高考数学总复习 专题8.1 空间几何体试题(含解析)

专题1 空间几何体
【三年高考】
1．【2017江苏】如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则
1
2
V V 的值是 ▲ ．
【答案】
32
【解析】设球半径为，则213223
423
V r r V r π⨯==
π．故答案为32
． 【考点】圆柱的体积、球的体积
【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
2. 【2014江苏，理8】设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为12,S S ，体积为12,V V ，若它们的侧面积相等且
1294S S =，则12
V
V 的值是 . 【答案】
32
【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为11r h 、，22r h 、，则112222r h r h ππ=，
12
21
h r h r =，又21122294S r S r ππ==，所以1232r r =，则222111111212222222221232
V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==.
3. 【2013江苏，理8】如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝__________.
【答案】1∶24
【解析】由题意可知点F 到面ABC 的距离与点A1到面ABC 的距离之比为1∶2，S △ADE ∶S △ABC ＝1∶4.
因此V1∶V2＝
1
3
2AED ABC AF S AF S ∆∆⋅⋅＝1∶24..
4. 【2012江苏，理7】如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为__________cm 3
.
【答案】6
【解析】由已知可得，11A BB D D V -＝2
3
111A D B ADB V -＝2132⨯1111ABCD A B C D V -＝2132⨯×3×3×2＝
6(cm3)．
5．【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A ．
B ．
3π
4
C ．
π2
D ．
π4
【答案】B 【解析】
【考点】 圆柱的体积公式
【名师点睛】(1)求解以空间几何体的体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.
6．【2017天津，理10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 . 【答案】
92
π
【解析】设正方体边长为 ，则22
6183a a =⇒= ，
外接球直径为34427923,πππ3382
R V R ====⨯=. 【考点】 球
【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中
点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.
7．【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.
【答案】
【解析】
【考点】简单几何体的体积
【名师点睛】对于三棱锥最值问题，肯定需要用到函数的思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决.
8．【2016高考新课标3理数改编】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，
6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是 ．
【答案】
92
π
【解析】
试题分析：要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值
32，此时球的体积为334439
()3322
R πππ==． 考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．
【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．
9．【2016高考上海理数】如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，
1BD 与底面所成角的正切值为
2
3
，则该正四棱柱的高等于____________.
【答案】【解析】 试题分析：
由题意得1
1122
tan 33
DD DBD DD BD ∠=
=⇒=⇒=
考点：1.正四棱柱的几何特征；2.直线与平面所成的角.
【名师点睛】涉及立体几何中的角的问题，往往要将空间问题转化成平面问题，做出角，构建三角形，在三角形中解决问题；也可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求解，应根据具体情况选择不同方法，本题难度不大，能较好地考查考生的空间想象能力、基本计算能力等.
10．【2016高考新课标1卷改编】如图,某几何体是一个球被切掉左上角的1
8
,.若该几何体的体积是
283
π
,则它的表面积是 ．
【答案】17π
考点：三视图及球的表面积与体积
11．【2015高考新课标1，文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高
为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有___________________斛.
【答案】22
【解析】设圆锥底面半径为r ，则
12384r ⨯⨯=，所以16
3
r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=
3209，故堆放的米约为320
9
÷1.62≈22. 12.【2015高考安徽，文19】如图，三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，
1,1,2,60PA AB AC BAC ===∠=o .
（Ⅰ）求三棱锥P -ABC 的体积；
（Ⅱ）证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求
PM
MC
的值.
【解析】（Ⅰ）由题设
AB ＝1,,2=AC 60=∠BAC ，可得
A B S ∆︒⋅⋅⋅=
60sin 2
1
AC AB 23=.
由⊥PA 面ABC ，可知PA 是三棱锥ABC P -的高,又1=PA ，所以三棱锥ABC P -的体积6
331
=
⋅⋅∆PA S V ABC ＝；
（Ⅱ）证：在平面ABC 内，过点B 作AC BN ⊥，垂足为N ，过N 作PA MN //交PC 于M ，连接BM .
由⊥PA 面ABC 知AC PA ⊥，所以AC MN ⊥.由于N MN BN ＝⋂，故⊥AC 面MBN ，又⊂BM 面MBN ，所以BM AC ⊥.在直角BAN ∆中，2
1
cos =
∠⋅=BAC AB AN ，从而23=
-=AN AC NC .由PA MN //，得3
1=NC AN MC PM ＝.
