)∠E 、∠CAF ；∠CDE 、∠BAF ； (2)①20°；②30 【分析】
（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与∠B 相等的角；由等角代换即可得与∠C 相等的角；
（2）①由三角形内角和定理可得，
解析：(1)∠E 、∠CAF ；∠CDE 、∠BAF ； (2)①20°；②30 【分析】
（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与∠B 相等的角；由等角代换即可得与∠C 相等的角；
（2）①由三角形内角和定理可得90B C ∠+∠=︒，再由50C B ∠∠︒-=根据角的和差计算即可得∠C 的度数，进而得∠B 的度数．
②根据翻折的性质和三角形外角及三角形内角和定理，用含x 的代数式表示出∠FDE 、∠DFE 的度数，分三种情况讨论求出符合题意的x 值即可． 【详解】
（1）由翻折的性质可得：∠E ＝∠B ， ∵∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ， ∴∠DFE ＝90°，
∴180°－∠BAC ＝180°－∠DFE ＝90°， 即：∠B ＋∠C ＝∠E ＋∠FDE ＝90°， ∴∠C ＝∠FDE ， ∴AC ∥DE ， ∴∠CAF ＝∠E ， ∴∠CAF ＝∠E ＝∠B
故与∠B 相等的角有∠CAF 和∠E ； ∵∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，
∴∠BAF ＋∠CAF ＝90°, ∠CFA ＝180°－（∠CAF ＋∠C ）＝90° ∴∠BAF ＋∠CAF ＝∠CAF ＋∠C ＝90° ∴∠BAF ＝∠C
又AC ∥DE ， ∴∠C ＝∠CDE ，
∴故与∠C 相等的角有∠CDE 、∠BAF ； （2）①∵90BAC ∠=︒ ∴90B C ∠+∠=︒ 又∵50C B ∠∠︒-=， ∴∠C ＝70°，∠B ＝20°;
②∵∠BAD ＝x °, ∠B ＝20°则160ADB x ∠︒︒=-,20ADF x ∠︒︒=+, 由翻折可知：∵160ADE ADB x ∠∠︒︒==-, 20E B ∠∠︒==, ∴1402FDE x ∠︒︒=-, 202DFE x ∠︒︒=+,
当∠FDE ＝∠DFE 时，1402202x x ︒︒︒︒-=+, 解得：30x ︒︒=；
当∠FDE ＝∠E 时，140220x ︒︒︒-=，解得：60x ︒︒=（因为0＜x ≤45，故舍去）； 当∠DFE ＝∠E 时，20220x ︒︒︒+=，解得：0x ︒＝（因为0＜x ≤45，故舍去）； 综上所述，存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．且30x =． 【点睛】
本题考查图形的翻折、三角形内角和定理、平行线的判定及其性质、三角形外角的性质、等角代换，解题的关键是熟知图形翻折的性质及综合运用所学知识．
2．（1）30°，70°，20°；（2）15°，5°，0°，5°；（3）当时，；当时，． 【分析】
（1）先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出和的度数，进而可求和的度数；
解析：（1）30°，70°，20°；（2）15°，5°，0°，5°；（3）当αβ<时，1()2EAD βα∠=-；当αβ>时，1
()2
EAD αβ∠=-．
【分析】
（1）先利用三角形内角和定理求出BAC ∠的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出
EAC ∠和DAC ∠的度数，进而可求AEC ∠和EAD ∠的度数；
（2）先利用三角形内角和定理求出BAC ∠的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出
EAC ∠和DAC ∠的度数，则前三问利用EAD EAC DAC ∠=∠-∠即可得出答案，第4问利
用EAD DAC EAC ∠=∠-∠即可得出答案；
（3）按照（2）的方法，将相应的数换成字母即可得出答案． 【详解】
（1）∵20B ∠=︒，60C ∠=°， ∴180100BAC B C ∠=-∠-∠=︒︒ ． ∵AE 平分BAC ∠，
∴1
502EAC BAC ∠=∠=︒．
∵AD 是高，
90ADC ADE ∴∠=∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ， 20EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒ ， 9070AEC EAD ∴∠=︒-∠=︒ ．
（2）当30B ∠=︒，60C ∠=°时， ∵30B ∠=︒，60C ∠=°， ∴18090BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒． ∵AE 平分BAC ∠，
∴1
452EAC BAC ∠=∠=︒．
∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ， 15EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒ ；
当50B ∠=︒，60C ∠=°时， ∵50B ∠=︒，60C ∠=°， ∴18070BAC B C ∠=-∠-∠=︒︒ ． ∵AE 平分BAC ∠，
∴1
352EAC BAC ∠=∠=︒．
∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ，
5EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒ ；
当60B ∠=︒，60C ∠=°时， ∵60B ∠=︒，60C ∠=°， ∴18060BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒． ∵AE 平分BAC ∠，
∴1
302EAC BAC ∠=∠=︒．
∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ， 0EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒ ；
当70B ∠=︒，60C ∠=°时， ∵70B ∠=︒，60C ∠=°， ∴18050BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒． ∵AE 平分BAC ∠，
∴1
252EAC BAC ∠=∠=︒．
∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ， 5EAD DAC EAC ∴∠=∠-∠=︒ ．
（3）当B C ∠<∠ 时，即αβ<时， ∵B α∠=，C β∠=，
∴180180BAC B C αβ∠=︒-∠-∠=︒-- ． ∵AE 平分BAC ∠，
∴1111
(180)902222EAC BAC αβαβ∠=∠=︒--=--．
∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9090CAD C β∴∠=︒-∠=︒- ，
1
()2
EAD EAC CAD βα∴∠=∠-∠=- ；
当B C ∠>∠ 时，即αβ>时， ∵B α∠=，C β∠=，
∴180180BAC B C αβ∠=︒-∠-∠=︒-- ． ∵AE 平分BAC ∠，
∴1111
(180)902222EAC BAC αβαβ∠=∠=︒--=--．
∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9090CAD C β∴∠=︒-∠=︒- ，
1
()2
EAD DAC EAC αβ∴∠=∠-∠=- ；
综上所述，当αβ<时，1
()2EAD βα∠=-；当αβ>时，1()2EAD αβ∠=-．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和定理和三角形的角平分线，高，掌握三角形内角和定理和直角三角形两锐角互余是解题的关键．
3．（1）40°；（2）的值不变，比值为;（3）∠OEC=∠OBA=60°. 【分析】
（1）根据OB 平分∠AOF ，OE 平分∠COF ，即可得出∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠COA ，从而得出答案； （2
解析：（1）40°；（2）:OBC OFC ∠∠的值不变，比值为1
2;（3）∠OEC=∠OBA=60°. 【分析】
（1）根据OB 平分∠AOF ，OE 平分∠COF ，即可得出∠EOB=∠EOF+∠FOB=1
2∠COA ，从而得出答案；
（2）根据平行线的性质，即可得出∠OBC=∠BOA，∠OFC=∠FOA，再根据
∠FOA=∠FOB+∠AOB=2∠AOB，即可得出∠OBC：∠OFC的值为1：2．
（3）设∠AOB=x，根据两直线平行，内错角相等表示出∠CBO=∠AOB=x，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠OEC，然后利用三角形的内角和等于180°列式表示出∠OBA，然后列出方程求解即可．
【详解】
（1）∵CB∥OA
∴∠C+∠COA=180°
∵∠C=100°
∴∠COA=180°-∠C=80°
∵∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF
∴∠FOB+∠EOF=1
2（∠AOF+∠COF）=1
2
∠COA=40°;
∴∠EOB=40°;
（2）∠OBC：∠OFC的值不发生变化
∵CB∥OA
∴∠OBC=∠BOA，∠OFC=∠FOA
∵∠FOB=∠AOB
∴∠FOA=2∠BOA
∴∠OFC=2∠OBC
∴∠OBC：∠OFC=1：2
（3）当平行移动AB至∠OBA=60°时，∠OEC=∠OBA．
设∠AOB=x，
∵CB∥AO，
∴∠CBO=∠AOB=x，
∵CB∥OA，AB∥OC，
∴∠OAB+∠ABC=180°，∠C+∠ABC=180°
∴∠OAB=∠C=100°．
∵∠OEC=∠CBO+∠EOB=x+40°，
∠OBA=180°-∠OAB-∠AOB=180°-100°-x=80°-x，
∴x+40°=80°-x，
∴x=20°，
∴∠OEC=∠OBA=80°-20°=60°．
【点睛】
本题主要考查了平行线、角平分线的性质以及三角形内角和定理，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
4．（1）见解析；（2）①③；（3）∠APB的度数是10°或20°或40°或110°【分析】
（1）由和是的角平分线，证明即可；
（2）根据“准互余三角形”的定义逐个判断即可；
（3）根据“准互余三角
解析：（1）见解析；（2）①③；（3）∠APB 的度数是10°或20°或40°或110° 【分析】
（1）由90ABC A ∠+∠=︒和BD 是ABC 的角平分线，证明290ABD A ∠+∠=︒即可； （2）根据“准互余三角形”的定义逐个判断即可；
