韶关市届高三第二次模拟考试(数学文)

韶关市2012届高三模拟考试数学试题
数学试题（文科）
本卷分选择题非选择题两部分，共4页，满分150分.考试用时间120分钟. 注意事项：
1．
考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上；
2．
选择题、填空题每小题得出答案后,请将答案填写在答题卷相应指定位置上。

答在试题卷上不得分；
3．考试结束，考生只需将答题卷交回。

4。

参考公式：
（１）锥体的体积公式13
V Sh =，其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高．
（２）样本数据1
2
,,
,n x x x 的方差，
2
2
1
1()n
i i s x x n ==-∑，其中x 是这组数据的平
均数。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的） 1.若复数(1)i ai ⋅+是纯虚数，则实数a 的值是（ ）
A 。

1 B.1- C.0 D.0或1- 2．已知R 是实数集，{}2
|20M x x
x =->，N
是函数y =的定义域，则
R C N
M =（
） A. (1,2)
B.
[0,2]
C. ∅ D 。

[1,2]
3．设25
025..
1
2,25,()2
.a b c ===，则,,a b c 的大小关系是(
)
A ．a c b >>
B ．c a b >>
C ． a b c >>
D ．b a c >> 4．设0
x 是方程3
log
3x x =-的根，且0(,1)x k k ∈+，则k =（
）
A ．（0,1)
B ．（1,3)
C ．（3,4)
D ．(4，+∞)
5．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ）
A 。

22(1)1x y -+=
B 。

22(1)1x y ++=
C 。

22(1)1x y +-=
D.
22(1)1x y ++=
6. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列四个命题：①m l ⊥⇒βα//
②m l //⇒⊥βα;③βα⊥⇒m l //；④βα//⇒⊥m l ．其中正确的命题有( ）个 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．函数2
2
()cos ()cos ()44
f x x x ππ=--+（R x ∈）是（ ）
A 。

周期为π的奇函数
B 。

周期为π的偶函数
C 。

周期为
π
2的奇函数
D. 周期为π2的偶函数 8．已知,x y 满足约束条件5000x y x y y ++⎧⎪
-⎨⎪⎩
≥≤≤，则24z x y =+的
最小值是（ ） A.
15-
B. 16-
C. 17-
D.
18-
9.执行如图1所示的程序框图后,输出的值
为
5，则P 的取值范围（
）
A ．7158
16
P <≤ B ．1516
P > C ．7158
16
P ≤< D ．374
8
P <≤
图1
10．定义符号函数1,0sgn 0,01,0
x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
，设111sgn()1sgn()122()()22x x f x f x -+-+=
⋅+ 2()f x ⋅，[0,1]x ∈,若1()f x =1
2
x +, 2()f x ⋅=2(1)x -, 则()f x 的最大值等于（ ）
A. 2 B 。

1 C. 34 D 。

12
[来二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．
11．已知A 是单位圆上的点，且点A 在第二象限，点B 是此圆与x 轴
正半轴的交点,记AOB α∠=， 若点A 的纵坐标为35
．则
sin α=_____________； tan 2α=_______________.
12. 已知向量(1,1)a =,)2,1(=b ，且()()ka b b a -⊥+,则实数k 的值为 13．下列四个判断：
①某校高三一班和高三二班的人数分别是,m n ,某次测试数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分为2
a b +；
②从总体中抽取的样本1
2
2211
11(,),(,),
,(,),,n n
n n i i i i x y
x y x y x x y y n n ====∑∑若记,则回归
直线y =bx a +必过点(,x y ）
③10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有b a c >>；
④绘制频率分布直方图时，各个小长方形的面积等于相应各组的频率．
其中正确的序号是_______________
（注意:14、15题是选做题，只能做其中一个，两题全
答只计前一题得分）
14．（几何证明选讲选做题）如图,AB 是圆O 的
直
径,DE AD =,6,8==BD AB ，则DE AC
= ;
15．（坐标系与参数方程选择题)已知直线l 的方程为11x t
y t =+⎧⎨=-⎩
，，以坐标
原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为
1
ρ=，则圆
C
上的点到直线
l
的最短距离等
于 .
三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本题满分12分） 数列{}n
a 对任意*
N n ∈ ，满足1
1n n
a
a ， 32a =。

（1）求数列{}n
a 通项公式；
（2）若1
()3
n a n
b
n =+，求{}n b 的通项公式及前n 项和．
17．（本题满分12分）
某中学在校就餐的高一年级学生有440名，高二年级学生有460名，高三年级学生有500名；为了解学校食堂的服务质量情况，用分层抽样的方法从中抽取70名学生进行抽样调查，把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五个等级：1级（很不满意）；2级（不满意）；3级（一般）；4级(满意）；5级（很满意），其统计结果如下表（服务满意度为x ，价格满意度为y ).
务 满 意
度 2 2 1 3 4 1 3 3 7 8 8 4 4
1
4
6
4
1
5 0 1 2 3 1
(1）求高二年级共抽取学生人数；
（2）求“服务满意度”为3时的5个“价格满意度”数据的方差； （3）为提高食堂服务质量，现从3<x 且42<≤y 的所有学生中随机抽取两人征求意见，求至少有一人的“服务满意度"为1的概率。