【2018年高考命题预测】
纵观2017各地高考试题，对简单几何体的考查，主要考查简单几何体的概念、求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题.即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解.从高考试题来看，球的组合体问题是高考必考内容之一，每年都涉及，试题难度在中等，有时在压轴题的位置，从整体上来看，试题难度理科比文科要大，主要考查学生的画图能力，空间想象能力，运算能力及逻辑推理能力，预测2017年高考题中，理科仍然以球的组合体为主，文科也会与组合体有关，考查组合体的体积与表面积有关的问题．从高考试题来看，空间几何体的表面积、体积等问题是高考的热点，题型既有填空题，又有解答题，难度为中、低档．客观题主要考查表面积、体积或由几何体的表面积、体积得出某些量；主观题考查较全面，考查线、面位置关系，及表面积、体积公式，无论是何种题型都考查学生的空间想象能力．预测2018年高考仍将以空间几何体的面积、体积为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力、运算能力及逻辑推理能力．复习建议：与几何体的侧面积和体积有关的计算问题，根据基本概念和公式来计算，要重视方程的思想和割补法、等积转换法
的运用
【2018年高考考点定位】
高考对空间几何体的考查，主要考查简单几何体的概念、求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题.即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，以选择、填空题的形式考查，有时也会在解答题中出现.
【考点1】空间几何体
【备考知识梳理】
1．柱、锥、台、球的结构特征
（1）柱：棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.
棱柱与圆柱统称为柱体；
（2）锥：棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱. 底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……
圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面.
棱锥与圆锥统称为锥体
（3）台：棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点.
圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面
和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴
圆台和棱台统称为台体.
（4）球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径.
(5)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
(6)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．
2.几种常凸多面体间的关系
3.一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质
有一个面是多边形，其余各面底面是正多边
形，且顶点在底
用一个平行于由正棱锥截得
的棱台
几种特殊四棱柱的特殊性质
【规律方法技巧】
1. 注意特殊的四棱柱的区别：直四棱柱、正四棱柱、长方体、正方体、平行六面体、直平行六面体．
2. 棱台的各侧棱延长线交于一点是判断棱台的主要依据，两底面平行且是相似多边形．3．注意还台为锥的解题方法的运用，将台体还原为锥体可利用锥体的性质．注意正棱锥中的四个直角三角形为：高、斜高及底面边心距组成一个直角三角形；高、侧棱与底面外接圆半径组成一个直角三角形；底面的边心距、外接圆半径及半边长组成一个直角三角形；侧棱、斜高及底边一半组成一个直角三角形．
4.将几何体展开为平面图形时，要注意在何处剪开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一条母线剪开.
5.常见的特殊几何体的性质
（1）平行六面体：
①底面是平行四边形的四棱柱.
②{平行六面体}⊃≠{直平行六面体}⊃≠{长方体}⊃≠{正四棱柱}⊃≠{正方体}；
③平行六面体的任何一个面都可以作为底面；
④平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；
⑤平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和.
（2）长方体：
①长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和；
②若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,αβγ，则cos 2
α+
cos 2
β+cos 2
=1；
③若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,γβα则cos
2
α+cos 2β+cos 2=2.
（3）正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥.
①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等；
②正棱锥的高h 、斜高h '、斜高在底面的射影（底面的内切圆的半径）、侧棱、侧棱在底面的射影（底面的外接圆的半径R ）、底面的半边长可组成四个直角三角形； ③若正棱锥的侧面与底面所成的角为θ，则cos S S θ⋅侧底＝. （4）正四面体：侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体.
①设正四面体的棱长为a ，体积为
3
.
②正四面体与其截面:如图所示点E 为PA 的中点，连接EB 和EC.点F 为BC 中点，连接EF.则截面EBC ⊥PA, EBC⊥面PAB, EBC⊥面PAC. EF 为相对棱的公垂线，其长度为相对棱的距离； ③正四面体可补形为正方体，如图所示，四面体B-ACD 即为正四面体.各个棱为正方体的面对
角线.正方体的棱长是正四面体棱长的
2
.利用这个补形为解题带来很大的方便.
