江西省抚州市2021届新高考数学五模试卷含解析

江西省抚州市2021届新高考数学五模试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等差数列{a n }，则“a 2＞a 1”是“数列{a n }为单调递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】
试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解：在等差数列{a n }中，若a 2＞a 1，则d ＞0，即数列{a n }为单调递增数列， 若数列{a n }为单调递增数列，则a 2＞a 1，成立， 即“a 2＞a 1”是“数列{a n }为单调递增数列”充分必要条件， 故选C ．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
2．若[]0,1x ∈时，|2|0x e x a --≥，则a 的取值范围为（ ） A ．[]1,1- B ．[]2,2e e --
C ．[]2e,1-
D ．[]2ln 22,1-
【答案】D 【解析】 【分析】
由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，
x
x
f x x e x x e =-=+，然后分别求出()()max min ，f x
g x 即可得a 的取值范围.
【详解】
由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，
令()()2g 2，
x
x
f x x e x x e =-=+， ()2x f x e '=-Q 在[]0,1单调递减，且()ln 20f '=， ()f x ∴在()0,ln 2上单调递增，在()ln 2,1上单调递减， ()()max ln 22ln 22a f x f ∴≥==-，
又()g 2x
x x e =+在[]0,1单调递增，()()min 01a g x g ∴≤==，
∴a 的取值范围为[]2ln 22,1-.
故选：D 【点睛】
本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解.
3．执行程序框图，则输出的数值为（ ）
A ．12
B ．29
C ．70
D ．169
【答案】C 【解析】 【分析】
由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量b 的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案. 【详解】
0a =，1b =，1n =，022b =+=，5n <，满足条件，
20
12a -=
=，2n =，145b =+=，5n <，满足条件， 5122a -==，3n =，21012b =+=，5n <，满足条件，
12252a -==，4n =，52429b =+=，5n <，满足条件，
295122a -==，5n =，125870b =+=，5n =，不满足条件，
输出70b =. 故选：C 【点睛】
本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题.
4．已知向量a r ，b r ，b r =(13)，且a r 在b r 方向上的投影为1
2
，则a b ⋅r r 等于（ ）
A ．2
B ．1
C ．1
2
D ．0
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出b r ，再利用投影公式a b b
⋅r r
r 求解即可.
【详解】
解：由已知得2b ==r
，
由a r 在b r 方向上的投影为1
2
，得12a b b ⋅=r r r ，
则112
a b b ⋅==r r r
.
故答案为：B. 【点睛】
本题考查向量的几何意义，考查投影公式的应用，是基础题. 5．将函数()sin(3)6
f x x π
=+
的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来
的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．
9
π
B ．
29
π C ．
18
π D ．
24
π
【答案】C 【解析】 【分析】
根据三角函数的变换规则表示出()g x ，根据()g x 是奇函数，可得m 的取值，再求其最小值. 【详解】
解：由题意知，将函数()sin(3)6
f x x π
=+
的图像向右平移(0)m m >个单位长度，得
()sin 36y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣
⎦，再将sin 336y x m π⎡
⎤=-+⎢⎥⎣⎦图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不
变），得到函数()g x 的图像，1()sin(3)2
6
g x x m π
∴=-+，
因为()g x 是奇函数， 所以3,6
m k k Z π
π-+
=∈，解得,18
3
k m k Z π
π
=
-
∈， 因为0m >，所以m 的最小值为18
π. 故选：C 【点睛】
本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题. 6．设()11i a bi +=+，其中a ，b 是实数，则2a bi +=（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．5
【答案】D 【解析】 【分析】
根据复数相等，可得,a b ，然后根据复数模的计算，可得结果. 【详解】
由题可知：()11i a bi +=+， 即1a ai bi +=+，所以1,1a b == 则22212125a bi i +=+=+= 故选：D 【点睛】
本题考查复数模的计算，考验计算，属基础题.
