高三数学一轮复习导学案《等差数列及其性质应用》

高三数学一轮复习导学案《等差数列及其性质应用》
1．(教材习题改编)等差数列a n 的前n 项和为S ，若a 2
1,a 3 3,则 s 4 (
n
)． 【学习目标】
A ．12
B ．10
C ．8
D ．6
1.通过课前预习，学生理解等差数列的概念，了解等差数列与一次函数的关系． 2．已知a n 为等差数列，a 2 a 8 12,则a 5等于( )． 2．通过课堂探究，熟练掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式及其性质． 3．通过课堂探究，使学生能用有关知识解决相应的问题．
【重、难点】
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
3．设数列a n 是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6
2且S 5 30,则s 8等于(
)． 1.等差数列的判断与证明;
2.等差数列的通项公式与前n 项和公式; 3、等差数列的性质及应用．
A ．31
B ．32
C ．33
D ．34
4．(2012·杭州质检)设S n 是等差数列a n
的前n 项和，已知a 2 3,a 6 11,则S 7等于( )．
课前预习
一、【知识回顾】
A ．13
B ．35
C ．49
D ．63
1．等差数列的概念与公式 5．在等差数列
a n 中，a 3
7,a 5 a 2 6,则a 6 _________.
等差数列{a n }的有关概念及公式
相关名词 高考展示与预测
从近两年的高考试题来看，等差数列的判定，等差数列的通项公式、前n 项和公式以及与前n
项和有关的最值问题等是高考的热点，题型既有选择题、填空题又有解答题，主要考查对概念的理 解及性质的灵活运用，考查基本运算能力，注重考查函数方程、等价转化、分类讨论等思想方法． 【预测2013年高考会这样考】重点考查运算能力与逻辑推理能力。

a n 1－ a n a n ＝
＝ 或 a n
a n
1
(n
2)
定义 通项公式
前n 项和公式 s n ＝ ＝
等差中项 数列 a, A, b 成等差数列的充要条件是 ，其中 A 叫做 a, b 的
．
1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题． 2.等差数列的性质 2．考查等差数列的性质及综合应用．
【2012高考山东文20】已知等差数列{a n }的前5项和为105，且 a 10
2a 5.
①a n 为等差数列，则a m =a n ＋
.
(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；
②
a
为等差数列，若m,n, p,q N
n
*
，且m
n p q ，则 .
(Ⅱ)对任意 m N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和 S m . 5a 1 10d 105,
③
a n 为等差数列，则s n ，s 2n s n ，s 3n s 2n ，…仍为等差数列，公差为 .
【答案】(I)由已知得：
解得 a 1 7,d 7,
a 1 9d 2(a 1 4d),
二、【回扣课本】
所以通项公式为 a n 7 (n 1)7 7n .
1、-401是不是等差数列-5，-9，-13，……的项？如果是，是第几项？（43页例1）
2、已知数列
a n 的通项公式为a n pn q ,其中 p,q 为常数，且 p 0,那么这个数列一定是等差 数列吗?（44页例3） (II)由 a n
7n
72m ，得 n
72m 1，即b m 72m 1 .
∵ b k
1
7 2 m
1
4 9，
b k 7
2 m 1
3、已知一个等差数列a n
前10项的和是310，前20项的和是1220，有这些条件能确定这个等差数
∴{b m }是公比为49的等比数列， 列吗?（50页例2）
m
7(1 49 ) 7 (49 ∴ S
m 1). （课本原型52页习题1（3））
2 4
m
1 49 48
4、已知等差数列5,4 ,3 ,…的前n 项和为s n ，求使得 s n 最大的序号n 的值（51页例4）
7 7
【2012高考重庆文16】已知 {a n }为等差数列，且a 1 a 3 8,a 2 a 4 12,（Ⅰ）求数列{a n }的通
三、【双基自测】
项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1,a k ,S k
2成等比数列，求正整数
k 的值。

