【5套打包】佛山市初三九年级数学上(人教版)第24章圆单元测试及答案

人教版九年级数学上册第二十四章圆单元测试（含答案）
一、单选题
1．下列命题：①直径相等的两个圆是等圆；②等弧是长度相等的弧；③圆中最长的弦是通过圆心的弦； ④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧．其中真命题是 ( ) A ．①③ B ．①③④ C ．①②③ D ．②④
2．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ．若CD ＝AP ＝8，则⊙O 的直径为（ ）
A ．10
B ．8
C ．5
D ．3
3．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD 为8m ，桥拱半径OC 为5m ，则水面AB 宽为（ ）
A.4m
B.5m
C.6m
D.8m
4．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知4EF CD ==，则球的半径长是（ ）
A ．2
B ．2.5
C ．3
D ．4
5．如图，C 、D 为半圆上三等分点，则下列说法：①AD =CD =BC ；②∠AOD ＝∠DOC ＝∠BOC ；③AD ＝CD ＝OC ；④△AOD 沿OD 翻折与△COD 重合．正确的有（ ）
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
6．下列各角中，是圆心角的是（）
A. B. C. D.
7．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是弧AC的中点，则∠D的度数是()
A．60°B．35°C．30.5°D．30°
8．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是60°，则∠ACD的度数为( )
A．60°B．30°C．120°D．45°
9．已知⊙O的半径是4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（）
A．点P在圆内B．点P在圆上
C．点P在圆外D．不能确定
10．如图，AB是⊙O 的直径，BC是⊙O 的切线，若OC=AB，则∠C的度数为（）
A．15°B．30°C．45°D．60°
11．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝2∠B，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．6π
12．如图，已知在⊙O 中，AB=4 ， AF=6，AC 是直径，AC ⊥BD 于F ，图中阴影部分的面积是（ ）
A.
B. C.
D.
13．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC=2，以AB 的中点为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为( )
2π- 2π C.π D.2π
二、填空题
14．已知扇形的弧长为2π，圆心角为60°，则它的半径为________．
15．如图，在⊙O 中，已知∠AOB ＝120°，则∠ACB ＝________．
16．如图，在O 中，直径4AB =，弦CD AB ⊥于E ，若30A ∠=，则CD =____
17．如图，在O 中，120AOB ∠=︒，P 为劣弧AB 上的一点，则APB ∠的度数是_______.
三、解答题
18．如图，在△ABC 中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点D ，求弦BD 的长
19．如图，在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以 BC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D ，过点 D 作∠ADE ＝∠A ，交 AC 于点 E ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若
3
4
BC
AC
，求DE 的长．
20．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BC的中点．过点D作直线AC的垂线，
人教版数学九年级上册第24章《圆》单元培优练习卷（含解析）
一．选择题
1．面积为6π，圆心角为60°的扇形的半径为（）
A．2 B．3 C．6 D．9
2．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）
A．60°B．50°C．40°D．20°
3．如图：已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在半径OA上（不与点O，A重合）．若∠COA＝60°，∠CDO＝70°，∠ACD的度数是（）
A．60°B．50°C．30°D．10°
4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为4，∠B＝135°，则劣弧AC的长
是（）
A．4πB．2πC．πD．
5．如图，直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，根据图中标示的长度与角度，求AD的长度为何？（）
A．B．C．D．
6．如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（）
A．2 B．C．D．
