2019-2020学年上海市上海中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年上海市上海中学高一上学期期中数学试题
一、单选题
1．下列命题中正确的有（ ）
①很小的实数可以构成集合；②集合{
}
2
1y y x =-与集合{
}
2
(,)1x y y x =-是同一个集合；③集合{}
(,)0,,x y xy x y R ≤∈是指第二和第四象限内的点集. A ．0个 B ．1个
C ．2个
D ．3个
【答案】A
【解析】根据集合的概念即可判断. 【详解】
对于①，集合具有确定性，故①错；
对于②，集合相等必须元素的类型相同，而前者为数，后者为点的集合，故②错； 对于③，坐标轴上的点不属于任何一个象限，故③错； 故选：A 【点睛】
本题主要考查集合的概念，属于基础题.
2．设0,0x y >>，下列不等式中等号不能成立的有（ ） A ．11
()()4x y x y
++
≥ B ．11
()()4x y x y
++
≥ C ．
2
4≥
D ．4x y ++
≥ 【答案】C
【解析】由基本不等式以及用基本不等式验证等号成立的条件即可求解. 【详解】 已知0,0x y >> 对于A 项，11()()224x y x y ++
≥⨯=，当且仅当11
,x y x y
==时，即1,1x y ==时等号成立，故A 项正确，不符合题意；
对于B 项，11()()4x y x y ++≥，当且仅当x y =时等号成立，故B 项
正确，不符合题意；
对于C 2
=≥，
=
时等号成立，但此时x 无实数根，所以等号不成立，故C
错误，符合题意；
对于D 项，4x y
+≥≥，当且仅当x y == 即1,1x y ==时，等号成立，故D 正确，不符合题意； 故选：C 【点睛】
本题主要考查基本不等式，利用基本不等式时，务必验证等号成立的条件.
3．集合(2)01x x A x x ⎧⎫+>⎧⎪⎪=⎨⎨⎬<⎩⎪⎪⎩⎭
，集合103x B x x ⎧⎫+⎪⎪
=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，则x A ∈是x B ∈的（ ）
条件.
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充分必要
D ．既不充分不必
要 【答案】A
【解析】根据条件求出集合,A B ，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可. 【详解】
}{
(2)0011x x A x x x x ⎧⎫+>⎧⎪⎪==<<⎨⎨⎬<⎩⎪⎪⎩⎭
，{1013x B x
x x x ⎧⎫+⎪⎪
=>=>-⎨⎬-⎪⎪⎩⎭且}3x ≠， 即x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，所以A 项正确. 故选：A 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的关系应用，同时也考查了不等式组以及分式不等式的解法，比较基础.
4．使关于x 的不等式23(1)2(3)0x t x t t --+-≥恒成立的实数t （ ） A ．不存在 B ．有且仅有一个 C ．有不止一个的有限个 D ．无穷多个
【答案】B
【解析】利用二次函数的性质2
3(1)2(3)0x t x t t --+-≥恒成立，只需0∆≤即可.
23(1)2(3)0x t x t t --+-≥恒成立，则0∆≤，即[]2
3(1)8(3)0t t t ----≤
化简整理得2690t t ++≤，所以2
(3)0t +≤，解得3t =- 故满足条件的实数t 有且只有一个. 故选：B 【点睛】
本题主要考查一元二次不等式恒成立问题，借助一元二次不等式与二次函数的关系，转化为用判别式∆求解.
二、填空题
5．已知集合{}1,0,2,3U =-，{}0,3A =，则U C A =______. 【答案】{}1,2-
【解析】根据补集定义直接求解可得结果. 【详解】
由补集定义可知：{}1,2U C A =- 本题正确结果：{}1,2- 【点睛】
本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题.
6．若关于x 的不等式(,)x a b a b R +<∈的解集为{}
24x x <<，则ab =________. 【答案】3-
【解析】根据解绝对值不等式(,)x a b a b R +<∈得a b x b a --<<-； 再由不等式的解集为{}
24x x <<，对应相等即可求出答案. 【详解】
由(,)x a b a b R +<∈得b x a b -<+<a b x b a ⇒--<<- 又
不等式的解集为{}
24x x <<，
24a b b a --=⎧∴⎨-=⎩ 解得31a b =-⎧⎨=⎩
，所以3ab =-.
