人教版高数必修五第4讲：等差数列的概念、性质(教师版)

等差数列的概念、性质
教学重点： 掌握等差数列的概念、通项公式及性质；求等差中项，判断等差数列及与函数的关系； 教学难点： 通项公式的求解及等差数列的判定。

1. 等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 来表示。

用递推关系系表示为()1n n a a d n N ++-=∈或()12,n n a a d n n N -+-=≥∈ 2. 等差数列的通项公式
若{}n a 为等差数列，首项为1a ，公差为d ，则()11n a a n d =+- 3. 等差中项
如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项 4. 通项公式的变形
对任意的,p q N +∈，在等差数列中，有：
()11p a a p d =+-
()11q a a q d =+- 两式相减，得()p q a a p q d =+- 其中,p q 的关系可以为
,,p q p q p q <>=
5. 等差数列与函数的关系
由等差数列的通项公式()11n a a n d =+-可得()1n a dn a d =+-，这里1,a d 是常数，n 是自变量，n a 是n 的函数，如果设1,,d a a d b =-=则n a an b =+与函数y ax b =+对比，点(),n n a 在函数y ax b =+的图像上。

6. 等差数列的性质及应用
（1）12132...n n n a a a a a a --+=+=+=
（2）若2,m n p q w +=+=则2m n p q w a a a a a +=+=（,,,,m n p q w 都是正整数） （3）若,,m p n 成等差数列，则,,m p n a a a 也成等差数列（,,m n p 都是正整数）
（4）()n m a a n m d =+-（,m n 都是正整数）
（5）若数列{}n a 成等差数列，则(),n a pn q p q R =+∈
（6）若数列{}n a 成等差数列，则数列{}n a b λ+（,b λ为常数）仍为等差数列 （7）若{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}n n a b ±也是等差数列
类型一： 等差数列的判定、项及公差的求解、通项公式的求解
例1.（2015河北唐山月考）数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2015,n a = 则n = A.672 B.673 C.662 D.663 解析：由题意得()()1111334,n a a n d n n =+-=-+-⨯=-令2015n a =，解得673n = 答案：B
练习1. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2003,n a = 则n = A.669 B.673 C.662 D.663 答案：A
练习2. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2000,n a = 则n = A.669 B.668 C.662 D.663 答案：B
例2.（2015山西太原段考）一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数，则其公差d 为（）
A.-2
B.-3
C.-4
D.-6 解析：由题意知670,0a a ≥<
所以有
115235062360
a d d a d d +=+≥+=+<解得
2323
,456
d d Z d -
≤<-∈∴=- 答案：C
练习3. 一个首项为23、公差为整数的等差数列从第6项开始为负数，则其公差d 为（） A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 答案：D
练习4.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 答案：B
例3.（2014浙江绍兴一中期中）已知数列{}n a 满足111
1,1,4n n
a a a +==-
其中n N +∈设
221
n n b a =
-
（1） 求证：数列{}n b 是等差数列 （2） 求数列{}n a 的通项公式 解析：（1）114422
2
2
22121
212121
n n n n n n n n n a a b b a a a a a ++--=-
=
-==----- 所以数列{}n b 是等差数
列
（2）
()11112
1,21221
2
1
2,212n n n a b b b n d n a n n a a n
=∴=
=∴=+-=-+∴==-
答案：（1）略 （2）1
2n n a n
+=
练习5.已知数列{}n a 满足()1114,21n n n a a a n a --==≥+令1
n n
b a =
（1） 求证：数列{}n b 是等差数列
（2） 求数列{}n b 与{}n a 的通项公式 答案：（1）数列{}n b 是公差为1的等差数列 （2）443n a n =
- ，3
4
n b n =- 练习6.在等差数列{}n a 中，已知581,2,a a =-= 求1,a d 答案：15,1a d =-=
例4.已知数列8,,2,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________ 解析：a 为8与2的等差中项，得82
52
a +== ；2为,a
b 的等差中项得1b =-；由b 为2与
c 的等差数列，得4c =- 答案：5，-1，-4
练习7. 已知数列8,,2,,a b 是等差数列，则,a b 的值分别为____________ 答案：5，-1
练习8. 已知数列2,,8,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________
答案：5，11,14
类型二：等差数列的性质及与函数的关系
例5.等差数列{}n a 中，已知100110142015a a +=，则12014a a +=（）
A.2014
B.2015
C.2013
D.2016
解析：1001101412014+=+，且{}n a 为等差数列，12014100110142015a a a a ∴+=+=故选B 答案：B
