D1经济函数

单位售价8元. 求：
(1) 总成本函数;
(2) 单位成本函数;
(3) 销售收入函数; (4) 利润函数.
解 (1) C( x) 4x 1000
(2) C( x) 1000 4 x
(3) R( x) 8x
(4) L( x) R( x) C( x) 4x 1000
例5 某工厂在一年内分若干批生产某种车床, 年产量为a 台, 每批生准备费 b 元, 设产品均匀投入市场(即平均库存量为批 量的一半), 每年每台库存费为 c 元, 显然, 生产批量大则库存 费高; 生产批量小则批数增多; 因而生产准备费高. 试求出一 年中库存费与生产准备费之和与批量的函数关系.
Qd 17000 100 p, p (70,170]
2.供给函数
生产者对商品的生产是由多方面因素所决定的, 其中价格 是最主要的因素; 一般地, 价格越高,就越要加大供应, 因此 供给量Qs 是价格 p 的单增函数, 最简单的供给函数是如下 形式的线性供给函数.
Qs g( p) cp d (c、d 均为正常数)
例3 某型号手机价格为每只1000元时能卖出15只, 当价格 为每只800元时, 能卖出20只. 已知手机的价格高低与其需求 量多少是线性关系, 试建立该型号手机的需求量与价格之间的 函数关系.
解 价格 x 元/只, 需求量 y 只, 则
y 1 x 40, x (0,1600] 40
例4 工厂生产某种产品, 生产准备费1000元, 可变资本4元,
3. 利润函数
总利润是总收入 R(x) 与总成本 C(x) 之差. 设 x 是销量, 总 成本为 C(x), 销售收入为 R(x). 则利润为
L( x) R( x) C( x)
4. 建立函数关系举例
运用数学来解决实际问题, 首先要把问题中的数量关系用 数学表达式表示出来, 也就是建立数学模型. 为此必须明确 问题中的常量和变量, 变量中的自变量和因变量, 以及它们 之间存在什么关系, 以确定函数关系, 根据实际问题的要求 指出定义域.
已知该矿距冶炼厂所在铁路垂直距离为 a 公里,它的垂足C 到
B的距离为 b公里. 又知铁路运价为 m 元/吨·公里, 公路运价是
n元/吨·公里(m < n), 为节省运费,拟在铁路上另修一小站M 作
为转运站, 那么总运费的多少决定于M的位置. 试求出运费与
距离 |CM| 的函数关系.
B
b
解 设距离 |CM| ＝ x , 运费为 y, 则
一.需求函数与供给函数
1. 需求函数
商品的需求量Qd , 受消费者的偏好收入及商品价格等因素的 影响. 但最主要的是价格因素; 若不考其它因素, 把需求量 Qd 只看成价格 p 的函数, 即
Qd f ( p)
则称此函数为需求函数. 需求函数 Qd f ( p)一般是p的递减函数. 最常见、最简单的 需求函数是如下形式的线性需求函数.
因此, 市场上商品价格的调节, 就是按照需求律与供给律来 实现的, 即如果需求量大于供给量则价格会上涨, 反之价格会 降低. 即市场上商品的价格总是围绕均衡价格上下浮动.
二.成本函数、收益函数、利润函数
1.成本函数
某商品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资 源的价格或费用总额.
它由固定资本(生产准备费, 用于维修、添制设备等)b 元和 可变资本 (每单位产品消耗原材料、劳力等费用) a 元则生产 x 件产品的总成本为
t
A
0(1
r) m
mt
此函数即可看成期数 t 的函数, 也可看成结算次数 m的函数.
现实生活中一些事物的生长 (r > 0) 和衰减 (r < 0)就遵寻这 种规律, 而且是立即产生立即结算. 例如细胞的繁殖、树木 生长、物体冷却、放射性元素的衰减等.
解 设批量为 x 台, 库存费与生产准备费之和为 p(x) , 则 全年的生产准备费为 (a/x) ∙ b, 库存费为 (x/2) ∙ c, 故
p( x) ab cx , x (0, a]其中 a/x 为批数, x/2 为库存量. x2
例6 某矿厂A要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂B冶炼.
Qd f ( p) ap b (a、b均为正常数)
这个函数的几何形态, 是一条反应需求量与价格关系的曲 线, 我们称之为需求曲线, 如右图.
Qd
b
o
b a
p
特别地, 当价格 p = 0时, 需求量 Qd = b , 它表示人们的需要
是有限的. b/a 为最大销售价格, 此时需求量为零.
当然价格 p 也可表示成需求量 Qd 的函数 p g(Qd )
解
0.15x,
0 x 50
y 50 0.15 (x 50) 0.25, 50 x
例8 (复利息问题)设银行将数量为 A0 的款贷出, 每期利率
为 r. 若一期结算一次, 则 t 期后连本带利可收回
A 0(1 r )t
若每期结算 m 次, 则 t 期后连本带利可收回
A
0[(1
r )m ] m
M
AM x2 a2
A
a xC
y n x2 a2 m (b x), x [0, b]
例7 火车站收取行李费规定如下: 当行李不超过50千克时,
按基本运费计算, 如从上海到某地收 0.15 元/千克, 当超过50
千克时超重部分按0.25元/千克收费. 试求上海到该地的行李费
y (元)与重量 x (千克)之间的函数关系式.
称做价格函数.
例1 某产品销售70元/件, 可买出10000件, 价格每增加3元
就少买300件, 求需求量 Qd 与价格 p 的函数.
解 设价格由70元增加 k个3元, 则
p 70 3k , Qd 10000 300k
从而
k 100 3
由 k 1 ( p 70), 得 p 170. 故 3
C( x) ax b
每件产品的成本(称为单位成本或平均成本)为 C(x) C(x) x
2.总收益函数 (销售收入函数)
收益是厂商出售产品的收入, 总种产品的销售量为x, 价格为 p, 则销售收入
函数为
R p x
而价格 p 又可表为 x 的函数, 所以销售收入函数可看成 x 的 函数 R(x).
反应供给量与价格关系的曲线, 我们称之为供给曲线. 如下图.
供给曲线图
Q
o
d
p
c
–d
显然只有价格不低于 d/c 时, 才有供给量Qs , 因为厂商都不 愿作亏本生意.
例2 某商品当价格为50元时, 有50单位投放市场, 当价格为 75元时, 有100单位投放市场, 求供给 Qs 与价格p的供给函数
(假设是线性函数). 解 设 Qs g( p) cp d , 则 Qs 2 p 50
3. 均衡价格与均衡数量 均衡价格就是使一种商品的市场需求量Qd 与供给量Qs相等 时的价格; 即均衡价格就是使 f(p) = g(p) 时的价格, 记为p*.
此时的市场处于均衡状态.当市场价格 p 高于均衡价格 p* 时, 则供给量Qs将增加, 需求量 Qd 将相应地减少; 反之当市场价格 p 低于均衡价格 p*时,则供给量Qs 将减少,而需求量 Qd 将增加.