6. 几何体中计算问题的方法与技巧：①在正棱锥中，正棱锥的高、侧面等腰三角形的斜高与侧棱构成两个直角三角形，有关计算往往与两者相关；②正四棱台中要掌握对角面与侧面两个等腰梯形中关于上底、下底及梯形高的计算，另外，要能将正三棱台、正四棱台的高与其斜高，侧棱在合适的平面图形中联系起来；③研究圆柱、圆锥、圆台等问题，主要方法是研究其轴截面，各元素之间的关系，数量都可以在轴截面中得到；④多面体及旋转体的侧面展开图是将立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段． 【考点针对训练】
1ABCD 中，AB ⊥平面ABCD ，1AB =，2BC =，3BD =，则CD 长度的所有值为 ▲ ．
2.底面边长为2 m ，高为1 m 的正三棱锥的全面积为 m 2
.
【答案】
【解析】由条件得斜高为3
2)33(12=+ (m)
．从而全面积212+322S ⨯⨯(m 2
)．
【考点2】空间几何体的表面积与体积 【备考知识梳理】
1．多面体的面积和体积公式
表中S 表示面积，',c c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h′表示斜高，l 表示侧棱长. 2．旋转体的面积和体积公式
,r r分别表示圆台上、下底表中、h分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，
12
面半径，R表示半径.
【规律方法技巧】
1. 求体积常见方法
①直接法（公式法）直接根据相关的体积公式计算；②转移法：利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；③分割法求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；④补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；⑤四面体体积变换法；⑥利用四面体的体积性质：（ⅰ）底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅱ）高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅲ）用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方.
求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体.补形：三棱锥⇒三棱柱⇒平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是1：2：3和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等.
2. 求体积常见技巧
当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．
(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．
(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积．
(3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．
3.组合体的表面积和体积的计算方法
实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、台、球，而是由柱、锥、台、球或其一部分组成的组合体，解决这类组合体的表面积或体积的基本方法就是“分解”，将组合体分解成若干部分，每部分是柱、锥、台、球或其一个部分，分别计算其体积，然后根据组合体的结构，将整个组合体的表面积或体积转化为这些“部分的表面积或体积”的和或差．
[易错提示] 空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几
何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”．多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和．对于简单的组合体的表面积，一定要注意其表面积是如何构成的，在计算时不要多算也不要少算，组合体的表面积要根据情况决定其表面积是哪些面积之和． 4.求解几何体体积的策略及注意问题
(1)与三视图有关的体积问题关键是准确还原几何体及弄清几何体中的数量关系． (2)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高．
(3)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．
(4)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征． 【考点针对训练】
1.如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6．若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A —A 1EF 的体积是 ．
【答案】38
【解析】因为点E 到面AF A 1距离等于点B 到面AF A 1距离，等于3242
3
=⨯，因此三棱锥A —A 1EF 的体积是.38462
1
3231=⨯⨯⨯
⨯ 2.如图，在三棱柱111C B A ABC -中，面11A ABB 为矩形，1=AB ，21=AA ，D 为1AA 的
中点，BD 与1AB 交于点O ，⊥CO 面11A ABB ．
（Ⅰ）证明：1AB BC ⊥；
（Ⅱ）若OA OC =，求三棱锥C AOB -的体积．
【考点3】球与几何体的组合体 【备考知识梳理】
1.组合体：由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体. 【规律方法技巧】
1. 几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，
①正方体的外接球，则2R =； ②正方体的内切球，则2R a =；
③球与正方体的各棱相切，则2R =
.
(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为,,a b c ，外接球的半径为R ，则2R =(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图.
3.解决与球有关的切、接问题的方法：
(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．
(2)若球面上四点,,,P A B C 中,,PA PB PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．
4.求解球与多面体的组合问题时，其关键是确定球心的位置，可以根据空间几何体的对称性判断球心的位置，然后通过作出辅助线或辅助平面确定球的半径和多面体中各个几何元素的关系，达到求解解题需要的几何量的目的． 【考点针对训练】
1.在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，AB BC ==2PA =,则此三
棱锥外接球的体积为 ． 【答案】
π3
2
8
2.已知矩形ABCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．
【答案】13π
【解析】设正六棱柱的的底面边长为，高为y ，则69x y +=，所以3
02
x <<
，正六棱柱的
体积223()66)V x x y x x ==-，2'())V x x x =-，令
2'())0V x x x =->，解得01x <<，令2'()27)0V x x x =-<得3
12
x <<
，即函数()V x 在(0,1)是增函数，在3
(1,)2
是减函数，所以()V x 在1x =时取得最大值，此时3y =．易知正六棱柱的外接球的球心是其上下中心连线的中点，如图所示，外接球的半径为
2
OE ==所以外接球的表面积为2413.S R ππ==
【两年模拟详解析】
1．【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】如图，在正三棱柱
中，已知
，点
在棱
上，则三棱锥
的体积为
__________．
【答案】
【解析】三棱锥的底，点P 到底面的距离为△ABC 的高：，
故三棱锥的体积 .