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE＝CD＝16，∠BAC＝∠BOD，则⊙O 的半径为（）
A．4B．8 C．10 D．6
8．如图，CD是⊙O的切线，点C在直径的延长线上，若BD＝AD，AC＝3，CD＝（）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
9．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOC＝110°，则∠ADC＝（）
A．55°B．110°C．125°D．70°
10．如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，BD＝CD，以点D为圆心，BD长为半径作，若AC＝6，则图中阴影部分的面积是（）
A．2π﹣3B．2π+3C．π﹣D．π+
11．如图，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA交⊙O的切线BC于点C，交AB于点D．已知∠OAB＝20°，则∠OCB的度数为（）
A．20°B．30°C．40°D．50°
12．如图，四边形ABCD中，CD∥AB，E是对角线AC上一点，DE＝EC，以AE为直径的⊙O 与边CD相切于点D，点B在⊙O上，连接BD，若DE＝4，则BD的长为（）
A．4 B．4C．8 D．8
二．填空题
13．在正六边形ABCDEF中，若边长为3，则正六边形ABCDEF的边心距为．14．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，P为AC的中点，连接P D，BC＝6，DP ＝4．O为边BA上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，当⊙O与△PDC的一边所在直线相切时，⊙O的半径等于．
15．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，＝．若∠CAB＝42°，则∠CAD＝
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，其中AC＝2，以AC为直径的⊙O交AB 于点D，则圆周角∠A所对的弧长为（用含π的代数式表示）
17．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，BC是半圆O的直径，则图中阴影部分的面积为．
18．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，以点A为圆心的扇形FAG与菱形的边BC相切于点E，则图中的弧长是．
三．解答题
19．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD．
（1）求证：∠BAD＝∠CBD；
（2）若∠AEB＝125°，求的长（结果保留π）．
20．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG∥CA；
（2）求证：AD＝ID；
（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
21．如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE．
（1）求证：AE是半圆O的切线；
（2）若PA＝2，PC＝4，求AE的长．
22．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C是上的一动点（不与A，B重合），过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）当∠D＝30°时，求阴影部分面积．
23．已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上AB同侧的两点，∠BAC＝25°（Ⅰ）如图①，若OD⊥AB，求∠ABC和∠ODC的大小；
（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于点E，若OD∥EC，求∠ACD的大小．
24．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与
BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．
（1）求证：E为BC的中点；
（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC
的内切圆面积S
1和四边形OBED的外接圆面积S
2
的比．
参考答案一．选择题
1．解：设扇形的半径为r．
由题意：＝6π，
∴r2＝36，
∵r＞0，
∴r＝6，
故选：C．
2．解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵∠BCD＝40°，
∴∠A＝∠BCD＝40°，
∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．
故选：B．
3．解：∵OA＝OC，∠COA＝60°，
∴△ACO为等边三角形，
∴∠CAD＝60°，
又∵∠CDO＝70°，
∴∠ACD＝∠CDO﹣∠CAD＝10°．
故选：D．
4．解：∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠B+∠D＝180°，
∵∠B＝135°，
∴∠D＝45°，
∵∠AOC＝2∠D，
∴∠AOC＝90°，
则l＝＝2π，
故选：B．