18．（本题满分14分)
如图（1)在等腰ABC ∆中，D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 边的中点，现将ACD ∆沿CD 翻折，使得平面ACD ⊥平面BCD 。

（如图（2）) （1）求证://AB 平面DEF ； （2）求证：BD AC ⊥；
(3)设三棱锥A BCD -的体积为1
V 、多面体ABFED 的体积为2
V ，求1
2
:V V 的值。

19． (本题满分14分)
在ΔABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ,c ，其中2c =， 且
cos 3
cos 1
A b
B a ==
(1）求证：ΔABC 是直角三角形;
(2)设圆O 过A ，B ，C 三点,点P 位于劣弧错误!上，PAB θ∠=，用θ的三角函数表示三角形PAC ∆的面积，并求PAC ∆面积最大值.
20．(本题满分14分） 已知函数()ln f x x x =.
（1）求函数()f x 的极值；
（2）设函数()()(1)g x f x k x =--，其中k R ∈,求函数()g x 在区间[1,e]上的最大值。

２１．(本题满分14分）
在直角坐标系xOy 中，动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线2x =的
距离之比是2
，设动点P 的轨迹为1
C ，Q 是动圆2222
:C
x y r +=(12)r <<上
一点。

（1）求动点P 的轨迹1
C 的方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）设曲线1
C 上的三点11
22(,),(,)A x y B C x y 与点F 的距离成等差数列，若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ;
（3）若直线PQ 与1
C 和动圆2
C 均只有一个公共点，求P 、Q 两点的距
离PQ 的最大值。

2012届高考模拟测试数学试题（文科)
参考答案和评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和
能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误
时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一．选择题:CBCCA BAAAB 二．填空题:11. 35
（2分）
24
7
-(3分）12。

85
13。

②④ 14. 4
3
15。

1
三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． 16．（本题满分14分) 解：（1）由已知得1
1n n
a
a 数列{}n
a 是等差数列，且公差
1d =
……………２分
又
32
a =，得1
0a =，所以 1n
a n =-……………………………………………………………４分 （2）由(１）得，1
1()3
n n
b n -=+，
所以111(11)(2)()33n n S n -=++++⋅⋅⋅++21
111
1(123)333n n -=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+ …………………………………………………………………………
………………………6分
111()(1)33(1)3.122213
n n
n n n n n S --+-+=+=+-……………………………12分
17．（本题满分12分）
解：（1）共有1400名学生，高二级抽取的人数为
23701400
460
=⨯（人）…………3分
（2)“服务满意度为3”时的5个数据的平均数为37884
65
++++=，……………4分
所以方差()()()()4.45
6468267632
2222
=-+-+-+-=
s (6)
分
(3)符合条件的所有学生共7人，其中“服务满意度为2”的4人记为d c b a ,,,
“服务满意度为1”的3人记为z y x ,,. ……………………8分 在这7人中抽取2人有如下情况:()()()()()()z a y a x a d a c a b a ,,,,,,,,,,,
()()()()()z b y b x b d b c b ,,,,,,,,,()()()()z c y c x c d c ,,,,,,,()()()z d y d x d ,,,,, ()()()z y z x y x ,,,,,共21种情况. ……………………9分
其中至少有一人的“服务满意度为1”的情况有15
种. ……………………11分
所以至少有一人的“服务满意度”为1的概率为
7
5
2115==
p ……………………12分
18(本题满分14分）
（1）证明：如图：在△ABC 中,由E 、F 分别是AC 、BC 中点，得
EF //AB ，
又AB
⊄
平面DEF ，EF
⊂
平面DEF ，∴AB ∥平面
DEF ．………………4分
（2）∵平面ACD ⊥平面BCD 于CD
AD ⊥CD ， 且AD ⊂平面ACD
∴AD ⊥平面BCD ,又BD ⊂平面BCD ，∴AD BD ⊥……………………7分 又∵CD BD ⊥，且AD CD D =
∴BD ⊥平面ACD ，又AC ⊂平面ACD ∴
BD AC ⊥．………………………………………………………
………9分
（3)由（2）可知AD ⊥平面BCD ,所以AD 是三棱锥A BCD -的高
∴1
13
BCD
V AD S =⋅⋅……………………………………11分
又∵E 、F 分别是AC 、BC 边的中点，
∴三棱锥E CDF -的高是三棱锥A BCD -高的一半
三棱锥E CDF -的底面积是三棱锥A BCD -底面积的一半
∴三棱锥E CDF -的体积1
1
4
E CDF
V
V -=…………………………………12分
∴2
111113
44
E CD
F V
V V V V V -=-=-= (13)
分
∴1
2
:4:3.V V
=…………………………………14分
19．(本题满分14分）
(1）证明：由正弦定理得cos sin cos sin A B B
A
=,整理为
sin cos sin cos A A B B =，
即sin2A ＝sin2B ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π,即A ＝
B 或A ＋B ＝错误! ∵3
1
b a
=
，∴A ＝B 舍去。

