2020版高考文科数学(北师大版)一轮复习课件：第七章 不等式、推理与证明 7.2

������+������ 称为正数 2
a,b 的算术平均数, ������������称为正数 a,b 的几何
2.利用基本不等式求最值 已知x>0,y>0,
(1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最 小 值是 2 ������(简记:积定和最小). (2)如果和 x+y 是定值 s,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最 大 值是
= 2,
当且仅当 x=2-x,即 x=1 时取等号.故选 D.
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知识梳理
考点自诊
1 A.������������
4.若 a>0,b>0,且 a+b=4,则下列不等式恒成立的是 ≤
1 4 1 1 B.������ + ������≤1
( D )
������
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考点1
考点2
考点3
证明 (1)∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca, 三式相加可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca, ∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca ≥(ab+bc+ca)+2(ab+bc+ca)=3(ab+bc+ca)=9. 又a、b、c均为正整数,∴a+b+c≥3成立. (2)a、b∈R*,a+b=1, ∴a2+2ab+b2=1,
C. ������������≥2 D.a2+b2≥8 解析:4=a+b≥2 ������������(当且仅当 a=b 时,等号成立),
即 ������������≤2,ab≤4,������������ ≥ 4,选项 A,C 不成立;������ + ������ =
1
1
1
1
选项 B 不成立;a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8,选项 D 成立.
∴
1 -1 ������2
1 ������2
-1 =
������2 +2������������+������2 -1 2 ������
7 .2
基本不等式及其应用
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知识梳理
考点自诊
1.基本不等式: ������������ ≤ a>0,b>0 (1)基本不等式成立的条件: . (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号.
������+������ 2
(3)其中 平均数.
������ ������ ������ ������ 4 ������+������
(× ) ( )
(5)x>0 且 y>0 是 + ≥2 的充要条件.
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考点自诊
解析: (2)不等式 a +b
1
2
2
������������成立的条件是 a≥0,b≥0.
900 ������
≥4×2 900=240, 当且仅当 x=
900 ,即 ������
600 ×6=4 ������
������ +
x=30 时等号成立.
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考点1
考点2
考点3
利用基本不等式证明不等式 例1(2018贵州凯里二模,23)已知a、b、c均为正实数. (1)若ab+bc+ca=3,求证:a+b+c≥3; 1 1 ( 1)( (2)若a+b=1,求证: ������2 2 -1(≥9.
������+������ 2 ) =81, 2
3.设 0<x<2,则函数 y= ������(4-2������)的最大值为( D ) A.2 B.
2 2
C. 3
������+2-������ 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D. 2
解析:∵0<x<2,∴2-x>0,
∴y= ������(4-2������) = 2 · ������(2-������) ≤ 2 ·
������+������ ������������
= ������������≥1,
4
5.(2017江苏,10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运 费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总 30 存储费用之和最小,则x的值是 .
解析 :一年的总运费与总存储费用之和为 4x+
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考点自诊
2.设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为( C ) A.80 B.77 C.81 D.82
解析:∵x>0,y>0,∴
当且仅当 x=y=9 时,(xy)max=81.
������+������ 2
≥
������������,即 xy≤(
������+������ ≥2ab 成立的条件是 a,b∈R;不等式 2
≥
(3)函数 y=x+������值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),没有最小值.
4 (4)函数 f(x)=sin x+sin������的最小值为-5. ������ ������ (5)x>0 且 y>0 是 + ≥2 的充分条件. ������ ������
������2 (简记:和定积最大). 4
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考点自诊
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. (2)ab≤ (3)
������ 2 +������ 2 ������ 2 ������ ������ +������ 2 2
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”. (1)当 a≥0,b≥0 时, 2 ≥ ������������. ( ) ������+������ (2)两个不等式 a2+b2≥2ab 与 2 ≥ ������������成立的条件是相同的. (× ) 1 (3)函数 y=x+������的最小值是 2. (× ) (4)函数 f(x)=sin x+sin������的最小值为 2.
(a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号.
≥
������ +������ 2 2
(4)������ + ������ ≥2(a,b∈R,且 a,b 同号),当且仅当 a=b 时取等号.
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