7．如图是计算
11111
++++246810
值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )
A ．5k ≥
B ．5k <
C ．5k >
D ．6k ≤ 【答案】B 【解析】 【分析】
根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6，进而可得判断框内的不等式．
【详解】
因为该程序图是计算1111
1
246810
++++值的一个程序框圈 所以共循环了5次
所以输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6， 即判断框内的不等式应为6k ≥或5k > 所以选C 【点睛】
本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题．
8．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为（ ）
A ．247.79m
B ．254.07m
C ．257.21m
D ．2114.43m
【答案】B 【解析】 【分析】
由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积，再计算出圆面积的1
8
，两面积作差即可求解. 【详解】
由图，正八边形分割成8个等腰三角形，顶角为360458
=o
o ，
设三角形的腰为a ，
由正弦定理可得10
135sin 45sin 2
a =o o
，解得1351022
a =o ，
所以三角形的面积为：
(
)
2
11351cos135102sin sin 455022521222
S ⎛⎫-=⨯=⋅
=+ ⎪⎝⎭o o o ，
所以每块八卦田的面积约为：(
)
21
2521454.078
π+-⨯⨯≈.
故选：B 【点睛】
本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记定理与面积公式，属于基础题.
9．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N 除以正整数m 所得的余数是n ”记为“(mod )N n m ≡”，例如71(mod 2)≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）
A ．16
B ．17
C ．18
D ．19
【答案】B 【解析】 【分析】
由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，代入四个选项进行验证即可. 【详解】
解：由程序框图可知，输出的数应为被3除余2，被5除余2的且大于10的最小整数. 若输出16n = ，则()161mod3≡不符合题意，排除； 若输出17n =，则()()172mod3,172mod5≡≡，符合题意. 故选:B. 【点睛】
本题考查了程序框图.当循环的次数不多，或有规律时，常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答.
10．已知双曲线22
22:1(0,0)x y a b a b
Γ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支
分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）
A ．
17
3
B ．
32
C ．
53
D ．
102
【答案】D 【解析】 【分析】
设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，
'32CF x a =+，'Rt CBF ∆和'Rt FBF ∆中，利用勾股定理计算得到答案.
【详解】
设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ， 设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，
AF FB ⊥，根据对称性知四边形'AFBF 为矩形，
'Rt CBF ∆中：222''CF CB BF =+，即()()()222
3242x a x a x +=++，解得x a =； 'Rt FBF ∆中：2
2
2
''FF BF BF =+，即()
()2
2
2
23c a a =+，故2252
c a =，故10
e =. 故选：D .
【点睛】
本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 11．函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移
12
π
个单位得到函数()y g x =的图象，并且函数()g x 在区
间[,]63ππ
上单调递增，在区间[
,]32ππ
上单调递减，则实数ω的值为（ ） A ．74
B ．32
C ．2
D ．54
【答案】C 【解析】
由函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位得到[]1212
g x sin x sin x πωπ
ωω=-=-（）（）（），
函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，可得3
x π
=
时，()g x 取得最大值，即
23
12
2
k π
ωπ
π
ωπ⨯-
=
+（），k Z ∈，0ω>，当0
k =时，解得2ω=，故选C.
点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出()g x ，根据函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减可得3
x π
=
时，()g x 取得最大值，求解可得实数ω的值.
12．曲线24x y =在点()2,t 处的切线方程为（ ） A ．1y x =- B ．23y x =-
C ．3y x =-+
D ．25y x =-+
【答案】A 【解析】 【分析】
将点代入解析式确定参数值，结合导数的几何意义求得切线斜率，即可由点斜式求的切线方程. 【详解】
曲线2
4x y =，即2
14
y x =
， 当2x =时，代入可得2
1124
t =⨯=，所以切点坐标为()2,1，
求得导函数可得1
2
y x '=
， 由导数几何意义可知1
212
k y ='=
⨯=， 由点斜式可得切线方程为12y x -=-，即1y x =-， 故选：A. 【点睛】
本题考查了导数的几何意义，在曲线上一点的切线方程求法，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．边长为2的正方形经裁剪后留下如图所示的实线围成的部分，将所留部分折成一个正四棱锥.当该棱
锥的体积取得最大值时，其底面棱长为________.