由A ＋B ＝错误!可知c ＝错误!，∴ΔABC 是直角三角形…………………6分 (2
）
由
(1)
及
2
c =，得
3a =,1b =…………………………………………………………７分
在Rt ΔPAB 中，cos 2cos PA AB θθ=⋅= 所以,
11sin()2cos 3sin()3cos sin()26266
PAC S PA AC πππ
θθθθθ∆=
⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅-…………………
……………………………………………………………………………………9分
31
3cos (sin cos )22
θθθ=⋅
-⋅ 33
(3sin 2cos 2)44
θθ=
-+ 3sin(2)26πθ=
-34-，62
ππθ<<………………………………………………12分
因为6
2
ππθ<<，所以,526
6
6
ππθπ<-<
当
26
2
π
π
θ-
=
，即
3
πθ=
时，PAC
S ∆最大值等于
3
4。

………………………………12分
20．（本题满分14分）
（
1）
()ln 1(0)f x x x '=+>.
………………………………………………………
…１分
令()0f x '≥，得1
ln 1ln x e -≥-=,1
1
ln x e
e
-≥=
； 令
()0
f x '≤，得
10,x e ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
.…………………………………………………………３分 ()
f x ∴的单调递增区间是
1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
，单调递减区间是
10,e ⎛⎤
⎥⎝⎦
，min 11()f x f e e ⎛⎫
==-
⎪⎝⎭
.
()
f x 无极
大
值………………………………………………………………………５分
(２)()g x =ln (1)x x k x --,则()ln 1g x x k '=+-，由()0g x '=，得1
e k x -=，
所以，在区间1
(0,e )k -上，()g x 为递减函数,在区间1
(e ,)k -+∞上，()g x 为递增函
数.……………………………………………………………………………………８分
当1
e 1k -≤，即1k ≤时，在区间[1,e]上,()g x 为递增函数，
所以，()g x 最大值为()g e e ke k =-+. …………………10分 当1
1<e <e k -，即12k <<时，()g x 的最大值是(1)g 或()g e
(1)g ＝()g e ,得1e
k e =-
当11e
k e <<-时，()0(1)g e e ek k g =-+>=,()g x 最大值为()g e e ke k =-+
当21
e
k e ≤<-时,()0(1)g e e ek k g =-+<=，()g x 最大值为(1)0g =
………………………………………………………………………………１２分
当1
e e k -≥，即2k ≥时，在区间[1,e]上，()g x 为递减函数,所以()g x 最大值为(1)0g =.
综上，当1
e k e <-时,()g x 最大值为e ke k -+；
当1
e
k e ≥
-时，()g x 的最大值是
……………………………………………………………………
………1４分
21．(本题满分14分）
解：(1）由已知，=………………………………………2分. 将
两
边
平
方
，
并
化
简得
2
212
x y +=，……………………………………………………4分。

故轨迹
1
C 的方程是
2
212
x y +=，它是长轴、短轴分别为、2的椭
圆………………4分。

（2）由已知可得1)2AF
x =
-，(21)2BF =-，2)2
CF x =-，
因为2BF AF CF =+，所以1)2x -2(2)2x +-2(21)2
=⨯-， 即得122
x x +=，
① ……………………………………………………5分。

故线段
AC
的中点为
12
(1,
)2
y y +，其垂直平分线方程为
121212
(1)2y y x x
y x y y +--
=---， ②
……………………………………………………………………………………………6分.
因为,A C 在椭圆上，故有22
1112x y +=,222212
x y +=，两式相减，
得：22
22121202
x x y y -+-= ③
将①代入③，
化
简
得
121212
1212
2()
x x y y y y y y x x -+-
==+-+，
④ ………………………7分。

将④代入②，并令
y =得,
12
x =
，即
T
的坐标为
1
(,0)2
.………………………8分。

所
以
02112
BT
k ==-……9分。

设()1
1
,P x y 、()2
2
,Q x y ，直线PQ 的方程为y kx m =+
因为P 既在椭圆1C 上又在直线PQ 上，从而有1122
11(1)1(2)
21
y kx m
x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩
将（1）代入（2）得()()2
22214210k
x kmx m +++-=
………10分。

由于直线PQ 与椭圆1
C 相切，故()()()2
224421210km m k ∆=-⨯-+=
从而可得2
212m
k =+，12k
x m
=-
(3）
同理，由Q 既在圆2
C 上又在直线PQ 上,可得
()2221m r k =+，22k x m
=-
(4）……………………12分
由（3）、(4)得2221
2r k r -=-，(
)2212k r x x m
--=
所以()()()()
2
2
2
2
22121211PQ
x x y y k x x =-+-=+-
()()
2
2
2
222
222
2
22212k
r r m r r
m r r
---=⋅=⋅- ()(
)
2
2
22
2
2
212331)r r r r
r
--=
=--
≤-= …………………………13分.
即
PQ≤，当且仅当2r=
1
故
P、Q两点的距离PQ的最大值1。

(14)
分.。