2007年北京市中学生数学竞赛_高一试卷及解析

2007年北京市中学生数学竞赛_高一试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题
1.已知f(x)是定义R上的奇函数，则f(sinπ2)+f(sinπ)+f(sin3π2)=（）.
A. -0.5
B. 0
C. 0.5
D. 1
2.函数y=|k1x+b1|+|k2x+b2|−|k3x+b3|（其中，k1、k2、k3为正常数，b1、b2、b3均为非0常数）的图像可能是图中的（）.
A. B. C. D.
3.若O是锐角△ABC内一点，满足|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2=|OC|2+|AB|2.则点O是△ABC的（）.
A. 垂心
B. 内心
C. 重心
D. 外心
4.若f(x)=(k−1)x2+2kx+2007是R上的偶函数，则在(−∞,2007)上f(x)（）.
A. 是增函数
B. 是减函数
C. 先减后增
D. 先增后减
5.在△ABC中，如果abcosC+bccosA+cacosB=c2.其中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则△ABC的面积是( )
A. 12ab
B. 12bc
C. 12ca
D. 12(a2+b2+c2)
第II卷（非选择题）
二、解答题
6.已知一次函数f(x)=ax+b对任意的x、y∈[0,1]都满足|f(x)+f(y)−xy|≤14.试确定这样的f(x).
7.如图,圆内接四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线交于点P，另一组对边AD、BC
的延长线交于点Q，自P、Q分别作该圆的切线PE、QF其中，E、F是切点，联结PQ.求证：以线段PE、QF、PQ为边构成的三角形是直角三角形.
8.已知实数序列x0,x1,x2,⋯,x n,⋯的构成规律由递推关系x0=5，x n=x n−1+
1
(n=1,2,⋯)给出.求证：45<x1000<45.1.
x n−1
三、填空题
9.已知，，c>1.则log a b+2log b c+4log c a的最小值是_______.
10.如图，MN是半圆⊙O的直径，A是半圆的一个三等分点，B是AN的中点，P是直径MN上的点.若AP+PB的最小值为2√2cm，则半圆⊙O的面积是_______cm2.
11.—个等差数列的首项为非0实数a，且对每个正整数n，数列的前n项和都等于an2.则这个数列的公差为_________.
12.将一副学生用三角板拼成如图所示的四边形ABCD，其中∠CBD=∠CDB=45°，
∠BAD=2∠BDA=60°，设对角线CA与边CB所成的角为θ.则tanθ=_______.
13.在一张平面上画了2007条互不重合的直线l1,l2,⋯,l2007，始终遵循垂直、平行交替的规则进行(l2⊥l1,l3∥l2,l4⊥l3,l5∥l4,⋯).这2007条互不重合的直线共有
_____________个交点.
参考答案
1.B
【解析】1. 由题意可得原式=f (1)+f (0)+f (−1)=0.
故选：B. 2.C
【解析】2. 由题意可得，当x
→+∞时，
f (x )=(k 1x +b 1)+(k 2x +b 2)−(k 3x +b 3) =(k 1+k 2−k 3)x +(b 1+b 2−b 3)，
当x
→−∞时，
f (x )=−(k 1x +b 1)−(k 2x +b 2)+(k 3x +b 3) =−(k 1+k 2−k 3)x −(b 1+b 2−b 3)，
这两段函数的解析式斜率互为相反数，结合所给的选项，只有C 选项符合题意. 故选：C. 3.A
【解析】3.
由题意可得：BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ， 结合题意有：(OA
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )2
+(OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )2=(OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )2+(OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OC
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )2
, 整理可得：OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )=0，即OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,∴OC ⊥AB , 同理可得OA ⊥BC,OB ⊥AC ，即点O 是△ABC 的垂心.
故选：A. 4.D
【解析】4.
函数为偶函数，则f (−x )
=f (x )，
即(k −1)×(−x )2+2k ×(−x )+2007=(k −1)x 2+2kx +2007， 据此可得：k
=0，函数的解析式为：f (x )=−x 2+2007，
则在(−∞,2007)上f (x )先增后减.
故选：D. 5.A
【解析】5.
由题意结合余弦定理有：
ab ⋅cosC +bc ⋅cosA +ca ⋅cosB
=ab ⋅a 2+b 2−c 22ab +bc ⋅b 2+c 2−a 22bc +ca ⋅a 2+c 2−b 2
2ac
=a 2+b 2−c 22+b 2−c 2−a 22+a 2+c 2−b 22
=
a 2+
b 2+
c 2
2
=c 2.
∴a 2+b 2=c 2.
则△ABC 为直角三角形，且C =π2
.
