新人教版八年级上册初中数学 12.3 角的平分线的性质(第1课时) 优质课件
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O
（3）垂直距离.
定理(dìnglǐ)的作证明线段相等. 用应用：格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
PD⊥OA， PE⊥OB，
∴PD = PE
第十二页，共二十八页。
A D
C P
E B
推理的理由有三个，必须 写完全，不能少了任何一
个.
探究新知
判一判：（1）∵ 如下(rúxià)左图，AD平分∠BAC（已知），
仔细观察步骤(bùzhòu)
A M
C
半径小于
1 2
MN或等于
1 2
MN，可以
吗？
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，
交OA于点M，交OB于点N.
B
（2）分别以点M，N为圆心，大于
N
O
MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB
的内1 部相交(xiāngjiāo)于点C. （3）2 画射线OC.射线OC即为所求.
A
其依据是SSS，两全(liǎnɡ quán)等三角形的
对应角相等.
D
B
C (E)
第五页，共二十八页。
探究新知
【思考】如果没有(méi yǒu)此仪器，我们用数学作图工具，能实现
该仪器的功能吗？ 做一做请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明(shuōmíng)
作图方法与仪器的关系.
提示
(1)已知什么？求作什么？
(fāngfǎ)得到木板、钢板的角平分线吗？
第三页，共二十八页。
探究新知
第四页，共二十八页。
探究新知
问题(wèn如tí)3图：，是一个角平分仪，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在 角的顶点，AB和AD沿着(yán zhe)角的两边放下，沿AC画一条射 线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?
A
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶
点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样
(zěnyàng)在作图中体现这个过程呢?
(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体
B 现这个过程呢？
O
(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
第六页，共二十八页。
探究新知
已知: ∠AOB. 求作：∠AOB的平分线.
∴ EB=FC.
第十五页，共二十八页。
巩固练习
如图，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB边上取OA＝OB，PM⊥BD， PN⊥AD，垂足(chuízú)分别为M，N.求证：PM＝PN.
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意(rènyì)一点.
1. 操作(cāozuò)测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作
PD⊥OA，PE⊥OB ，点D,E为垂足，测量PD,PE的长.将三次数
据填入下表：
A
D
C
PD PE
第一次
p
第二次
O
E
B
第三次
2. 观察测量结果，猜想(cāixiǎng)线段PD与PE的大小关系，写出 猜结想果：：角__的_P_平D__分=_P_线_E_上的点到角的两边的距离相等.
DE⊥AB，DF⊥AC.垂足(chuízú)分别为E，F.
求证：EB=FC. A
证明(zhèngmíng)： ∵AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE=DF， ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
E B
D
F C
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
O
OP=ห้องสมุดไป่ตู้OP，
∴ △PDO ≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
第十页，共二十八页。
A
D C
P
E
B
探究新知
归纳总结
一般情况下，我们要证明(zhèngmíng)一个几何命题时，可以按照 类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
第九页，共二十八页。
探究新知
验证猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离(jùlí)相等.
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足 (chuí zú)分别为D，E.求证：PD=PE.
证明(zh∵èngmPínDg)⊥：OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边放下，沿AC画一条射线 AE，AE 就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗？
A
D
B
第二页，共二十八页。
C E
探究新知
知识点 1 角平分线的画法
问题1：在纸上画一个角，你能得到(dédào)这个角的平分线吗？
用量角器度量，也可用折纸(zhézhǐ)的方法．
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示(biǎoshì)已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
第十一页，共二十八页。
探究新知
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离(jùlí)相等.
应用(yìngyòng)所具备的 （条1）件角：的平分线；
（2）点在该平分线上；
新人教版八年级上册初中数学 12.3 角的平分线的性质（第1课时） 优质课 件
科 目：数学
适用版本：新人教版
适用范围：【教师教学】
人教版 数学(shùxué) 八年级 上册
12.3 角的平分线的性质(xìngzhì)
（第1课时）
第一页，共二十八页。
导入新知
下图是一个(yī ɡè)平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC.将点A
巩固(gǒnggù)练习
如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，OD⊥AB于点D，OE⊥AC
于点E，则OD与OE的大小(dàxiǎo)关系是( )
B
A. OD>OE
B．OD＝OE
C. OD<OE
D．不能确定
第十四页，共二十八页。
探究新知
素养考点 1 角平分线的性质的应用
例1已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，
∴ BD CD=
，
( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离(jùlí)相等)
B
B
× 缺少“垂直 距离”这一 条件
A
D A
C
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
D C
∴ BD = CD ，
(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离(jùlí)相等 )
缺少“角平 分线”这一
× 条件
第十三页，共二十八页。
作角平分线是最基
本(jīběn)的尺规作图，大 家一定要掌握噢!
第七页，共二十八页。
探究新知
已知：平角(píngjiǎo)∠AOB. 求作：平角∠AOB的角平分线.
C
B
O
A
结论(jiélùn)：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条
直线的垂线的方法.