故答案为：3-
本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题.
7．命题“若2x =-，则230x x +<”的逆否命题是________. 【答案】“若230x x +≥，则2x ≠-”
【解析】命题“若p ，则q ”的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”即可解答. 【详解】
命题“若p ，则q ”的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”可得 逆否命题为“若230x x +≥，则2x ≠-”. 故答案为：若230x x +≥，则2x ≠- 【点睛】
本题考查四种命题，掌握四种命题间的关系是解决问题的关键，属于基础题. 8．若全集U =（1，2，3，4，5，6，7，8，9），A ，B 为U 的子集，且{}()
1,9U C A B =，
{}2A B ⋂=，{}()()4,6,8U U C A C B ⋂=则集合A =________.
【答案】{}2,3,5,7A =
【解析】作出韦恩图即可得到结论. 【详解】
根据集合关系作出韦恩图（如上图）
{}()1,9
U C A B =，{}2A B ⋂=，{}()()4,6,8U U C A C B ⋂=
∴ 由韦恩图得{}2,3,5,7A =.
故答案为：{}2,3,5,7A = 【点睛】
本题主要考查韦恩图的应用，根据韦恩图表示集合关系是解决本题的关键.
9．已知集合{},,2A a b =，{}
2
2,,2(,)B b a a b R =∈，且A B =
则b =________. 【答案】1或
12
【解析】首先集合相等转化元素相等，求出001a b b =⎧⎨==⎩或 或00a b =⎧⎨=⎩或14
1
2a b ⎧=
⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
再由集合元素的互异性舍去0
0a b =⎧⎨=⎩
即可得出答案.
【详解】 由A B =，
22a a
b b =⎧∴⎨=⎩ 或22a b b a ⎧=⎨=⎩
解得 001a b b =⎧⎨==⎩或 或00a b =⎧⎨
=⎩或14
12a b ⎧
=
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
由集合元素的互异性可知00
a b =⎧⎨
=⎩ (舍去)，所以1b =或1
2b = 故答案为：1或1
2
【点睛】
本题考查集合之间的相等关系，集合相等转化为元素相等，由于集合元素的无序性，元素相等往往要分情况讨论.
10．若正实数,x y 满足：31x y +=，则xy 的最大值为________. 【答案】
112
【解析】
运用基本不等式得出31x y +=≥1
12
xy ≤即可. 【详解】
正实数,x y 满足：31x y +=，
31x y +=≥∴112
xy ≤
，
当且仅当12x =
，1
6
y =时等号成立. 故答案为：112
【点睛】
本题考查了运用基本不等式求解二元式子的最值问题，关键是判断、变形得出不等式的条件，属于容易题.
11．已知集合{}230A x R x =∈-≥，{}
B x R x a =∈<.若A B =∅，则实数a 的
取值范围为________. 【答案】32
a ≤
【解析】首先解出集合A ，由A B =∅即可求出32
a ≤
. 【详解】
由{}
32302A x R x x x ⎧⎫
=∈-≥=≥
⎨⎬⎩⎭
，{}B x R x a =∈<, 若A B =∅，所以32
a ≤
故答案为：32
a ≤ 【点睛】
本题主要考查根据集合的交并补运算求参数的取值范围，属于容易题.
12．已知R x ∈，定义：()A x 表示不小于x 的最小整数．如2,(0.4)0,A A =-=
( 1.1)1A -=-.若(2())5A x A x ⋅=，则正实数x 的取值范围是 ．
【答案】514
x <≤
【解析】试题分析：由已知得
，即
，又因为
，又因为x>0，所以
，当
时，
显然不满足条件；当时，，从而得
5
14
x <≤
；当时，
显然不满足条件．
故正实数 的取值范围是514
x <≤． 【考点】新定义创新题．
13．,,1a b R a b +∈+=，则(1)(1)a b ++的最大值为________.
【答案】
94
【解析】根据基本不等式2
119(1)(1)24a b a b +++⎛⎫
++≤= ⎪⎝⎭
即可求解.