【答案】45
【解析】 【分析】
根据题意，建立棱锥体积的函数，利用导数求函数的最大值即可. 【详解】
设底面边长为2x ，则斜高为1x -11202x x ⎫-<<⎪⎭
， 所以此四棱锥体积为24514412233
V x x x x =
⋅-=- 令()4
5
1202h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭
， 令()()3
344102250h x x x x x '=-=-=，
易知函数()h x 在2
5x =
时取得最大值. 故此时底面棱长4
25
x =.
故答案为：4
5
.
【点睛】
本题考查棱锥体积的求解，涉及利用导数研究体积最大值的问题，属综合中档题.
14．6
23x ⎛ ⎝⎭
的展开式中的常数项为_______． 【答案】135 【解析】 【分析】
写出展开式的通项公式，考虑当x 的指数为零时，对应的值即为常数项. 【详解】
6
23x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭的展开式通项公式为： ()(6212316633r
r r r r r
r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，
令4r =，所以()
4
4
63
135C ⋅-=，所以常数项为135.
故答案为：135. 【点睛】
本题考查二项展开式中指定项系数的求解，难度较易.解答问题的关键是，能通过展开式通项公式分析常数项对应r 的取值.
15．已知非零向量a r ，b r 满足2b a =v v
，且()b a a -⊥r r r ，则a r 与b r 的夹角为____________.
【答案】
3
π
（或写成60︒） 【解析】 【分析】
设a r 与b r
的夹角为θ，通过()b a a -⊥r r r ，可得()
=0b a a -⋅r r r ，化简整理可求出cos θ，从而得到答案.
【详解】
设a r 与b r
的夹角为θ
Q ()
b a a -⊥r r r
可得()
=0b a a -⋅r r r
，
∴()
2
=0a b a
⋅-r r r
故2cos =0a b a θ⋅⋅-r r r ，将2b a =v v
代入可得
得到1cos 2
θ=
， 于是a r 与b r 的夹角为3
π.
故答案为：3
π. 【点睛】
本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.
16．已知2a b ==r r ，()()
22a b a b +⋅-=-r r r r ，则a r 与b r 的夹角为 .
【答案】60︒ 【解析】 【分析】 【详解】
根据已知条件(2)()2a b a b +⋅-=-r r r
r ，去括号得：
222422cos 242a a b b θ+⋅-=+⨯⨯-⨯=-r
r r r ，
1cos ,602
θθ︒⇒== 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数23()x f x x e =
（1）若0x <，求证：1();9
f x < （2）若0x >，恒有()(3)2ln 1f x k x x ≥+++，求实数k 的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）（﹣∞，0]
【解析】
【分析】
（1）利用导数求x ＜0时，f （x ）的极大值为22439f e ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即证1();9f x <（2）等价于k≤233211x x e x nx x ---，x ＞0，令g （x ）＝233211x x e x nx x
---，x ＞0，再求函数g(x)的最小值得解. 【详解】
（1）∵函数f （x ）＝x 2e 3x ，∴f′（x ）＝2xe 3x +3x 2e 3x ＝x （3x+2）e 3x ．
由f′（x ）＞0，得x ＜﹣
23或x ＞0；由f′（x ）＜0，得203
x -<<， ∴f （x ）在（﹣∞，﹣23）内递增，在（﹣23，0）内递减，在（0，+∞）内递增， ∴f （x ）的极大值为22439f e ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
， ∴当x ＜0时，f （x ）≤2244139949f e ⎛⎫-
=<= ⎪⨯⎝⎭ （2）∵x 2e 3x
≥（k+3）x+2lnx+1，∴k≤233211x x e x nx x ---，x ＞0， 令g （x ）＝233211x x e x nx x ---，x ＞0，则g′（x ）232(13)211x x x e nx x