综上所述△ABC 面积为1
2ab. 故选：A. 6.答案见解析
【解析】6. 对一次函数f (x )
=ax +b ，设
F (x,y )=ax +b +ay +b −xy .
据已知有F (0,0)
=2b ≥−14
，即
b ≥−1
8
.①
F (0,1)=a +2b ≤1
4
.②
又F (1,1)=2a +2b −1≥−1
4
，即
a +
b ≥38
.③
②-③得a
+2b −(a +b )≤14
−38
=−18
⇒b ≤−1
8
.
结合式①得b =−1
8
.
将b
=−18
代入式②、③，分别得a ≤12
，a ≥12
⇒a =12
.
故所求的一次函数为f (x )
=1
2
x −1
8
.
当f (x )
=12
x −18
时，F (x,y )=|12
(x +y )−14
−xy|=|x −12
|⋅|1
2
−y|≤
12
×12
=14
对任意的x 、y ∈[0,1]都成立.
7.见解析
【解析】7.
只须证明：PQ 2
=PE 2+PF 2即可.
如图，过Q 、D 、C 三点作辅助圆交PQ 于点G ，联结CG. 因为D 、C 、G 、Q 四点共圆，所以，
∠PGC =∠QDC =∠ABC .
故P 、G 、C 、B 四点共圆. 则QF 2=QC ⋅QB =QG ⋅QP . 又PE 2
=PC ⋅PD =PG ⋅PQ ，相加得
PE 2+PF 2=PG ⋅PQ +QG ⋅QP =PQ (PG +GQ )=PQ 2
因此，根据勾股定理的逆定理得，以线段PE 、QF 、PQ 为边构成的三角形是直角三角形. 8.见解析
【解析】8.
不难看出，数列的各项都是正数且是递增的，即
x 0<x 1<x 2<⋯<x n <⋯.
而x n
2=(x n−1+1
x n−1
)2
=x n−12+1
x n−1
2+2，
x n−12=(x n−2+1
x n−2
)2
=x n−22+1x n−2
2
+2， x n−2
2=(x n−3+1
x
n−3
)
2
=x n−32+1x n−3
2+2，
……
x 22=(x 1+1x 1)
2
=x 12+1
x 1
2+2，
x 1
2=
(x 0+1
x 0
)
2=x 02+1x 0
2+2.
上述n 个式子相加得
x n 2=1x n−1
2+1x n−2
2+1x n−3
2+⋯+1x 1
2+1x 0
2+x 02
+2n .①
当n=1000时，由式①得
x 10002>x 02+2×1000=52
+2000=2025.
故x 1000>45.
又当n =100时，由式①得
x 10002>x 02+2×100=225=152
.
则x 10002=
1x 999
2+1x 998
2+1x 997
2+1x 996
2+⋯+1x 1
2+1
x
2+ x 02+2×1000 <1x 1000
2+1x 100
2+⋯+1x 100
2+1x 0
2+1x 0
2+⋯+1
x 0
2+2500
900个 100个
≤
90015
2
+10052
+2025=4+4+2025
<452+9<452+2×45×0.1+0.12 =(45+0.1)2=45.12.
故x 1000<45.1.
综上，45<x 1000<45.1.
9.6
【解析】9. 由题意可得：lga >0,lgb >0,lgc >0，且： 原式=
lgb lga
+2
lgc lgb
+4
lga lgc ≥3√
lgb
lga
×2
lgc lgb
×4
lga lgc
3=6，
当且仅当lgb lga =2lgc
lgb =4lga
lgc 时等号成立. 10.2π
【解析】10.
建立如图所示的直角坐标系，设点B关于直线MN的对称点为B′，由对称性易知AB′的长度为AP+PB的最小值，
设圆的半径为R，易知A(1
2
R,√3
2
R),B′(√3
2
R,−1
2
R)，
则|AB′|=√2R=2√2,∴R=2，
据此可得半圆的面积S=1
2
×π×22=2π cm2.
11.2a
【解析】11.
由题意可得：a2=S2−S1=3a，则数列的公差d=a2−a1=2a.
12.√3−1
2
【解析】12.
建立如图所示的平面直角坐标系，设OC=m，则C(0,m),A(−m,
√3
)，
由斜率公式可得：K AC=m+2m
√3
m
=1
√3
，
设直线AC的倾斜角为α，易知：
tanθ=tan(α−45∘)=tanα−tan45∘
1+tanαtan45∘=√3−1
2
.
13.1007012
【解析】13.
由题意易知所绘制的直线中，与直线l1平行的直线有1004条，与直线l2平行的直线有1003条，
则这2007条互不重合的直线共有1004×1003=1007012个交点.。