【详解】
由题意,,1a b R a b +
∈+=，则2
119(1)(1)24a b a b +++⎛⎫
++≤= ⎪⎝⎭
，
当且仅当11a b +=+，即1
2
a b ==时等号成立， 即(1)(1)a b ++的最大值为94
. 故答案为：94
【点睛】
本题主要考查基本不等式求解二元式子的最值问题，关键是判断、变形得出不等式的条件.
14．若使集合{
}
2
()(6)(4)0,A k x kx k x x Z =---≥∈中元素个数最少，则实数k 的取值范围是 ________. 【答案】[]3,2--
【解析】首先讨论k 的取值，解不等式；再由集合A 的元素个数最少，推出只有k 0<满足，
若集合A 的元素个数最少，由k 0<，集合A =64x Z k x k ⎧⎫∈+
≤≤⎨⎬⎩⎭
，只需求6k k +的最大值即可，再由集合A 中x ∈Z ，只需6
54k k
-<+<-即可求解. 【详解】
由题知集合A 内的不等式为2
(6)(4)0,kx k x x Z ---≥∈，故
当0k =时，可得{}
4A x Z x =∈<； 当0k >时， 2
(6)(4)0kx k x ---≥可转化为
24060x kx k -≥⎧⎨--≥⎩ 或2
4060
x kx k -≤⎧⎨--≤⎩，因为6
4k k <+， 所以不等式的解集为{
4x x ≤或6x k k ⎫≥+
⎬⎭，所以A ={4x Z x ∈≤或6x k k ⎫
≥+⎬⎭
当k 0<时，由6
4k k +
<，所以不等式的解集为64x k x k ⎧⎫+≤≤⎨⎬⎩⎭，
所以A =6
4x Z k x k ⎧⎫∈+
≤≤⎨⎬⎩
⎭
，此时集合A 的元素个数为有限个. 综上所述，当0k ≥时，集合A 的元素个数为无限个，
当k 0<时，集合A 的元素个数为有限个，故当k 0<时，集合A 的元素个数最少，且当6
k k
+
的值越大，集合A 的元素个数越少，
令6()f k k k
=+（k 0<），则2
6
()1f k k
'=-
，令()0f k '= 解得k =所以()f k
在(,-∞内单调递增，在()
内单调递减，所以max ()(f k f ==-
又因为x ∈Z ，54-<-<-，所以当6
54k k
-≤+<-，即32k -≤≤-时， 集合A =6
4x Z k x k ⎧⎫∈+
≤≤⎨⎬⎩⎭
中元素的个数最少，故32k -≤≤- 故答案为：[]3,2-- 【点睛】
本题主要考查集合的运算和解不等式，综合性比较强.
三、解答题
15．设0,0a b >>， .
≥
【解析】首先由0,0a b >>
==
，然后由基本不等式得
≥+≥. 【详解】
0,0a b >>，
=
=
根据基本不等式得
≥ ①
≥ ② 当且仅当a b =时，①②的等号成立， ①+ ② 得
+≥
≥【点睛】
本题主要考查基本不等式比较两个式子的大小，此题也可用“作差法”进行比较. 16．解下列不等式：
（1）1211x x +-->； （2）
21712
x
x x ≤-+.
【答案】（1）113x
x ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
（2）(]()[),23,46,-∞⋃⋃+∞
【解析】（1）解绝对值不等式由“零点分界法”即可求解.
（2）解分式不等式转化为整式不等式，分解因式，利用穿针引线即可求解. 【详解】 （1）当1
2
x ≥
时，12111(21)11x x x x x +-->⇒+-->⇒< 1
12
x ∴≤< 当1
12x -≤<
时，1121112113
x x x x x +-->⇒++->⇒> 11
32
x ∴<< 当1x <-时，121112113x x x x x +-->⇒--+->⇒> 所以此时无解，
综上所述，故不等式的解集为113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
（2）2222
2(712)812
100712712712
x x x x x x x x x x x x --+-+-≤⇒≤⇒≤-+-+-+ 22222
(812)(712)0812********x x x x x x x x x x ⎧-+-+≥-+⇒≥⇒⎨-+-+≠⎩(2)(6)(3)(4)0(3)(4)0x x x x x x ----≥⎧⇒⎨--≠⎩
，如图
所以不等式的解集为(]()[),23,46,-∞⋃⋃+∞ 【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法、分式不等式的解法，解分式不等式式，转化为整式不等式后为一元高次不等式，分解因式利用穿针引线的方法进行求解.
