课件3：2.4.2 空间两点的距离公式

＝ (z－a2)2＋12a2.
当
z＝a2时，|PQ|的最小值为
2 2 a.
即点
Q
在棱
CD
的中点时，|PQ|有最小值
2 2 a.
(2)因为 P 在对角线 AB 上运动，Q 是定点，
所以当 PQ⊥AB 时，|PQ|最短．
因为当点 Q 为棱 CD 的中点时，|AQ|＝|BQ|，
△QAB 是等腰三角形，
2.4.2 空间两点的距离公式
知识梳理
1．空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距离公式是d(A， B)＝|AB＝ x2－x12＋y2－y12＋z2－z12 . 2．点A(x，y，z)到原点的距离公式是d(O，A)＝|OA| ＝ x2＋y2＋z2 .
提出问题
在空间直角坐标系中，方程x2＋y2＋z2＝4表示什么图形？ 【答案】表示以原点为球心，2为半径的球．
∴|OD|＝ 2×133＝6 1313. 在 Rt△ODA 中，|OD|2＝x·|OA|，
36 ∴x＝123＝1183. 在 Rt△ODC 中，|OD|2＝y·|OC|，
36 ∴y＝133＝1123.
∴点 D(1183，1123，0)，由两点间的距离公式得
|O1D|＝ (0－1183)2＋(0－1123)2＋(2－0)2
典型题
例1 如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2， |AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点，作OD⊥AC于点D， 求线段B1E的长度及顶点O1到点D的距离．
解：由已知的空间直角坐标系及长方体的棱长可得长方体的 各个顶点的坐标分别为：O(0,0,0)、A(2，0,0)、B(2,3,0)、C(0,3,0)、 O1(0,0,2)、A1(2,0,2)、B1(2,3,2)、C1(0,3,2)． ∵E 是 BC 的中点，∴点 E 的坐标为(1,3,0)， ∴由两点间的距离公式得 |B1E|＝ (2－1)2＋(3－3)2＋(2－0)2＝ 5. 设 D(x，y,0)，在 Rt△AOC 中，|OA|＝2，|OC|＝3， |AC|＝ 13，

【巧思】 设出点 Q 的坐标，将|PQ|转化为点 Q 坐标的函数， 利用函数解决问题． 【妙解】 设正方体的棱长为 a. (1)当点 P 为对角线 AB 的中点时，点 P 的坐标是(a2，a2，a2)． 因为点 Q 在线段 CD 上，设 Q(0，a，z)． |PQ|＝ (a2)2＋(a2－a)2＋(a2－z)2
则 M( 22a,0,1－ 22a)，N( 22a， 22a,0)． ∴|MN|＝ ( 22a－ 22a)2＋(0－ 22a)2＋(1－ 22a－0)2 ＝ a2－ 2a＋1＝ (a－ 22)2＋12.
(2)∵|MN|＝ (a－ 22)2＋12，
∴当
a＝
22时，|MN|min＝
2 2.
即 a＝ 22时，MN 的长最小.
|AC|＝ (1－0)2＋(－2－0)2＋(－3＋5)2 ＝ 1＋4＋4＝ 9＝3， 所以|AB|2＋|AC|2＝9＋9＝18＝|BC|2， 又|AB|＝|AC|，所以△ABC 是等腰直角三角形．
方法总结
空间两点间距离公式常用来判断空间图形的形状，求 空间几何体中有关线段的长度，当坐标给定时直接利用 公式计算，当坐标没有给定时可以建立适当的空间直角 坐标系，再找出相关点的坐标，利用公式计算即可．
所以，当
P
是
AB
的中点时，|PQ|取得最小值
2 2 a.
(3)当点 P 在对角线 AB 上运动，点 Q 在棱 CD 上运动时，
|PQ|的最小值仍然是
2 2 a.
证明如下：如图，设 P(x，y，z1)． 由正方体的对称性，显然有 x＝y.
设 P 在平面 OA 上的射影是 H.
在△AOB 中，HOPB＝HOAA，所以za1＝
解：(1)由两点的距离公式得 |OP| ＝ (－3)2＋42＋52＝5 2. (2)由两点的距离公式得 |AB|＝ (0＋2)2＋(1－0)2＋(－3＋1)2＝3. (3)点 C(－3,1,5)在 yOz 平面上的射影是 C′(0,1,5)， 则 C(－3,1,5)到 yOz 平面的距离为|CC′|＝|－3－0|＝3； (4)D(4，－2,3)在 y 轴上的射影是 D′(0，－2,0)， 则 D(4，－2,3)到 y 轴的距离为|DD′|＝ 42＋32＝5.
跟踪训练
2．已知正方形 ABCD，ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 与平面 ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM＝BN＝a(0<a< 2)．求： (1)MN 的长； (2)a 为何值时，MN 的长最小．
解：(1)∵面ABCD⊥面ABEF， 面ABCD∩面ABEF＝AB， AB⊥BE， ∴BE⊥面ABCD. ∴AB、BC、BE两两垂直． ∴以B为原点，以BA、BE、BC所在直线为x轴、y轴和z轴， 建立如图所示空间直角坐标系．
＝
1113424＝2
286 13 .
方法总结
熟练掌握空间两点间的距离公式是关键，求点到坐标 平面或点到坐标轴的距离，通常转化为过点作平面或 直线的垂线，计算点与垂足间的距离即可．
跟踪训练
1．分别求下列点与点、点与线、点与面之间的距离： (1)O(0,0,0)，P(－3,4,5)； (2)A(0,1，－3)，B(－2,0，－1)； (3)C(－3,1,5)到平面yOz的距离； (4)D(4，－2,3)到y轴的距离．
典型例题
例2 已知三角形的三顶点A(1，－2，－3)，B(－1，－1， －1)，C(0,0，－5)，试证明它是等腰直角三角形．
解：因为|AB|＝ (1＋1)2＋(－2＋1)2＋(－3＋1)2 ＝ 4＋1＋4＝ 9＝3， |BC|＝ (－1－0)2＋(－1－0)2＋(－1＋5)2 ＝ 1＋1＋16＝3 2，
2(a－x)， 2a
即有 x＝a－z1. 所以，点 P 的坐标是(a－z1，a－z1，z1)． 由已知，可设 Q(0，a，z2)， 则|PQ|＝ (a－z1)2＋z21＋(z2－z1)2 ＝ (z2－z1)2＋2(z1－a2)2＋a22.
当
z2＝z1＝a2时，|PQ|取得最小值，最小值是
2 2 a.
妙解题
如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴， 建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的 对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上． (1)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时， 探究|PQ|的最小值；
妙解题
(2)当点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上运动时， 探究|PQ|的最小值； (3)当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时， 探究|PQ|的最小值．