(全优试卷)河北省武邑中学高三下学期一模考试数学(文)试题 Word版含答案

河北省武邑中学2017届高三下学期一模考试
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}0,1,A m =，{}|02B x x =<<，若{}1,A B m =，
则m 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()()0,11,2 D ．()0,2
2.若31i
z i
-=
+（其中i 是虚数单位），则z i +=（ ） A
C ．5
D ．2 3.下列函数中不是奇函数的是（ ）
A ．()()10,11
x
x a x
y a a a +=
>≠- B ．()0,12x x
a a y a a --=
>≠ C ．()()
1,01,0x y x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ D ．()1log 0,11a x y a a x +=>≠-
4.如图，在执行程序框图所示的算法时，若3210,,,a a a a 输入的值依次是1，-3,3，-1，则v 输出的值为（ ）
A ．-2
B ．2 C.-8 D ．8
5.已知正项等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，且241a a =,37S =，则5S =（ ）
A ．
154 B ．314 C.318 D ．638
6.已知向量m 、n 满足2m =，3n =，17m n -=m n +=（ ）
A
B ． D ．9 7.已知命题p ：将函数()2sin 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图像向右平移
4
π
个单位，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 在区间,03π⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增；命题q ：定义在R 上的函数()y f x =满足()()3f x f x -=+，则函数图像关于直线3
2
x =
对称，则正确的命题是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝ C.()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q ⌝∧
8.设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数z x my =+的最大值小于2 ，则m 的取值
范围为（ ）
A ．()1
B ．
)
1,+∞ C.()1,3 D ．()3,
+∞
9.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）
A ．
2 C.
D ．10.气象意义上，从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度不低于22℃”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③丙地：5个数据的中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8； 则肯定进入夏季的地区的有（ ）
A ．①②③
B ．①③ C.②③ D ．①
11.设F 为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点，P 是双曲线上的点，若它的渐近线
上存在一点Q （在第一象限内），使得2FP PQ =，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．()1,3 B ．()3,+∞ C. ()1,2 D ．()2,+∞ 12.设函数()()()
2
2
2
ln 2f x x a x a
=-+-，其中0x >，a R ∈，存在0x ，使得()04
5
f x ≤
成立，则实数a 的值是（ ） A ．
15 B ．25 C.1
2
D ．1 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.二项式5
11x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的展开式中，系数最大的项为 ．
14.由3个1和3个0组成的二进制的数有 个．
15.的四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均
同一球面上，底面ABCD 的中心为1O ，球心O 到底面ABCD ，则异面直线1SO 与AB 所成角的余弦值的范围为 ．
16.设数列{}n a 是首项为0的递增数列，()
n N *∈，()()1
sin
n n f x x a n
=-，[]1,n n x a a +∈满足：对于任意的[)0,1b ∈，()n f x b =总有两个不同的根，则数列{}n a 的通项公式为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos 2cos 3A A π⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
.
（1）若2b =，ABC ∆面积为a ；
（2）若2
2cos 216a C b
=-，求角B 的大小.
18. “五一”假期期间，某餐厅对选择A 、B 、C 三种套餐的顾客进行优惠。

对选择A 、
B 套餐的顾客都优惠10元，对选择
C 套餐的顾客优惠20元。

根据以往“五一”假期期间
100名顾客对选择A 、B 、C 三种套餐的情况得到下表：
将频率视为概率.
（I ）若有甲、乙、丙三位顾客选择某种套餐，求三位顾客选择的套餐至少有两样不同的概率；
（II ）若用随机变量X 表示两位顾客所得优惠金额的综合，求X 的分布列和期望。

19.已知四棱锥S ABCD -中，底面是直角梯形，2AB =，1BC CD ==，BC AB ⊥，侧面SAD 是以ASD ∠为直角的等腰三角形，且侧面SAD 与底面ABCD 垂直.