5．解：设AD＝x，
∵直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，∴BD＝BE＝1，
∴AB＝x+1，AC＝AD+CE＝x+4，
在Rt△ABC中，（x+1）2+52＝（x+4）2，解得x＝，
即AD的长度为．
故选：D．
6．解：∵∠A＝90°，AB＝AD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，BD＝AB，
∵∠ABC＝105°，
∴∠CBD＝60°，
而CB＝CD，
∴△CBD为等边三角形，
∴BC＝BD＝AB，
∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，
∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，∴下面圆锥的侧面积＝×1＝．
故选：D．
7．解：∵∠BAC＝∠BOD，
∴，
∴AB⊥CD，
∵AE＝CD＝16，
∴DE＝CD＝8，
设OD＝r，则OE＝AE﹣r＝16﹣r，
在Rt△ODE中，OD＝r，DE＝8，OE＝16﹣r，
∵OD2＝DE2+OE2，即r2＝82+（16﹣r）2，解得r＝10．
故选：C．
8．解：∵CD是⊙O的切线，
∴∠CDB＝∠CAD，又∠C＝∠C，
∴△CDB∽△CAD，
∴＝＝，即＝，
解得，CD＝2，
故选：C．
9．解：由圆周角定理得，∠B＝∠AOC＝55°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADC＝180°﹣∠B＝125°，
故选：C．
10．解：∵在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，BD＝CD，AC＝6，∴AC⊥BD，OC＝3，BD＝CD＝BC，BD＝2OB，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，OB＝，
∴BD＝2，
∴图中阴影部分的面积是：S
阴＝S
扇形CDB
﹣S
△CDB
＝﹣×2×3＝2π
﹣3，
故选：A．11．解：连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝20°，
∴∠DBC＝70°，
∵∠AOC＝90°，
∴∠ODA＝∠BDC＝70°，
∴∠OCB＝40°，
故选：C．
12．解：如图，连接OD，设⊙O的半径为r，∵⊙O与边CD相切于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC＝90°，即∠3+∠ODE＝90°，
∵AE为直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠ODA+∠ODE＝90°，
∴∠ODA＝∠3，
而∠ODA＝∠1，
∴∠1＝∠3，
∵ED＝EC＝4，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠CAB，
∴∠1＝∠CAB
∴＝，
∴AE⊥BD，
∵∠1＝∠2，DF⊥AC，
∴AF＝CF，
∴CF＝﹣4＝r﹣2，
∵∠DEF＝∠AED，∠DFE＝∠ADE，
∴△EDF∽△EAD，
∴DE：EA＝EF：DE，即4：2r＝（r﹣2）：4，
整理得r2﹣2r﹣8＝0，解得r＝﹣2（舍去）或r＝4，∴EF＝r﹣2＝2，
在Rt△DEF中，DF＝＝2，
∴DB＝2DF＝4．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
13．解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，连接OA，OB，
则△OAB是等边三角形，
过O作OH⊥AB于H，
∴∠AOH＝30°，
∴OH＝AO＝，
故答案为：．
14．解：∵∠ADC＝90°，P是AC中点，
∴AC＝2DP＝8，
又∵BC＝6，
∴AB＝10，
则CD＝＝＝，
∴BD＝＝，
如图1，若⊙O与CD相切，
则⊙O的半径r＝BD＝；
如图2，若⊙O与CP相切，
则BO＝OE＝r，AO＝10﹣r，
由OE⊥AC知OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得r＝；
如图3，若⊙O与DP所在直线相切，切点F，
则OF⊥DP，即∠OFD＝∠ACB＝90°，OB＝OF＝r，∴OD＝BD﹣BO＝﹣r，
∵∠ODF＝∠ADP＝∠A，
∴△ODF∽△BAC，
∴＝，即＝，
解得r＝；
综上，当⊙O与△PDC的一边所在直线相切时，⊙O的半径等于或或，故答案为：或或．
15．解：连接OC，OD，如图所示．
∵∠CAB＝42°，
∴∠COB＝84°．
∵＝，
∴∠COD＝（180°﹣∠COB）＝48°，
∴∠CAD＝∠COD＝24°．
故答案为：24°．
16．解：连接OD，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∴∠COD＝2∠A＝120°，
∵AC＝2，
∴圆周角∠A所对的弧长为：＝，
故答案为：．
17．解：如图，连接OF．
S
阴＝（S
扇形OFC
﹣S
△OFC
）+（S
△ABC
﹣S
△OFC
﹣S
扇形OBF
）
＝﹣•×+×2×﹣××﹣＝﹣+﹣
＝+，
故答案为： +．
18．解：连接AE，如图，
∵以点A为圆心的扇形FAG与菱形的边BC相切于点E，
∴AE⊥BC，
在Rt△ABE中，∵AB＝2，∠B＝45°，
∴∠BAE＝45°，AE＝AB＝×2＝2，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA＝90°，
∴的弧长＝＝π．
故答案为π．