练习9.在等差数列{}n a 中，若4681012120,a a a a a ++++=则10122a a -的值为 （） A.24 B.22 C.20 D.18 答案：A
练习10.（2015山东青岛检测）已知等差数列{}n a 中，1007100812015,1,a a a +==-则2014a = _____ 答案：2016
例6.已知数列{}n a 中，220132013,2a a ==且n a 是n 的一次函数，则 2015a =________ 解析：
n a 是 n 的一次函数，所以设()0n a kn b k =+≠代入22013,a a 解得
20151,20152015201520150n k b a n a =-=∴=-+∴=-+=
答案：0
练习11.若,,a b c 成等差数列，则二次函数()2
2f x ax bx c =-+的零点个数为（）
A.0
B.1
C.2
D.1或2 答案：D
练习12.已知无穷等差数列{}n a 中，首项13,a = 公差5d =-，依次取出序号被4除余3的项组成数列{}n b （1） 求1b 和2b （2） 求{}n b 的通项公式 （3）
{}n b 中的第503项是{}n a 的第几项
答案：数列{}n b 是数列{}n a 的一个子集列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{}n a 是等差数列，所以{}n b 也是等差数列 （1）
()()13,5,31585n a d a n n ==∴=+--=- 数列{}n a 中序号被4除余3的项是{}n a 中的
第3项，第7项，第11项，…13277,27b a b a ∴==-==-
（2）设{}n a 中的第m 项是{}n b 的第n 项即n m
b a =()()413414185411320n m n m n n b a a n n -=+-=-∴===--=- 则1320n b n =-
（3）503132*********b =-⨯=- ，设它是{}n a 中的第m 项，则1004785m -=-，则2011m =，即{}n b 中的第503项是{}n a 中的第2011项
1. 在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为( )
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10 答案：A
2. 在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101的值为( )
A ．49
B ．50
C ．51
D ．52 答案：D
3. 如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )
A ．14
B ．21
C ．28
D ．35 答案：C
4. 已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 100<0 C ．a 3＋a 100≤0 D ．a 51＝0
答案：D
5. 等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为( ) A ．30 B ．27 C ．24 D ．21 答案：B
6. 等差数列{a n }中，a 5＝33，a 45＝153，则201是该数列的第( )项( ) A ．60 B ．61 C ．62 D ．63 答案： B
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基础巩固
1. 在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝( )
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14 答案：C
2. 若数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＝45，a 2＋a 5＝39，则a 3＋a 6＝( )
A ．24
B ．27
C ．30
D ．33 答案：D
3. 已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12等于( )
A ．15
B ．30
C ．31
D ．64 答案：A
4. 等差数列中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝420，则a 2＋a 10等于( )
A ．100
B ．120
C ．140
D ．160 答案：B 5. 已知a ＝
13＋2，b ＝1
3－2
，则a ，b 的等差中项为( ) A.3 B.2 C.13 D.1
2
答案：A
6. 在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 答案： 74
7. 等差数列{a n }中，公差为1
2，且a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝60，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝_______.
答案： 85
8. 在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－1
3a 11的值为( )
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17 答案：C
9. 在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6＝________. 答案：42
10. 等差数列{a n }的前三项依次为x,2x ＋1,4x ＋2，则它的第5项为__________． 答案：4
11. 已知等差数列6,3,0，…，试求此数列的第100项． 答案：设此数列为{a n }，则首项a 1＝6，公差d ＝3－6＝－3，
∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝6－3(n －1)＝－3n ＋9. ∴a 100＝－3×100＋9＝－291.