++-=， 令h （x ）＝x 2（1+3x ）e 3x +2lnx ﹣1，则h （x ）在（0，+∞）上单调递增，
且x→0+时，h （x ）→﹣∞，h （1）＝4e 3﹣1＞0，
∴存在x 0∈（0，1），使得h （x 0）＝0，
∴当x ∈（0，x 0）时，g′（x ）＜0，g （x ）单调递减，
当x ∈（x 0，+∞）时，g′（x ）＞0，g （x ）单调递增，
∴g （x ）在（0，+∞）上的最小值是g （x 0）＝0320000
32ln 1x x e x x x ---，
∵h （x 0）＝()0320013x x x e ++2lnx 0﹣1=0，所以032000
12ln 13x x x e x -=+， 令020030=130x x x e ∴+=，2lnx ， 令0000
12ln =13013x x x -∴+=+，2lnx 所以032000
12ln 13x x x e x -=+=1，00=3x -2lnx , ∴g （x 0）0320000000
321113310x x e x nx x x x x ----+-=== ∴实数k 的取值范围是（﹣∞，0]．
【点睛】
本题主要考查利用证明不等式，考查利用导数求最值和解答不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18
．设函数2()6cos 2f x x x =.
（1）求()12f π
的值；
（2）若,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，求函数()f x 的单调递减区间. 【答案】（1
）312f π⎛⎫=+
⎪⎝⎭2）()f x 的递减区间为5,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】
【分析】
（1）化简函数()f x ，代入12x π
=，计算即可；
（2）先利用正弦函数的图象与性质求出函数的单调递减区间，再结合,3x ππ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦
即可求出. 【详解】
（1
）2()6cos 23(1cos 2)2f x x x x x =-=+Q
23cos 23x x =++
233x π⎛⎫=--+ ⎪⎝
⎭，
从而312f π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
（2）令222,232k x k k Z π
π
π
ππ-+≤-≤+∈. 解得5,1212
k x k k Z π
πππ-+≤≤+∈. 即函数()f x 的所有减区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-
++∈⎢⎥⎣⎦， 考虑到,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，取0,1k =，可得5,312x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，11,12x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 故()f x 的递减区间为5,312ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦和11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的恒等变形，正弦函数的图象与性质，属于中档题.
19．甲、乙两班各派三名同学参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分，假设甲班三名同学答对的概率都是
23，乙班三名同学答对的概率分别是23，23，12，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响．
（1）记“甲、乙两班总得分之和是60分”为事件A ，求事件A 发生的概率；
（2）用X 表示甲班总得分，求随机变量X 的概率分布和数学期望．
【答案】（1）
16243
（2）分布列见解析，期望为20 【解析】
【分析】 ()1利用相互独立事件概率公式求解即可;
()2由题意知,随机变量X 可能的取值为0，10，20，30,分别求出对应的概率,列出分布列并代入数学期望公式求解即可.
【详解】
（1）由相互独立事件概率公式可得,22222116()()()333332243
P A =⨯⨯⨯⨯⨯= （2）由题意知,随机变量X 可能的取值为0，10，20，30.