三．解答题（共6小题）
19．（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠CBD；
（2）解：连接OD，
∵∠AEB＝125°，
∴∠AEC＝55°，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACE＝90°，
∴∠CAE＝35°，
∴∠DAB＝∠CAE＝35°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝70°，
∴的长＝＝π．
20．（1）证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠2＝∠7，
∵DG平分∠ADF，
∴∠1＝∠ADF，
∵∠ADF＝∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DG∥AC；
（2）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠5＝∠6，
∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，
即∠4＝∠DAI，
∴DA＝DI；
（3）解：∵∠3＝∠7，∠AED＝∠BAD，∴△DAE∽△DBA，
∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD，
∴AD＝6，
∴DI＝6，
∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3．
21．（1）证明：∵在矩形ABCD中，∠ABO＝∠OCE＝90°，∵OE⊥OA，
∴∠AOE＝90°，
∴∠BAO+∠AOB＝∠AOB+∠COE＝90°，
∴∠BAO＝∠COE，
∴△ABO∽△OCE，
∴＝，
∵OB＝OC，
∴，
∵∠ABO＝∠AOE＝90°，
∴△ABO∽△AOE，
∴∠BAO＝∠OAE，
过O作OF⊥AE于F，
∴∠ABO＝∠AFO＝90°，
在△ABO与△AFO中，，
∴△ABO≌△AFO（AAS），
∴OF＝OB，
∴AE是半圆O的切线；
（2）解：连接PF，FC，FO并延长交⊙O于G，
则∠G＝∠ACF，∠G+∠PFG＝90°，∵AF是⊙O的切线，
∴∠AFG+∠PFG＝90°，
∴∠AFP＝∠G＝∠ACF，
∵∠FAP＝∠A CF，
∴△AFP∽△ACF，
∴＝，
∴AF2＝AP•AC，
∴AF＝＝2，
∴AB＝AF＝2，
∵AC＝6，
∴BC＝＝2，
∴AO＝＝3，
∵△ABO∽△AOE，
∴，
∴＝，
∴AE＝3．
22．解：（1）如图，连接BC，OC，OE，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△BDC中，∵BE＝ED，
∴DE＝EC＝BE，
∵OC＝OB，OE＝OE，
∴△OCE≌△OBE（SSS），
∴∠OCE＝∠OBE，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠ABD＝90°，
∴∠OCE＝∠ABD＝90°，
∵OC为半径，
∴EC是⊙O的切线；
（2）∵OA＝OB，BE＝DE，
∴AD∥OE，
∴∠D＝∠OEB，
∵∠D＝30°，
∴∠OEB＝30°，∠EOB＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵AB＝4，
∴OB＝2，
∴．
∴四边形OBEC的面积为2S
△OBE
＝2×＝12，
∴阴影部分面积为S
四边形OBEC ﹣S
扇形BOC
＝12﹣＝12﹣4π．
23．解：（Ⅰ）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝25°，
∴∠ABC＝65°，
∵OD⊥AB，
∴∠AOD＝90°，
∴∠ACD＝∠AOD＝＝45°，∵OA＝OC，
∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝70°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝70°；
（Ⅱ）连接OC，
∵EC是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE＝90°，
∵∠BAC＝25°，
∴∠COE＝2∠BAC＝50°，
∴∠OEC＝40°，
∵OD∥CE，
∴∠AOD＝∠COE＝40°，
∴∠ACD＝AOD＝20°．
24．解：（1）连接BD、OE，
∵AB是直径，则∠ADB＝90°＝∠A DO+∠ODB，∵DE是切线，
∴∠ODE＝90°＝∠EDB+∠BDO，
∵∠ABC＝90°，即BC是圆的切线，
∴∠DBC＝∠CAB，
∴∠EDB＝∠EBD，则∠BDC＝90°，
∴E为BC的中点；
（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，
则两个三角形的外接圆的直径分别为AD、BM，
∴AD：BM＝，
而△ADH∽△MBH，
∴DH：BH＝，
则DH＝HM，
∴HM：BH＝，
∴∠BMH＝30°＝∠BAC，
∴∠C＝60°，E是直角三角形的中线，
∴DE＝CE，
∴△DEC为等边三角形，
⊙O的面积：12π＝（AB）2π，
则AB＝4，∠CAB＝30°，
∴BD＝2，BC＝4，AC＝8，而OE＝AC＝4，
四边形OBED的外接圆面积S
2
＝π（2）2＝4π，
等边三角形△DEC边长为2，则其内切圆的半径为：，面积为，
故△DEC的内切圆面积S
1和四边形O BED的外接圆面积S
2
的比为：．
人教版九年级上册第24章数学圆单元测试卷(含答案)(7)
一．选择题