能力提升
12. 等差数列的首项为1
25，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( )
A ．d >875
B ．d <325 C.875<d <325 D.875<d ≤3
25
答案：D
13. 设等差数列{a n }中，已知a 1＝1
3
，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 是( )
A ．48
B ．49
C ．50
D ．51 答案：C
14. 已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列{1
a n ＋1}是等差数列，则a 11等于( )
A ．0 B.12 C.2
3 D ．－1
答案：B
15. 若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1、d 2，则d 1
d 2等于( )
A.32
B.23
C.43
D.34 答案：C
16. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案：6766
17. 等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根 B ．有两个相等实根 C ．有两个不等实根 D ．不能确定有无实根
答案：A
18. 在a 和b 之间插入n 个数构成一个等差数列，则其公差为( ) A.b －a n B.a －b n ＋1 C.b －a n ＋1 D.b －a n －1
答案：C
19. 在等差数列{a n }中，已知a m ＋n ＝A ，a m －n ＝B ，，则a m ＝__________. 答案：1
2
(A ＋B )
20．三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，则这三个数为__________． 答案：4,6,8
21. 在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 答案：20
22. 已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝11，a 2＝8.
(1)求a 13的值；
(2)判断－101是不是数列中的项； (3)从第几项开始出现负数？ (4)在区间(－31,0)中有几项？
答案：(1)由题意知a 1＝11，d ＝a 2－a 1＝8－11＝－3，
∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14. ∴a 13＝－3×13＋14＝－25.
(2)设－101＝a n ，则－101＝－3n ＋14， ∴3n ＝115，n ＝1153＝381
3∉N ＋.
∴－101不是数列{a n }中的项．
(3)设从第n 项开始出现负数，即a n <0， ∴－3n ＋14<0，∴n >143＝42
3.
∵n ∈N ＋，∴n ≥5， 即从第5 项开始出现负数． (4)设a n ∈(－31,0)，即－31<a n <0， ∴－31<－3n ＋14<0， ∴42
3<n <15，∴n ∈N ＋， ∴n ＝5,6,7，…，14，共10项.
23. 已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 答案：设首项为a 1，公差为d ，
由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(15－1)d ＝33a 1＋(61－1)d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝－23
d ＝4
，
∴a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，
令a n ＝153，即4n －27＝153，得n ＝45∈N *， ∴153是所给数列的第45项． 24. 已知函数f (x )＝
3x
x ＋3
，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N *)确定． (1)求证：{1
x n }是等差数列；
(2)当x 1＝1
2
时，求x 100的值．
答案：(1)∵x n ＝f (x n －1)＝3x n －1
x n －1＋3
(n ≥2，n ∈N *)，
∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， ∴1x n －1x n －1＝13
(n ≥2，n ∈N *)． ∴数列{1
x n }是等差数列．
(2)由(1)知{1x n }的公差为1
3
，
又x 1＝12，∴1x n ＝1x 1＋(n －1)·13＝13n ＋5
3.
∴1x 100＝1003＋53＝35，即x 100＝1
35.
25. 四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．
答案：设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，据题意得，
(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94 ⇒2a 2＋10d 2＝47.①
又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18⇒8d 2＝18⇒d ＝±32代入①得a ＝±7
2，故所求四个数为8,5,2，
－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2，1. 26. 已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 3＋a 9.
答案：解法一：a 2＋a 6＋a 10＝a 1＋d ＋a 1＋5d ＋a 1＋9d ＝3a 1＋15d ＝1，
∴a 1＋5d ＝1
3
.
∴a 3＋a 9＝a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝2
3.
解法二：∵{a n }为等差数列，
∴2a 6＝a 2＋a 10＝a 3＋a 9，∴a 2＋a 6＋a 10＝3a 6＝1， ∴a 6＝13，∴a 3＋a 9＝2a 6＝23
.
27. 在△ABC 中，若lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，且三个内角A ，B ，C 也成等差数列，试判断三角形的形状．
答案：∵A ，B ，C 成等差数列，
∴2B ＝A ＋C ，又∵A ＋B ＋C ＝π，∴3B ＝π，B ＝π3.
∵lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列， ∴2lgsin B ＝lgsin A ＋lgsin C ， 即sin 2B ＝sin A ·sin C ， ∴sin A sin C ＝34
.
又∵cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ，cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ， ∴sin A sin C ＝cos (A －C )－cos (A ＋C )
2，
∴34＝12[cos(A －C )－cos 2π3]， ∴34＝12cos(A －C )＋14， ∴cos(A －C )＝1，
∵A －C ∈(－π，π)，∴A －C ＝0， 即A ＝C ＝π
3，A ＝B ＝C .
故△ABC 为等边三角形．。