()3
32101327P X C ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭， ()213222101339P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
， ()223224201339
P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
()3
332830327
P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 所以，X 的概率分布列为
所以数学期望()010203020279927
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】 本题考查相互独立事件概率公式和离散型随机变量的分布列及其数学期望;考查运算求解能力;确定随机变量可能的取值,求出对应的概率是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
20．已知函数2()ln f x x a x a R =-∈,．
（1）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；
（2）求()f x 在区间[)1,+∞上的最小值；
（3）在（1）的条件下，若2()()h x x f x =-，求证：当21x e <<时，恒有4()4()
h x x h x +<-成立． 【答案】（1）2；（2）
ln 222
a a a -；（3）证明见解析 【解析】
【分析】 （1）先求出函数的定义域和导数，由已知函数()f x 在1x =处取得极值，得到()01f '=，即可求解a 的值；
（2）由（1）得22()2a x a f x x x x
-'=-=，定义域为(0,)+∞，分0a ≤，02a <≤和2a >三种情况讨论，分别求得函数的最小值，即可得到结论；
（3）由2()()h x x f x =-，得到()2ln h x x =，把4()4()h x x h x +<-，只需证22ln 1
x x x ->+，构造新函数22()ln 1
x x x x ϕ-=-
+，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】 （1）由2()ln f x x a x =-，定义域为(0,)+∞，则()2a f x x x
'=-， 因为函数2
()ln f x x a x =-在1x =处取得极值，
所以()01f '=，即20a -=，解得2a =，
经检验，满足题意，所以2a =.
(2)由（1）得22()2a x a f x x x x -'=-=，定义域为(0,)+∞， 当0a ≤时，有()0f x '>，()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，最小值为(1)1f =，
当02a <≤时，由()0f x '=得a x =，且01a <≤， 当0,a x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，
()f x 单调递减； 当,a x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>，()f x 单调递增； 所以()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，最小值为(1)1f =，
当2a >时，则1a >，当1,a x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>，
()f x 单调递增； 所以()f x 在2a x =
处取得最小值ln 222a a a a f ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 综上可得：
当2a ≤时，()f x 在区间[1,)+∞上的最小值为1，
当2a >时，()f x 在区间[1,)+∞上的最小值为
ln 222a a a -. （3）由2()()h x x f x =-得()2ln h x x =，
当21x e <<时，0ln 2x <<，则()4h x <，
欲证4()4()h x x h x +<-，只需证[4()]4()x h x h x -<+，即证44()1
x h x x ->+，即22ln 1x x x ->+， 设22()ln 1
x x x x ϕ-=-+，则22212(1)(22)(1)()(1)(1)x x x x x x x x ϕ'+---=-=++， 当21x e <<时，()0x ϕ'>，()x ϕ∴在区间()21,e 上单调递增，
当21x e <<时，()(1)0x ϕϕ>=，即22ln 01x x x --
>+， 故4()4()h x x h x +<-， 即当21x e <<时，恒有4()4()
h x x h x +<-成立. 【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
21．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b （a 2+c 2﹣b 2）＝a 2ccosC+ac 2cosA ． （1）求角B 的大小；
（2）若△ABC ，求△ABC 面积的最大值.
【答案】（1）B 13
π=
（2【解析】
【分析】 （1）由已知结合余弦定理，正弦定理及和两角和的正弦公式进行化简可求cosB ，进而可求B ；
（2）由已知结合正弦定理，余弦定理及基本不等式即可求解ac 的范围，然后结合三角形的面积公式即可求解.
【详解】
（1）因为b （a 2+c 2﹣b 2）＝ca 2cosC+ac 2cosA ，
∴222cos cos cos abc B ac C ac A =+，即2bcosB ＝acosC+ccosA
由正弦定理可得，2sinBcosB ＝sinAcosC+sinCcosA ＝sin （A+C ）＝sinB ，
因为(0,)B π∈，sin 0B >所以1cos 2B =
， 所以B 13
π=；
（2）由正弦定理可得，b ＝2RsinB 232=
⨯=2， 由余弦定理可得，b 2＝a 2+c 2﹣2accosB ，
即a 2+c 2﹣ac ＝4，因为a 2+c 2≥2ac ，
所以4＝a 2+c 2﹣ac≥ac ，当且仅当a ＝c 时取等号，即ac 的最大值4，
所以△ABC 面积S 12acsinB =
=≤. 【点睛】
本题综合考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题. 22．如图，在ABC ∆中，2AC =，3A π
∠=，点D 在线段AB 上.