1．如图，在⊙O中，AC为⊙O直径，B为圆上一点，若∠OBC＝26°，则∠AOB的度数为（）
A．26°B．52°C．54°D．56°
2．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝68°，则∠OBC等于（）
A．22°B．26°C．32°D．34°
3．已知⊙O的半径为5cm，若点A到圆心O的距离为3cm，则点A（）A．在⊙O内
B．在⊙O上
C．在⊙O外
D．与⊙O的位置关系无法确定
4．如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB＝40°，则∠APB的度数为（）
A．80°B．140°C．20°D．50°
5．下列说法错误的是（）
A．圆有无数条直径
B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦
C．过圆心的线段是直径
D．能够重合的圆叫做等圆
6．如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形ABCDEF的半径是cm，则这个正六边形的周长是（）
A． cm B．12cm C． cm D．36 cm
7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为4，∠B＝135°，则劣弧AC的长（）
A．2πB．πC．D．4π
8．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，若∠ACB＝110°，则∠P的度数是（）
A．55°B．30°C．35°D．40°
9．如图，小明为检验M、N、P、Q四点是否共圆，用尺规分别作了MN、MQ的垂直平分线交于点O，则M、N、P、Q四点中，不一定在以O为圆心，OM为半径的圆上的点是（）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
10．如图，AB为半圆O的直径，BC⊥AB且BC＝AB，射线BD交半圆O的切线于点E，DF⊥CD 交AB于F，若AE＝2BF，DF＝2，则⊙O的半径长为（）
A．B．4C．D．
二．填空题
11．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，若∠BCD＝26°，则∠ABC的度数为．
12．如图所示，AB是⊙O的直径．PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P ＝40°，则∠B等于．
13．如图，在直角坐标系中，点A（0，3）、点B（4，3）、C（0，﹣1），则△ABC外接圆的半径为．
14．如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为．
15．如图，⊙O的半径为2，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，对角线CE、DF相交于点M，则△MEF的面积是．
16．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝．
17．已知点A是圆心为坐标原点O且半径为3的圆上的动点，经过点B（4，0）作直线l⊥x 轴，点P是直线l上的动点，若∠OPA＝45°，则△BOP的面积的最大值为．
18．如图，已知⊙O的半径为m，点C为直径AB延长线上一点，BC＝m．过点C任作一直线l，若l上总存在点P，使过P所作的⊙O的两切线互相垂直，则∠ACP的最大值等于．
三．解答题
19．如图，BC是半⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点的切线交CB的延长线于点P，过点B 的切线交CA的延长线于点E，AP与BE相交于点F．
（1）求证：BF＝EF；
（2）若AF＝，半⊙O的半径为2，求PA的长度．
20．如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点，点C，D在⊙O上，且PD是⊙O的切线，PC＝PD．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，DO＝PO，求图中阴影部分的面积．
21．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O 于点F，连结BF并延长交CD于点G．
（1）求证：△ABE≌△BCG；
（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求劣弧的长．（结果保留π）
22．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．
（1）求证：OP∥BC；
（2）过点C作⊙O的切线CD，交A P的延长线于点D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O 的直径．
23．如图：AB是⊙O的直径，AC交⊙O于G，E是AG上一点，D为△BCE内心，BE交AD于F，且∠DBE＝∠BAD．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：DF＝DG．
24．已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上AB同侧的两点，∠BAC＝25°（Ⅰ）如图①，若OD⊥AB，求∠ABC和∠ODC的大小；
（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于点E，若OD∥EC，求∠ACD的大小．
25．【材料阅读】