（I ）求证：SA BD ⊥；
（II ）若点E 为侧棱SB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AD S --的余弦值为
5
. 20.若椭圆1E ：2222111x y a b +=与椭圆2E ：22
2222
1x y a b +=满足()11220a b m m a b ==>，则称这两
个椭圆相似，m 叫相似比.若椭圆1M 与椭圆22
2:21M x y +=相似且过1,
2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
点. （I ）求椭圆1M 的标准方程；
（II ）过点()2,0P -作斜率不为零的直线l 与椭圆1M 交于不同两点A 、B ，F 为椭圆1
M
的右焦点，直线AF 、BF 分别交椭圆1M 于点G 、H ，设1AF FG λ=，
()212BF FH R λλλ=∈、，求12λλ+的取值范围.
21.已知函数()23
11ln 23
f x x x x x ax =-+
-，令()f x 的导函数为()y g x =. （I ）判定()y g x =在其定义域内的单调性；
（II ）若曲线()y f x =上存在两条倾斜角为锐角且互相平行的切线，求实数a 的取值范围. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于C 、D 两点，交圆O 于E 、F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于点H .
（I ）求证：B D H F 、、、四点共圆；
（II ）若2AC =，AF =BDF ∆外接圆的半径.
试卷答案
一、选择题
1-5:CBADB 6-10:BDACB 11、12：AA
二、填空题
13.
2
10
x 14.10 15.⎡⎢⎣⎦
16.()12n n π- 三、解答题
17.（I ）因为cos 2cos 3A A π⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭
， 得cos cos
sin sin
2cos 3
3
A A A π
π
+=，
即sin A A =，因为()0,A π∈，且cos 0A ≠，
所以tan A =3
A π
=
.
11
sin 222ABC S bc A ∆==⨯=6c =,
由余弦定理222221
2cos 26226282
a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯
=,
a =（II ）由22cos 216a C
b =-得22
212cos 2sin 6a C C b -==,
sin
C =
=， 1sin sin 4
B C =
，
211sin sin sin cos 324B B B B B π⎛
⎫+=+= ⎪⎝
⎭，
()111cos 2244
B B -+=，
cos 22B B =，得tan 23
B =， 420,
3
B π⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
26B π=∴或726B π=得12B π=或712B π=. 18.解：（I ）由题意可知，顾客选择A 、B 、C 三种套餐的概率分别为
12，14，1
4
， 甲、乙、丙三位顾客选择的套餐都同的概率为3
3
11522432
P ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
三位顾客选择的套餐至少有两样不同的概率为27
132
P -=
. （II ）由题意知两位顾客获得优惠金额X 的可能取值为20,30,40.
()22
121111920242416P X C ⎛⎫⎛⎫==++∙= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()121113304248
P X C ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭,
()2
1140416
P X ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭,
综上可得X 的分布列为：
X 的数学期望93
20304025168
EX =⨯
+⨯+=.
19.（I ）证明：连接BD ，则AD BD ==2AB =，
AD BD ⊥∴,
又侧面SAD 垂直地面ABCD ，平面SAD
平面面ABCD AD =,
BD ⊥∴平面SAD ，SA ⊂平面SAD ，
SA BD ⊥∴.
（II ）过D 点在平面SAD 内作AD 的垂线，
侧面SAD 垂直底面ABCD ，
∴该垂线与底面ABCD 垂直，以这条垂线为z 轴，DA 、DB 分别为x 轴和y 轴，建立空
间直角坐标系.
由（I ）可知，平面SAD 的法向量()0,1,0m =, 设平面ADE 的法向量(),,n x y z =
,
)A
，()
B
，22S ⎛ ⎝⎭，()0,0,0D
，2
2SB ⎛⎫
=-- ⎪ ⎪⎝⎭
， 设(
)()1,122SE SB E λλλ⎛⎫=⇒-- ⎪ ⎪⎝⎭
， (
)
2,0,0DA
=
，(
(1,1DE λλ⎛=-- ⎝
⎭， ()00,1,20n DA n n DE λλ⎫∙=⎪
⇒=--⎬∙=⎪⎭
,
二面角E AM D --的余弦值为,
(
5
1m n m n
∙=
=
=
, 得，1
2
λ=
，即E 为DB 的中点.