17．据市场分析，某绿色蔬菜加工点月产量为10吨至25吨（包含10吨和25吨），月生产总成本y （万元）x 可以看成月产量（吨）的二次函数.当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元. （1）写出月总成本y （万元）关于月产量x （吨）的函数解析式；
（2）若[10,25]x ∈，当月产量为多少吨时，每吨平均成本最低？最低平均成本是多少万元？
【答案】（1）21
(15)17.5(1020)10
y x x =
-+≤≤ （2）当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元. 【解析】（1）设出函数解析式，代入()10,20，可得函数解析式. （2）求出每吨平均成本，利用基本不等式可求最值. 【详解】
（1）由题意，设2
(15)17.5(,0)y a x a R a =-+∈≠，
将10,20x y ==代入上式得202517.5a =+，解得110
a =
21(15)17.5(1020)10
y x x ∴=-+≤≤. （2
）21340140103110x x y x x x x -+==+-≥= 当且仅当4010x x
=，即[]2010,25x =∈时等号成立， 故当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元.
【点睛】
本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定函数解析式是解此题的关键.
18．已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题． （Ⅰ）求实数m 的取值集合M ；
（Ⅱ）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围．
【答案】（1）
（2）或. 【解析】试题分析：（1）方程在
有解，转化为函数在上的值域，实数m 的取值集合M 可求；
（2）x N ∈是x M ∈的必要条件，分、、三种情况讨论即可求a 的取值范围．
(1) 由题意知，方程20x x m --=在
上有解， 即m 的取值范围就为函数在上的值域，易得1|24M m m ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭
7分
(2) 因为x N ∈是x M ∈的必要条件，所以
8分 当时，解集为空集，不满足题意 9分 当时，，此时集合 则，解得12分 当时，，此时集合
则11{,4422
a a a <-⇒<--≥15分 综上9144
a a ><-或16分 【考点】命题与逻辑、分类讨论思想.
19．已知二次函数222123(),(),()f x x ax b f x x bx c f x x cx a =-+=-+=-+.
（1）若3,2,1a b c ===，解不等式组：123
()0()0()0f x f x f x >⎧⎪>⎨⎪>⎩；
（2）若{},,1,2,3,4a b c ∈，对任意的x ∈R ，证明：123(),(),()f x f x f x 中至少有一个非负.
【答案】（1）{2x x >或}1x <
（2）见详解
【解析】（1）把3,2,1a b c ===代入解析式，解一元二次不等式组即可求解. （2）利用反证法，假设123(),(),()f x f x f x 中一个都没有非负，再由二次函数的图像和性质需判别式均大于零，由{},,1,2,3,4a b c ∈，22240,40,40a b b c c a ->->->不恒成立，即可得证.
【详解】
（1）若3,2,1a b c ===，由
222123(),(),()f x x ax b f x x bx c f x x cx a =-+=-+=-+
则解不等式组123()0()0()0f x f x f x >⎧⎪>⎨⎪>⎩，即解不等式组22232021030x x x x x x ⎧-+>⎪-+>⎨⎪-+>⎩
，即211`x x x x R ><⎧⎪≠⎨⎪∈⎩或， 故不等式的解集为{
2x x >或}1x <.
（2）若{},,1,2,3,4a b c ∈，对任意的x ∈R ，
假设123(),(),()f x f x f x 中一个都没有非负，即函数123(),(),()f x f x f x 在x 轴下方均有图像，
所以22240,40,40a b b c c a ->->->恒成立，
所以三式相加2224440a b c a b c ++--->，
即222
(2)(2)(2)12a b c -+-+->，又因为{},,1,2,3,4a b c ∈，显然上式不成立， 即假设不成立，故123(),(),()f x f x f x 中至少有一个非负.
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式组的解法以及反证法，利用反正法证明问题时，关键找到矛盾点，本题综合性比较强.。