（3）根据“准互余三角形”的定义，分类讨论：①2∠A +∠ABC =90°；②∠A +2∠APB =90°；③2∠APB +∠ABC =90°；④2∠A +∠APB =90°，由三角形内角和定理和外角的性质结合“准互余三角形”的定义，即可求出答案． 【详解】
（1）证明：∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒， ∴90ABC A ∠+∠=︒， ∵BD 是ABC ∠的角平分线， ∴2ABC ABD ∠=∠， ∴290ABD A ∠+∠=︒， ∴ABD △是“准互余三角形”； （2）①∵70,10B C ∠=︒∠=︒， ∴290B C ∠+∠=︒， ∴
ABC 是“准互余三角形”，
故①正确；
②∵60A ∠=︒， 20B ∠=︒， ∴210090A B ∠+∠=︒≠︒， ∴
ABC 不是“准互余三角形”，
故②错误；
③设三角形的三个内角分别为,,αβγ，且αβγ<<， ∵三角形是“准互余三角形”， ∴290αβ+=︒或290αβ+=︒， ∴90αβ+<︒，
∴180()90γαβ=︒-+>︒，
∴“准互余三角形”一定是钝角三角形， 故③正确；
综上所述，①③正确， 故答案为：①③；
（3）∠APB 的度数是10°或20°或40°或110°； 如图①，
当2∠A+∠ABC=90°时，△ABP是“准直角三角形”，
∵∠ABC=50°，
∴∠A=20°，
∴∠APB=110°；
如图②，当∠A+2∠APB=90°时，△ABP是“准直角三角形”，
∵∠ABC=50°，
∴∠A+∠APB=50°，
∴∠APB=40°；
如图③，当2∠APB+∠ABC=90°时，△ABP是“准直角三角形”，
∵∠ABC=50°，
∴∠APB=20°；
如图④，当2∠A+∠APB=90°时，△ABP是“准直角三角形”，
∵∠ABC=50°，
∴∠A+∠APB=50°，
所以∠A=40°，
所以∠APB=10°；
综上，∠APB的度数是10°或20°或40°或110°时，ABP
△是“准互余三角形”．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题关键是理解题意，根据三角形内角和定理和三角形的外角的性质，结合新定义进行求解．5．（1）三角形内角和180°；等量代换；（2）见解析；（3）①；②；③；
④；⑤
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理即可判断，根据等量代换的概念即可判断；
（2）想要利用外角的性质求解，就需要构造外
解析：（1）三角形内角和180°；等量代换；（2）见解析；（3）①；
②；③40A ∠=︒；④
；⑤
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理即可判断，根据等量代换的概念即可判断；
（2）想要利用外角的性质求解，就需要构造外角，因此延长BD 交AC 于E ，然后根据外角的性质确定，
，即可判断BDC ∠与A ∠，
，2
∠之间的关系；
（3）①连接BC ，然后根据（1）中结论，代入已知条件即可求解； ②连接BC ，然后根据（1）中结论，求得的和，进而得到
的
和，然后根据角平分线求得的和，进而求得
，然后利
用三角形内角和定理，即可求解；
③连接BC ，首先求得，然后根据十等分线和三角形内角和的性质得到
，然后得到
的和，最后
根据（1）中结论即可求解；
④设BD 与AE 的交点为点O ，首先利用根据外角的性质将∠BOE 用两种形式表示出来，然后得到
，然后根据角平分线的性质，移项整理即可判断；
⑤根据（1）问结论，得到的和，然后根据角平分线的性质得到
的和，然后利用三角形内角和性质即可求解．
【详解】 （1）∵，（三角形内角和180°） ∴，（等式性质）
∵， ∴，
∴
．（等量代换）
故答案为：三角形内角和180°；等量代换． （2）如图，延长BD 交AC 于E ，
由三角形外角性质可知，
，
，
∴
．
（3）①如图①所示，连接BC ，
，
根据（1）中结论，得，
∴，
∴；
②如图②所示，连接BC，
，
根据（1）中结论，得，
∴，
的角平分线交于点E，
∵与ACD
∴，,
∴，∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
③如图③所示，连接BC，
，
根据（1）中结论，得， ∵，
，
∴， ∵与ACD ∠的十等分线交于点
， ∴，,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∴40A ∠=︒；
④如图④所示，设BD 与AE 的交点为点O ， ∵AE 平分BAC ∠，BD 平分BDC ∠， ∴，
，
∵，
，
∴,
∴, ∴，
即；
⑤∵，BAC ∠的角平分线交于点E ，
∴，
∴
．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定量，外角的性质，以及辅助线的做法，重点是观察题干中的解题思路，然后注意角平分线的性质，逐渐推到即可求解．
6．（1）不发生变化，∠AEB=135°；（2）不发生变化，∠CED=67.5°；（3）60°或45°
【分析】
（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分
别是∠BA
解析：（1）不发生变化，∠AEB=135°；（2）不发生变化，∠CED=67.5°；（3）60°或45°【分析】
（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO
和∠ABO的角平分线得出∠BAE=1
2∠OAB，∠ABE=1
2
∠ABO，由三角形内角和定理即可得
出结论；
（2）延长A D、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，进而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠PAB+∠MBA=270°，再由A D、BC分别是∠BAP和∠ABM的
角平分线，可知∠BAD=1
2∠BAP，∠ABC=1
2
∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再
根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE=112.5°，进而得出结论；
（3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=1
2∠BAO，∠EOQ=1
2
∠BOQ，进
而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF 中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．
【详解】
解：（1）∠AEB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE=1
2∠OAB，∠ABE=1
2
∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE=1
2
（∠OAB+∠ABO）=45°，
∴∠AEB=135°；
（2）∠CED的大小不变．
延长A D、BC交于点F．
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠PAB+∠MBA=270°，
∵A D、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，
∴∠BAD=1
2∠BAP，∠ABC=1
2
∠ABM，
∴∠BAD+∠ABC=1
2
（∠PAB+∠ABM）=135°，∴∠F=45°，
∴∠FDC+∠FCD=135°，
∴∠CDA+∠DCB=225°，
∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE+∠DCE=112.5°，
∴∠CED =67.5°；
（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO=1
2∠BAO，∠EOQ=1
2
∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=1
2（∠BOQ-∠BAO）=1
2
∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF=90°．
在△AEF中，
∵有一个角是另一个角的3倍，故有：
①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；
②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍弃）；
③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；
④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍弃）．
∴∠ABO为60°或45°．
故答案为：60°或45°．
【点睛】
本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
7．（1）（2）（3）②是正确的，证明见解析
【分析】
（1）过点G作GE∥AB，然后利用平行线性质即可得到结果；
（2）分别过G和H作GE∥AB，FH∥AB，然后利用平行线的性质得到对应的边角
解析：（1）90︒（2）135︒（3）②是正确的，证明见解析
【分析】
（1）过点G 作GE ∥AB ，然后利用平行线性质即可得到结果；
（2）分别过G 和H 作GE ∥AB ，FH ∥AB ，然后利用平行线的性质得到对应的边角关系，进而∠MHN 的具体值；
（3）根据角平分线性质，设CNT CNP x ∠=∠=，然后利用平行线的基本性质，分别推导出MTN P ∠+∠和MTN P ∠-∠的值即可判断． 【详解】
（1）如图所示，过点G 作//GE AB ， ∵//AB CD ，//GE AB ， ∴////AB GE CD ，
∴AMG MGE ∠=∠，CNG NGE ∠=∠， ∴AMG CNG MGE NGE MGN ∠+∠=∠+∠=∠， ∵GM GN ⊥， ∴90MGN ∠=︒， ∴90AMG CNG +=︒∠∠.
（2）如图所示，过点G 作//GE AB ，过点H 作//FH AB ， ∵//AB CD ，
∴//////GE AB FH CD ，
∴180BMG MGE ∠+∠=︒，180DNG NGE ∠+∠=︒， ∴360BMG DNG MGN ∠+∠+∠=︒， ∵90MGN ∠=︒， ∴270BMG DNG ∠+∠=︒，
∵MH 平分BMG ∠，NH 平分DNG ∠， ∴1
2BMH BMG ∠=∠，12DNH DNG ∠=∠，
∴1
()1352
BMH DNH BMG DNG ∠+∠=∠+∠=︒，
∵////AB HF CD ，
∴BMH MHF ∠=∠，DNH NHF ∠=∠，
∴135MHN MHF NHF BMH DNH ∠=∠+∠=∠+∠=︒.