则其通项公式为a n ＝________.
课堂探 究 方法总结：
式子
结论 通项公式
判断或证明数列
a n
为等差数列，常见的方法有四种方法：
a n
是等差数列
a n + 1
a n
2
a n a 1
(n
1)
2
考点一： 等差数 列的判 断与证 明
1．利用定义： 1 1
1
a n
1
a n
2．利用等差中项： 3．利用通项公式： a n
a 1 (n 1)d dn (a 1 d )，d 为公差．当 d ≠0时，数列a n
的通
项公式是关于 n 的一次函数；d ＝0时为常数数列，也是等差数列； ( a n ) 2
( a n 1
) 2
2
【 例 a n
1 n a n 2
n
3
1】．完成 下表
4．利用前n 项和公式：s n
na 1
n(n
1)d
d n (a 1 d)n ，当 d ≠0时，数列的前 n 项和s n 为关
2
1
2
2
2
2
a n
1
2n
1
(a n 2
n )
2
于 n 的二次函数且不含常数项，若 d ＝0，则此数列为常数数列。

.
a n 1
a n n
考点二：等差数列的基本运算
【例3】►(2011·福建)在等差数列a n 中，a 1 1,a 3 3.
(1)求数列
a n
的通项公式；(2)若数列
a n 的前k 项和 s k
35，求k 的值
方法总结：
a n
等差数列的通项公式 a n a 1 (n 1)d 及前n 项和公式 s n n(a 1 a n ) na n(n 1)d,共涉 【例2】．在数列
a n 中，a 1 1, a n 1 2a n
2
n
.
设b n ， 2n 1
2 1
2
证明：数列{b n }是等差数列．
及五个量a 1,a n ,d,n,s n , (a 1和d 是等差数列的两个基本量）知其中三个就能求另外两个，体现了用 方程思想解决问题的方法．
考点三：等差数列的性质
【例4】►设等差数列的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，S n ＝324，最后6项的和为180(n ＞6)，
求数列的项数n.
【练习1】．(2012.银川模拟)数列
a n 中，a 1
2,，a 2 1, 2
1
1 (n≥2，n∈N)，
*
a a n 1 a n 1 n
方法总结：
求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：
【练习2】(1)在等差数列
a n 中，a 10 100,a 100 10,则a 110
_____________ (1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．
(2)利用等差数列的前n 项和s n 为二次函数，根据二次函数的性质求最值．
(2)(2011·重庆高考)在等差数列
a n 中，a 3
a 7
37，则a 2
a 4
a 6
a 8
________. S 3n 1，求
a
8的值．
b 8
(3)等差数列
a n
、
b n
的前n 项和分别为S n ,T n ，且 n
巩固练习
T n 2n
3
1．若a n 是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的个数有( ) (4)已知等差数列
a n
的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________.
①
a n
3
②
a n2③
a n
1
a n
④
2a n
⑤
2a n
n
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
方法总结：
2.【2012高考真题辽宁理6】在等差数列a n 中，已知a 4 a 8 16,则该数列前11项和S 11=
1．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形， 熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．
2．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项数之间的关系．
(A)58 (B)88
(C)143 (D)176
3.在等差数列
a n 中，a 3a 7 16,a 4 a 6 0，求a n 的前n 项和
s n .
3.性质②
a
为等差数列，若m,n, p,q N n
*
，且m n p q ，则a m a n a p
a q 往
往
与公式 S ＝n a 1＋ a n 结合应用。

n 2
考点四:等差数列前n 项和的最值 【例5】在等差数列a n 中，已知a 1
20,前n 项和为 s n ，且s 10 s 15，求当n 取何值时，s n 取得
最大值，并求出它的最大值．
4.设等差数列
a n 满足a 3 5,a 10
9.
(1)求a n 的通项公式；
(2)求
a n
的前n 项和s n 及使得s n 最大的序号n 的值．
**选作5.设等差数列a n满足a3 5,a10 9.设b n a n，数列b n的前n项和为T n (1)求数列{a n}的通项公式；(2)求T4和T9；（3）求T n．。