地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的⊙O）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的．
【实际应用】
观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得α为67°．PQ是⊙O的直径，PQ ⊥ON．
（1）求∠POB的度数；
（2）已知OP＝6400km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上的长．（π取3.1）
参考答案
一．选择题
1．解：∵OB＝OC，
∴∠C＝∠OBC，
∵∠OBC＝26°，
∴∠AOB＝2∠C＝52°，
故选：B．
2．解：连接CO，
∵∠A＝68°，
∴∠BOC＝136°，
∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣136°）＝22°．
故选：A．
3．解：∵OA＝3cm＜5cm，
∴点A在⊙O内．
故选：A．
4．解：∠APB＝∠AOB＝×40°＝20°．
故选：C．
5．解：A、圆有无数条直径，故本选项说法正确；
B、连接圆上任意两点的线段叫弦，故本选项说法正确；
C、过圆心的弦是直径，故本选项说法错误；
D、能够重合的圆全等，则它们是等圆，故本选项说法正确；
故选：C．
6．解：设正六边形的中心为O，连接AO，BO，如图所示：∵O是正六边形ABCDEF的中心，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠AOB＝60°，AO＝BO＝2cm，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝2cm，
∴正六边形ABCDEF的周长＝6AB＝12cm．
故选：C．
7．解：连接OA、OC，如图．
∵∠B＝135°，
∴∠D＝180°﹣135°＝45°，
∴∠AOC＝90°，
则劣弧AC的长＝＝2π．
故选：A．
8．解：在优弧AB上取点D，连接BD，AD，OB，OA，∵∠ACB＝110°，
∴∠D＝180°﹣∠ACB＝70°，
∴∠AOB＝2∠D＝140°，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠P＝360°﹣∠OAP﹣∠AOB﹣∠OBP＝40°．
故选：D．
9．解：连接OM，ON，OQ， OP，
∵MN、MQ的垂直平分线交于点O，
∴OM＝ON＝OQ，
∴M、N、Q再以点O为圆心的圆上，OP与ON的大小不能确定，∴点P不一定在圆上．
故选：C．
10．解：连接AD，CF，作CH⊥BD于H，如图所示：
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADF+∠BDF＝90°，∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠BDF+∠BDC＝90°，∠CBD+∠DBA＝90°，
∴∠ADF＝∠BDC，∠DAB＝∠CBD，
∴△ADF∽△BDC，
∴＝＝，
∵∠DAE+∠DAB＝90°，∠E+∠DAE＝90°，
∴∠E＝∠DAB，
∴△ADE∽△BDA，
∴＝，
∴＝，即＝，
∵AB＝BC，
∴AE＝AF，
∵AE＝2BF，
∴BC＝AB＝3BF，
设BF＝x，则AE＝2x，AB＝BC＝3x，
∴BE＝＝x，CF＝＝，由切割线定理得：AE2＝ED×BE，
∴ED＝＝＝x，
∴BD＝BE﹣ED＝，
∵CH⊥BD，
∴∠BHC＝90°，∠CBH+∠BCH＝∠CBH+∠ABE，
∴∠CBH＝∠ABE，
∵∠BAE＝90°＝∠BHC，
∴△BCH∽△EBA，
∴＝＝，即＝＝，
解得：BH＝x，CH＝x，
∴DH＝BD﹣BH＝x，
∴CD2＝CH2+DH2＝x2，
∵DF⊥CD，
∴CD2+DF2＝CF2，即x2+（2）2＝（）2，
解得：x＝，
∴AB＝3，
∴⊙O的半径长为；
故选：A．
二．填空题
11．解：连接CO，
∵CD切⊙O于点C，
∴CO⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵∠BCD＝26°，
∴∠OCB＝90°﹣26°＝64°，
∵CO＝BO，
∴∠ABC＝∠OCB＝64°．
故答案为：64°．
12．解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠PAB＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠POA＝90°﹣40°＝50°，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠BCO＝25°，
故答案为：25°．
13．解：连接AB，分别作AC、AB的垂直平分线，两直线交于点H，由垂径定理得，点H为△ABC的外接圆的圆心，
∵A（0，3）、点B（4，3）、C（0，﹣1），
∴点H的坐标为（2，1），
则△ABC外接圆的半径＝＝2，
故答案为：2．
14．解：由题意：BA＝BC＝1，∠ABC＝90°，
∴S
＝＝．
扇形BAC
故答案为．
15．解：设OE交DF于N，如图所示：
∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，
∴DE＝FE，∠EOF＝＝45°，，
∴∠OEF＝∠OFE＝∠OED，OE⊥DF，
∴△ONF是等腰直角三角形，
∴ON＝FN＝OF＝，∠OFM＝45°，
∴EN＝OE﹣OM＝2﹣，∠OEF＝∠OFE＝∠OED＝67.5°，∴∠CED＝∠DFE＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠MEN＝45°，
∴△EMN是等腰直角三角形，
∴MN＝EN，
∴MF＝MN+FN＝ON+EN＝OE＝2，
∴△MEF的面积＝MF×EN＝×2×（2﹣）＝2﹣；
故答案为：2﹣．
16．解：连接OB．
∵＝，
∴∠AOB＝∠BOC＝50°，
∴∠BDC＝∠BOC＝25°，
∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°，
∴∠OED＝60°，
故答案为60°．
17．解：当PA是⊙O的切线时，OP最长，则PB最长，故△BOP的面积的最大，连接OA，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∵∠OPA＝45°，
∴△OPA是等腰直角三角形，
∴OA＝PA＝3，
∴OP＝3，
在Rt△BOP中， PB＝＝＝，
∴△BOP的面积的最大值为×4×＝2，
故答案为2．
18．解：∵PM、PN是过P所作的⊙O的两切线且互相垂直，
∴∠MON＝90°，
∴四边形PMON是正方形，
根据勾股定理求得OP＝m，
∴P点在以O为圆心，以m长为半径作大圆⊙O上，
以O为圆心，以m长为半径作大圆⊙O，然后过C点作大⊙O的切线，切点即为P点，此时∠ACP有最大值，如图所示，
∵PC是大圆⊙O的切线，
∴OP⊥PC，
∵OC＝2m，OP＝m，
∴PC＝＝m，
∴OP＝PC，
∴∠ACP＝45°，
∴∠ACP的最大值等于45°，．
故答案为45°．
三．解答题
19．（1）证明：连接OA，
∵AF、BF为半⊙O的切线，
∴AF＝BF，∠FAO＝∠EBC＝90°，
∴∠E+∠C＝∠EAF+∠OAC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠OAC，
∴∠E＝∠EAF，
∴AF＝EF，
∴BF＝EF；
（2）解：连接AB，
∵AF、BF为半⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OBE＝90°，且BF＝AF＝1.5，
又∵tan∠P＝，即，
∴PB＝，
∵∠PAE+∠OAC＝∠AEB+∠OCA＝90°，且∠OAC＝∠OCA，∴∠PAE＝∠AEB，∠P＝∠P，
∴△APB∽△CPA，
∴，即PA2＝PB•PC，
∴，解得PA＝．
20．（1）证明：连接OC，
在△PDO与△PCO中，，
∴△PDO≌△PCO（SSS），
∴∠PCO＝∠PDO，
∵PD是⊙O的切线，
∴∠PDO＝90°，
∴∠PCO＝90°，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠PDO＝90°，DO＝PO，∴∠POD＝60°，
∴∠DOC＝120°，
∵⊙O的半径为2，
∴PD＝OD＝2，
∴图中阴影部分的面积＝S
四边形PDOC ﹣S
扇形DOC
＝2××2×2﹣＝4﹣
．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，
∴∠EBF＝∠BAF，
在△ABE与△BCG中，，
∴△ABE≌△BCG（ASA）；
（2）解：连接OF，
∵∠ABE＝∠AFB＝90°，∠AEB＝55°，
∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，
∵OA＝3，
∴的长＝＝．
22．（1）证明：∵A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．∴＝
∴∠AOP＝∠COP，
∴∠AOP＝∠AOC，
又∵∠ABC＝∠AOC，
∴∠AOP＝∠ABC，
∴PO∥BC；
（2）解：连接PC，
∵CD为圆O的切线，
∴OC⊥CD，又AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠APO＝∠COP，
∵∠AOP＝∠COP，
∴∠APO＝∠AOP，
∴OA＝AP，
∵OA＝OP，
∴△APO为等边三角形，
∴∠AOP＝60°，
又∵OP∥BC，
∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又OC＝OB，
∴△BCO为等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∴∠POC＝180°﹣（∠AOP+∠COB）＝60°，又OP＝OC，
∴△POC也为等边三角形，
∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC，
又∵∠OCD＝90°，
∴∠PCD＝30°，
在Rt△PCD中，PD＝PC，
又∵PC＝OP＝AB，
∴PD＝AB，
∴AB＝4PD＝4．
23．证明：（1）∵点D为△BCE的内心，∴BD平分∠EBC．
∴∠EBD＝∠CBD．
又∵∠DBE＝∠BAD，
∴∠CBD＝∠BAD．
又∵AB是〇O直径，
∴∠BDA＝90°．
在Rt△BAD中，∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CBD+∠ABD＝90°，即∠ABC＝90°．∴BC⊥AB．
又∵AB为直径，
∴BC是〇O的切线；
（2）连接ED，如图，则ED平分∠BEC，∴∠BED＝∠CED．
∵∠EFD为△BFD的外角
∴∠EFD＝∠ADB+∠EBD＝90°+∠EBD，
又∵四边形ABDG为圆的内接四边形，
∴∠EGD＝180°﹣∠ABD＝180°﹣（90°﹣∠CDB）＝90°+∠CDB 又∵∠EBD＝∠CBD，
∴∠EFD＝∠EGD
又∵ED＝ED，
∴△DFE≌△DGE（AAS）．
∴DF＝DG．