（1）若1cos 3CDB ∠=-，求CD 的长；
（2）若2AD DB =，sin 7ACD BCD ∠=∠，求ABC ∆的面积.
【答案】（1）36CD =
（233 【解析】
【分析】 （1）先根据平方关系求出sin CDA ∠,再根据正弦定理即可求出CD ；
（2）分别在ADC ∆和BDC ∆中，根据正弦定理列出两个等式，两式相除，利用题目条件即可求出CB ，再根据余弦定理求出AB ，即可根据1sin 2S AC AB A =
⋅⋅求出ABC ∆的面积． 【详解】
（1）由1
cos 3CDB ∠=-，得1cos 3CDA ∠=，所以22sin 3
CDA ∠=. 由正弦定理得，sin sin CD AC A CDA =∠3223
=364CD =. （2）由正弦定理，在ADC ∆中，
sin sin AD AC ACD ADC
=∠∠，① 在BDC ∆中，sin sin DB CB BCD BDC =∠∠，② 又sin sin ADC BDC ∠=∠，2AD DB =，sin 7ACD BCD ∠=∠， 由①②得7CB = 由余弦定理得2222cos CB AC AB AC AB A =+-⋅，
即2742AB AB =+-，解得3AB =，
所以ABC ∆的面积133sin 22
S AC AB A =
⋅⋅=. 【点睛】
本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
23．随着电子阅读的普及，传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击．某杂志社近9年来的纸质广告收入如下表
所示：
根据这9年的数据，对t和y作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.243；
根据后5年的数据，对t和y作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.984.
（1）如果要用线性回归方程预测该杂志社2019年的纸质广告收入，现在有两个方案，
方案一：选取这9年数据进行预测，方案二：选取后5年数据进行预测．
从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适？
附：相关性检验的临界值表：
（2）某购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书，据统计，在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电子书的读者比例为50%，纸质版本和电子书同时购买的读者比例为10%，现用此统计结果作为概率，若从上述读者中随机调查了3位，求购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率．
【答案】（1）选取方案二更合适；（2）
81 125
【解析】
【分析】
(1) 可以预见，2019年的纸质广告收入会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据，而后5年的数据得到的相关系数的绝对值0.9840.959
>，所以有99%的把握认为y与t具有线性相关关
系，从而可得结论；(2)求得购买电子书的概率为3
5
,只购买纸质书的概率为
2
5
,购买电子书人数多于只购买
纸质书人数有两种情况：3人购买电子书，2人购买电子书一人只购买纸质书，由此能求出购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率.
【详解】
（1）选取方案二更合适，理由如下：
①题中介绍了，随着电子阅读的普及，传统纸媒受到了强烈的冲击，从表格中的数据中可以看出从2014年开始，广告收入呈现逐年下降的趋势，可以预见，2019年的纸质广告收入会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据.
②相关系数r越接近1，线性相关性越强，因为根据9年的数据得到的相关系数的绝对值0.2430.666
<，我们没有理由认为y与t具有线性相关关系；而后5年的数据得到的相关系数的绝对值0.9840.959
>，所
以有99%的把握认为y 与t 具有线性相关关系.
(2) 因为在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电子书的读者比例为50%，纸质版本和电子书同时购买的读者比例为10%，所以从该网站购买该书籍的大量读者中任取一位，购买电子书的概率为1132105+=，只购买纸质书的概率为25
， 购买电子书人数多于只购买纸质书人数有两种情况：3人购买电子书，2人购买电子书一人只购买纸质书.概率为：32
323333281555125
C C ⎛⎫⎛⎫+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】
本题主要考查最优方案的选择，考查了相关关系的定义以及互斥事件的概率与独立事件概率公式的应用，考查阅读能力与运算求解能力，属于中档题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.。