第八页，共二十八页。
探究新知
知识点 2 角平分线的性质
（3）垂直距离.
定理(dìnglǐ)的作证明线段相等. 用应用：格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
PD⊥OA， PE⊥OB，
∴PD = PE
第十二页，共二十八页。
A D
C P
E B
推理的理由有三个，必须 写完全，不能少了任何一
个.
探究新知
判一判：（1）∵ 如下(rúxià)左图，AD平分∠BAC（已知），
仔细观察步骤(bùzhòu)
A M
C
半径小于
1 2
MN或等于
1 2
MN，可以
吗？
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，
交OA于点M，交OB于点N.
B
（2）分别以点M，N为圆心，大于
N
O
MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB
的内1 部相交(xiāngjiāo)于点C. （3）2 画射线OC.射线OC即为所求.
A
其依据是SSS，两全(liǎnɡ quán)等三角形的
对应角相等.
D
B
C (E)
第五页，共二十八页。
探究新知
【思考】如果没有(méi yǒu)此仪器，我们用数学作图工具，能实现
该仪器的功能吗？ 做一做请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明(shuōmíng)
作图方法与仪器的关系.
提示
(1)已知什么？求作什么？
(fāngfǎ)得到木板、钢板的角平分线吗？
第三页，共二十八页。
探究新知
第四页，共二十八页。
探究新知
问题(wèn如tí)3图：，是一个角平分仪，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在 角的顶点，AB和AD沿着(yán zhe)角的两边放下，沿AC画一条射 线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?
A
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶
点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样
(zěnyàng)在作图中体现这个过程呢?
(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体
B 现这个过程呢？
O
(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
第六页，共二十八页。
探究新知
已知: ∠AOB. 求作：∠AOB的平分线.
∴ EB=FC.
第十五页，共二十八页。
巩固练习
如图，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB边上取OA＝OB，PM⊥BD， PN⊥AD，垂足(chuízú)分别为M，N.求证：PM＝PN.
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意(rènyì)一点.
1. 操作(cāozuò)测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作
PD⊥OA，PE⊥OB ，点D,E为垂足，测量PD,PE的长.将三次数
据填入下表：
A
D
C
PD PE
第一次
p
第二次
O
E
B
第三次
2. 观察测量结果，猜想(cāixiǎng)线段PD与PE的大小关系，写出 猜结想果：：角__的_P_平D__分=_P_线_E_上的点到角的两边的距离相等.
DE⊥AB，DF⊥AC.垂足(chuízú)分别为E，F.
求证：EB=FC. A
证明(zhèngmíng)： ∵AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE=DF， ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
E B
D
F C
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
O
OP=ห้องสมุดไป่ตู้OP，
∴ △PDO ≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
第十页，共二十八页。
A
D C
P
E
B
探究新知
归纳总结
一般情况下，我们要证明(zhèngmíng)一个几何命题时，可以按照 类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
第九页，共二十八页。
探究新知
验证猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离(jùlí)相等.
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足 (chuí zú)分别为D，E.求证：PD=PE.
证明(zh∵èngmPínDg)⊥：OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边放下，沿AC画一条射线 AE，AE 就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗？
A
D
B
第二页，共二十八页。
C E
探究新知
知识点 1 角平分线的画法
问题1：在纸上画一个角，你能得到(dédào)这个角的平分线吗？
用量角器度量，也可用折纸(zhézhǐ)的方法．
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示(biǎoshì)已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
第十一页，共二十八页。
探究新知
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离(jùlí)相等.
应用(yìngyòng)所具备的 （条1）件角：的平分线；
（2）点在该平分线上；
新人教版八年级上册初中数学 12.3 角的平分线的性质（第1课时） 优质课 件
科 目：数学
适用版本：新人教版
适用范围：【教师教学】
人教版 数学(shùxué) 八年级 上册
12.3 角的平分线的性质(xìngzhì)
（第1课时）
第一页，共二十八页。
导入新知
下图是一个(yī ɡè)平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC.将点A
巩固(gǒnggù)练习
如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，OD⊥AB于点D，OE⊥AC
于点E，则OD与OE的大小(dàxiǎo)关系是( )
B
A. OD>OE
B．OD＝OE
C. OD<OE
D．不能确定
第十四页，共二十八页。
探究新知
素养考点 1 角平分线的性质的应用
例1已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，
∴ BD CD=
，
( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离(jùlí)相等)
B
B
× 缺少“垂直 距离”这一 条件
A
D A
C
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
D C
∴ BD = CD ，
(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离(jùlí)相等 )
缺少“角平 分线”这一
× 条件
第十三页，共二十八页。
作角平分线是最基
本(jīběn)的尺规作图，大 家一定要掌握噢!
第七页，共二十八页。
探究新知
已知：平角(píngjiǎo)∠AOB. 求作：平角∠AOB的角平分线.
C
B
O
A
结论(jiélùn)：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条
直线的垂线的方法.
第八页，共二十八页。
探究新知
知识点 2 角平分线的性质