20.解：（I ）设椭圆1M 的标准方程为22
221x y a b +=，则
22112a b =,22
11
12a b
+=, 得2
2a =，2
1b =，椭圆1M 的标准方程2
212
x y +=. （II ）设直线l 的斜率为k ，()12,A x y ，()22,B x y ，()33,G x y ，()44,H x y ，
()10F ，，()111,AF x y =--∴，()221,FG x y =--，
由1AF FG λ=,112y y λ-=，
当AG 与x 轴不垂直时，直线方程为：()1
111
y y x x =
--, 即()111
1x y y x y -+=，代入椭圆方程
2212
x y +=，得 ()()22111132210x y y x y y -+--=,
则2
1121
32y y y x -=-，得11232y x y -=-，1132x λ=-∴，
当AG 与x 轴垂直时，点A 的横坐标为1，11λ=，2132x λ=-成立， 同理可得2232x λ=-，
设直线l 的方程为()2y k x =+，代入椭圆方程2
212
x y +=，得 ()2
222218820k
x k x k +++-=，
则()()()2222
08421820
k k k k ≠⎧⎪⎨∆=-+->⎪⎩得2
102k <<， 2122821k x x k -+=+，2122
82
21
k x x k -=+， ()2121222168
626142121
k x x k k λλ+=-+=+=-++，
由2102k <<
得28
6141021
k <-<+即12λλ+范围为()6,10. 21.解：（I ）()()2
ln 0g x x x ax x =+->，
()2121
12ax x g x ax x x
--=+-=-
′， 当0a ≤时，()0g x >′，()y g x =在()0,+∞上递增； 当0a >时，由()0g x =′， 得2210ax x --=
得1x =
2x =且10x <，20x >，
在()20,x 上()0g x >′，()g x 递增，在()2,x +∞上()0g x <′，()g x 递减. （II ）为使曲线()y f x =上存在两条倾斜角为锐角且互相平行的切线， 则()y g x =在()0,+∞有两个零点，
当0a ≤时，()y g x =在()0,+∞上递增，不合题意.
0a >∴则()20g x >，即2
222ln 0x x ax +->, 又222210ax x --=，得2
221
2
x ax +=
， 2221
ln 02
x x x ++-
>∴,222ln 10x x +->∴， 令()2ln 1h x x x =+-，
()2
10h x x
=
+>′，()h x 为增函数，又()10h =，21x >∴, 2
22222222111111224x a x x x x ⎛⎫+==+=+- ⎪⎝⎭，
22
1
01x <
<,022a <<∴，01a <<∴， 此时22
2
10e e a
g e e -+-⎛⎫=< ⎪⎝⎭
, 令()()ln 1r x x x =--得()111x
r x x x
-=
-=
′， 当()1,x ∈+∞时()0r x <′，()r x 递减，()()()ln 110ln 1r x x x r x x =--<=⇒<-，
()222ln 212g x x x ax x ax x ax =+-<--<-，
必存在()2,x x ∈+∞使()0g x <，()y g x =在()0,+∞有两个零点，综上01a <<. 22.解：（I ）因为AB 圆O 的一条直径，所以BF FH ⊥. 又DH BD ⊥，所以,,,B D H F 四点共圆. （II ）因为AH 与圆B 相切于点F ，
由切割线定理得2
AF AC AD =∙，代入解得4AD =.
所以()1
12
BD AD AC =
-=，1BF BD ==.
全优试卷
又AFB ADH ∆∆∽，所以
DH AD BF AF =.
由此得AD BF DH AF
∙==
连接BH .由（1）知，BH 为BDF ∆外接圆的直径，BH ==，
故BDF ∆的外接圆半径为
2.。