24．解：（Ⅰ）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝25°，
∴∠ABC＝65°，
∵OD⊥AB，
∴∠AOD＝90°，
∴∠ACD＝∠AOD＝＝45°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝25°，
∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝70°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝70°；
（Ⅱ）连接OC，
∵EC是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE＝90°，
∵∠BAC＝25°，
∴∠COE＝2∠BAC＝50°，
∴∠OEC＝40°，
∵OD∥CE，
∴∠AOD＝∠COE＝40°，
∴∠ACD＝AOD＝20°．
25．解：（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交BC于点C，如图所示：
则∠DHC＝67°，
∵∠HBD+∠BHD＝∠BHD+∠DHC＝90°，
∴∠HBD＝∠DHC＝67°，
∵ON∥BH，
∴∠BEO＝∠HBD＝67°，
∴∠BOE＝90°﹣67°＝23°，
∵PQ⊥ON，
∴∠POE＝90°，
∴∠POB＝90°﹣23°＝67°；
（2）同（1）可证∠POA＝31°，
∴∠AOB＝∠POB﹣∠POA＝67°﹣31°＝36°，
∴＝＝3968（km）．
人教版九年级上册第二十四章圆单元检测（含答案）
一、单选题
1．下列命题中，不正确的是( )
A．圆是轴对称图形B．圆是中心对称图形
C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D．以上都不对
2．如图，AB是如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为弧BC的中点，点P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值是（）
A.1
3．如图，⊙P与y轴相切于点C(0，3)，与x轴相交于点A(1，0)，B(9，0).直线y=kx-3恰好平分⊙P的面积，那么k的值是( )
A．6 5
B．1 2
C．5 6
D．2
4．已知⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM为3，则弦AB的长是（）
A．4 B．6 C．7 D．8
5．如图，⊙O的半径为4，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于D，如果∠BAC=60°，那么OD的长是（）
A．4 B．C．2 D
6．下列命题：①长度相等的弧是等弧②半圆既包括圆弧又包括直径③相等的圆心角所对的弦相等④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形其中正确的命题共有（）A．0个B．1个C．2个D．3个
7．如图，AB，CD是⊙O的直径，若∠AOC＝55°，则的度数为（）
A.55°
B.110°
C.125°
D.135°
8．如图，C、D为半圆上三等分点，则下列说法：①AD=CD=BC；②∠AOD＝∠DOC ＝∠BOC；③AD＝CD＝OC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合．正确的有（）
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
9．如图，A、D是⊙O上的两个点，若∠ADC＝33°，则∠ACO的大小为（）
A ．57°
B ．66°
C ．67°
D ．44°
10．⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离OA =3cm ，则点A 与圆O 的位置关系为（ ） A ．点A 在圆上 B ．点A 在圆内 C ．点A 在圆外 D ．无法确定
11．如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA ＝6，则△PCD 的周长为（ ）
A.8
B.6
C.12
D.10
12．边长为2的正方形内接于⊙O ，则⊙O 的半径是（ ）
A ．1
B C ．2 D ．
二、填空题
13．一个正多边形的每一个内角都为144︒，则正多边形的中心角是_____，它是正______边形.
14．如图，半圆的直径6AB ＝，点C 在半圆上，30BAC ∠︒＝，则阴影部分的面积为_____（结果保留π）．
15．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，边长AB ＝2，则扇形AOB 的面积为_____．
16．如图，圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高AO为_____．
三、解答题
17．如图，在⊙O中，已知∠ACB=∠CDB=60°，AC=3，求△ABC的周长．
18．一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度（AB）为16米，拱高（CD）为4米，求：
（1）桥拱半径．
（2）若大雨过后，桥下河面宽度（EF）为12米，求水面涨高了多少？
19．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BC的中点．过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD．。