2. 【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知直四棱柱底面是边长为2
的菱形，侧面对角线的长为，则该直四棱柱的侧面积为 ．
【答案】
【解析】侧棱长为 ，因为侧面为矩形，所以侧面积为
3. 【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，3AB =，2BC =，圆柱上底面圆心为O ，EFG ∆为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O EFG -体积的最大值是 ▲ . 【答案】4 【解析】11
24432
O EFG EFG EFG V AB S S -∆∆=
⨯⨯=≤⨯⨯= 4．【镇江市2017届高三年级第一次模拟】若圆锥底面半径为，高为5，则其侧面积为 ． 【答案】6π
【解析】圆锥母线为354=+，侧面积为πππ623=⨯=rl
5. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】已知正四棱锥P ABCD -的所有棱长都为2，则此四棱锥体积为_______.
【答案】
3
, =
2123= 6. 【2017年第一次全国大联考江苏卷】已知四棱锥P ABCD -的底面四边形ABCD 的外接圆半径为4，且此外接圆圆心到P 点距离为，则此四棱锥体积的最大值为____________． 【答案】32
【解析】由题意得四棱锥的高3h ≤, 底面四边形ABCD 面积最大值为
1
88322
⨯⨯=，因此四棱锥体积最大值为1
33232.3
⨯⨯=
7．【2017年高考原创押题预测卷02（江苏卷）】如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，若四边形C C AA 11是边长为4的正方形，且M BC AB ,5,3==是1AA 的中点，则三棱锥1
1MBC A -
的体积为 .
C
1
C
【答案】4
【解析】由题意知1111A MBC B A MC V V --=，又222AB AC BC AB AC +=⇒⊥，1AC AA ⊥，所以AB ⊥平面C C AA 1
1
，故43422
1
3131111111=⨯⨯⨯⨯=⋅=
=∆--AB S V V MC A MC A B MBC A
. 8．【2017年第三次全国大联考江苏卷】已知一个圆锥的底面半径为，
倍，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为_____________． 9. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】已知正六棱锥底面边长为2，
侧棱长为4，则此六棱锥体积为_______.
【答案】12
2
16212.3⨯=
10. 【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】在三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥DABE 的体积为V 1，PABC 的体积为V 2，则
1
2
V V ＝____________． 【答案】
14
【解析】.4
1
,412121===---V V V V V ABC
P ABE P ABE D 11. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】设棱长为的正方体的
体积和表面积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为的圆锥的体积和侧面积分别为2V ，2S ，若123=V V p ，则12
S
S 的值为 ．
【解析】
因为3
3222
11221,6,,33
r V a S a V r r S rl r ===⋅===p p p ，所以31323=13V a a r V r
=⇒=p p ，
因此212S S =
= 12.【江苏省苏北三市2016届高三最后一次模拟考试】已知圆锥的母线长为10cm ，侧面积为
260cm π，则此圆锥的体积为 3cm .
【答案】96π
【解析】由题意得：60,1068rl l r h ππ==⇒=⇒=，因此圆锥的体积为
2211
6896.33
r h πππ=⋅⋅= 13.【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】已知正三棱柱的各条棱长均为a ，圆柱的底面直径和高均为b ，若它们的体积相等，则3
3
:a b 的值为 .
【答案】π
23
a a ⨯=，圆柱的23()24
b b b ππ⨯=
，因此
33
33::4
a b a b ππ=⇒= 14.【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】设,M N 分别为三棱锥P ABC -的棱,AB PC 的中点，三棱锥P ABC -的体积记为1V ，三棱锥P AMN -的体积记为2V ，则
2
1
V V = . 【答案】
14
【解析】三棱锥P AMN -的体积等于三棱锥P AMC -的体积的一半，等于三棱锥P ABC -的体积的四分之一.。