（3）如图所示， ∵//AB CD ， ∴BMP DQP ∠=∠， ∵MT 平分BMP ∠， ∴40BMT PMT ∠=∠=︒， ∴80BMP DQP ∠=∠=︒， ∴100MQN ∠=︒， ∵CN 平分TNP ∠， ∴CNT CNP ∠=∠， 设CNT CNP x ∠=∠=，
则180100P PQD CNP x ∠=︒-∠-∠=︒-， ∴360MTN PMT MQN CNT ∠=︒-∠-∠-∠
36040100CNT =︒-︒-︒-∠ 220x =︒-，
∴120MTN P ∠-∠=︒，
3202MTN P x ∠+∠=∠︒-，
∴②中MTN P ∠-∠的值为定值. 故②是正确的.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，做题的关键是能够找到辅助线，构造辅助线．
8．想一想：中线；比一比：＝；用一用：见解析 【分析】
想一想：三角形中线把三角形底边等分成两份，过顶点向底边作垂线，高相同；
比一比：和共底边BC ，，两平行线之间的距离相等，即和高相等； 用一用：利用
解析：想一想：中线；比一比：＝；用一用：见解析 【分析】
想一想：三角形中线把三角形底边等分成两份，过顶点向底边作垂线，高相同； 比一比：ABC 和DBC △共底边BC ，12l l //，两平行线之间的距离相等，即ABC 和
DBC △高相等；
用一用：利用“想一想”中的中线和“比一比”的平行线进行面积的二等分． 【详解】 想一想：
三角形中线把三角形底边等分成两份，过顶点向底边作垂线，高相同，故能把三角形面积平分的是三角形的中线． 比一比： ∵12l l //
∴两平行线之间的距离相等，即A 到BC 的距离=D 到BC 的距离 又∵ABC 和DBC △共底边BC
∴
ABC 和DBC △同底，等高，面积相等．
用一用：
如图所示，连接SP ，过Q 点作QM ∥SP ，延长TP ，交QM 与点M ，连接SP ，取TM 的中点N ．SN 即为所求笔直的小路．
证明：∵QM ∥SP ∴QSP
MSP
S S
= ∵TM 的中点N
∴STN
SNM
S S =
∴STN
SNM
SNP
SPM
SNP
SPQ
SNPQ S
S
S
S
S
S
S ==+=+=四边形
【点睛】
本题考查中线和平行线的距离．连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线．两条平行线的距离处处相等．
9．【探究1】∠2=∠ACB ，90º－∠A ；【探究2】∠BOC ＝90°﹣∠A ，理由见解析；【应用】22.5°；【拓展】45°或36°． 【分析】
【探究1】根据角平分线的定义可得∠1=∠ABC，∠2=∠
解析：【探究1】∠2=1
2∠ACB，90º－1
2
∠A；【探究2】∠BOC＝90°﹣1
2
∠A，理由见解
析；【应用】22.5°；【拓展】45°或36°．【分析】
【探究1】根据角平分线的定义可得∠1=1
2∠ABC，∠2=1
2
∠ACB，根据三角形的内角和定
理可得∠1+∠2=90º－1
2
∠A，再根据三角形的内角和定理即可得出结论；
【探究2】如图2，由三角形的外角性质和角平分线的定义可得∠OBC＝1
2
（∠A+∠ACB），∠OCB＝1
2
（∠A+∠ABC），然后再根据三角形的内角和定理即可得出结论；
【应用】延长AC与BD，设交点为G，如图5，由【探究1】的结论可得∠G的度数，于是可得∠GCD+∠GDC的度数，然后根据角平分线的定义和角的和差可得∠1+∠2的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出结果；
【拓展】根据角平分线的定义和平角的定义可得∠EAF=90°，然后分三种情况讨论：若
∠EAF=4∠E，则∠E=22.5°，根据角平分线的定义和三角形的外角性质可得∠ABO=2∠E，于是可得结果；若∠EAF=4∠F，则∠F=22.5°，由【探究2】的结论可求出∠ABO=135°，然后由三角形的外角性质即可判断此种情况不存在；若∠F=4∠E，则∠E=18°，然后再由第一种情况的结论∠ABO=2∠E即可求出结果，进而可得答案．
【详解】
解：【探究1】理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠1=1
2∠ABC，∠2=1
2
∠ACB，
在ΔABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180º．
∴∠1+∠2=1
2（∠ABC+∠ACB）=1
2
（180º－∠A）=90º－1
2
∠A，
∴∠BOC=180º－（∠1+∠2）=180º－（90º－1
2∠A）=90º+1
2
∠A；
故答案为：∠2=1
2∠ACB，90º－1
2
∠A；
【探究2】∠BOC＝90°﹣1
2
∠A；理由如下：
如图2，由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC＝1
2（∠A+∠ACB），∠OCB＝1
2
（∠A+∠ABC），
在△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB
＝180°﹣12（∠A +∠ACB ）﹣12（∠A +∠ABC ），
＝180°﹣12（∠A +∠ACB +∠A +∠ABC ），
＝180°﹣12（180°+∠A ），
＝90°﹣12∠A ；
【应用】延长AC 与BD ，设交点为G ，如图5，由【探究1】的结论可得：
∠G=1901352
O ︒+∠=︒， ∴∠GCD+∠GDC=45°，
∵CE 、DE 分别是∠ACD 和∠BDC 的角平分线，
∴∠1=12∠ACD=
()11802GCD ︒-∠，∠2=12∠BDC=()11802GDC ︒-∠， ∴∠1+∠2=()11802GCD ︒-∠+()11802GDC ︒-∠=()136045157.52
︒-︒=︒, ∴()1801222.5E ∠=︒-∠+∠=︒；
故答案为：22.5°；
【拓展】如图4，∵AE 、AF 是∠BAO 和∠OAG 的角平分线，
∴∠EAQ+∠FAQ=
()111809022
BAO GAO ∠+∠=⨯︒=︒， 即∠EAF=90°，
在Rt △AEF 中，若∠EAF=4∠E ，则∠E=22.5°，
∵∠EOQ=∠E+∠EAQ ，∠BOQ=2∠EOQ ，∠BAO=2∠EAQ ，
∴∠BOQ=2∠E+∠BAO ，
又∠BOQ=∠BAO+∠ABO ，
∴∠ABO=2∠E=45°；
若∠EAF=4∠F ，则∠F=22.5°，
则由【探究2】知：19022.52
F ABO ∠=︒-∠=︒，∴ ∠ABO=135°， ∵∠ABO ＜∠BOQ=60°，∴此种情况不存在；
若∠F=4∠E ，则∠E=18°，
由第一种情况可知：∠ABO=2∠E ，∴∠ABO=36°；
综上，∠ABO=45°或36°；
故答案为：45°或36°．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、平角的定义和三角形的外角性质等知识，具有一定的综合性，熟练掌握上述知识、灵活应用整体思想是解题的关键． 10．（1）;（2）;（3）见解析;（4）
【分析】
（1）根据三角形外角性质可得；
（2）在四边形中，内角和为360°，∠BDA=∠CEA=180°，利用这两个条件，进行角度转化可得关系式；
（3）如下
解析：（1）12A ∠=∠;（2）122A ∠+∠=∠;（3）见解析;（4）
1222360A B ∠+∠=∠+∠-︒
【分析】
（1）根据三角形外角性质可得；
（2）在四边形A EAD '中，内角和为360°，∠BDA=∠CEA=180°，利用这两个条件，进行角度转化可得关系式；
（3）如下图，根据（1）可得∠1=2∠DAA '，∠2=2∠EAA '，从而推导出关系式； （4）根据平角的定义以及四边形的内角和定理，与（2）类似思路探讨，可得关系式．
【详解】
（1）∵△'EDA 是△EDA 折叠得到
∴∠A=∠A '
∵∠1是△'ADA 的外角
∴∠1=∠A+∠A '
∴12A ∠=∠；
（2）∵在四边形A EAD '中，内角和为360°
∴∠A+A '+∠A DA '+∠A EA '=360°
同理，∠A=∠A '
∴2∠A+∠A DA '+∠A EA '=360°
∵∠BDA=∠CEA=180
∴∠1+∠A DA '+∠A EA '+∠2=360°
∴122A ∠+∠=∠ ；
（3）数量关系：212A ∠-∠=∠
理由：如下图，连接AA '
由（1）可知：∠1=2∠DAA '，∠2=2∠EAA '
∴212()2EAA DAA DAE ∠-∠=∠-=∠'∠'；
（4）由折叠性质知：∠2=180°－2∠AEF ，∠1=180°－2∠BFE
相加得：123602(360)22360A B A B ∠+∠=︒-︒-∠-∠=∠+∠-︒．
【点睛】
本题考查角度之间的关系，（4）问的解题思路是相同的，主要运用三角形的内角和定理和四边形的内角和定理进行角度转换．。