方差分析

标的观察值，列于表 1-2。
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表1-2
因素 B 因素 A
A1 A2

B1 x1 1 x 21

B2 x1 2 x 22



Bj

Bb x1b x2b

x i x 1 x 2

x1 j x2 j



Ai

x i1

xi 2

x ij
x ib

xi




Aa
2 2
X i 1 , X i 2 , , X in ，它们来自具有相同方差 ，均 i
2
i , 均为未知，并且不同水平 Ai 下的样本之间相
互独立。 取下面的线性统计模型：
x ij i ij , 2 ij ~ N ( 0 , ), i 1, 2 , , a , j 1, 2 , , n i (1 .1)
处理 未切去胚乳 切去一半胚乳 切去全部胚乳 每株粒重 21,29,24,22,25,30,27,26 20,25,25,23,29,31,24,26,20,21 24,22,28,25,21,26
问：每株粒重是否受到切胚乳的影响？（ 0.05 ）
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解：设每株粒重为
x i j i ,i
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二、单因素试验的方差分析
设单因素 A 有 a 个水平 A1 , A2 , , Aa ，在水平 Ai ( i 1, 2, , a ) 下，进行 n i 次独立试验，得到试验 指标的观察值列于表 1-1。
表１-１
1
A1 A2 Ai Aa x1 1 x 21 x i1 x a1
1 ni
a ni
记在水平 A i 下的样本均值为 x i

ni
x ij ，
j1
样本数据的总平均值为 x
n
i1
1
x ij ，
j1
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总离差平方和为 S T
(x
i1 j1
a
ni
ij
x)
2

i1
a
ni
x ij
2
x n
2
，
j1
总离差平方和的分解式 S T S A S E ， 其中 S A
将上面的分析过程和结果，列成一个简洁的表 格，能给解决问题带来方便，这个表叫做单因素方 差分析表。
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方差来源 因素 A
平方和
SA
自由度
a1
均方
MSA SA a1 SE na
F比
F MSA MSE
误差 E
SE
na
MSE
总和 T
ST
n1
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5个品种育肥猪增重方差分析表
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方差来源 因素 A 误差 E 总和 T
平方和 6.77 223.73 230.50
自由度 2 21 23
均方 3.39 10.65
F比 0.32
查表得 F 0 .0 5 ( 2 , 2 1) F 0 .0 5 ( 2 , 2 0 ) 3 .4 9 F ， 故接受 H 0 ， 认为各个处理之间没有显著的差异。
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对这个线性统计模型检验如下假设：
H A0 : H A1 :
H B0 : H B1 :
1 2 a 0 i 0, 至 少 一 个 i
1 2 b 0 j 0, 至 少 一 个 j
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方差分析表
记MSA
SA a1
，M S E
SE na
并分别称之为
S A ， S E 的均方。
在 H 0 成立的条件下，取统计量
SA a1 na
F
2
MSA MSE
SE
2
~ F ( a 1, n a ) 。
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对于给出的 ，查出 F ( a 1, n a ) 的值，判断如下： 若 F F ( a 1, n a ) ，则拒绝 H 0 ； 若 F F ( a 1, n a ) ，则接受 H 0 。
各 ij 相 互 独 立
其中 ij 为随机误差。
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设
1
n n
i i 1
a
i
为总平均值， 其中 n
n
i 1
a
i
。
令 i i 为 第 i 个 水 平 Ai 的 效 应 ， 则
n
i i 1
a
i
0 ，于是式 (1 .1) 变为
x ij i ij , 2 ij ~ N ( 0 , ),
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三、双因素试验的方差分析
（一）无交互作用的方差分析
设两因素 A , B 。 A 有 a 个水平 A1 , A 2 , , A a ；
B 有 b 个 水 平 B 1 , B 2 , , B b 。 在每 一个 组合 水 平
( A i , B j ) 下，做一次试验（无重复试验）得出试验指
正交试验设计的方差分析
一、极差分析与方差分析
实际应用表明，极差分析法直观形象、简单易懂。 通过非常简便的计算和判断就可以求得试验的优化成 果——主次因素、优水平、优搭配及最优组合。是正交 设计中常用的方法之一。 但是极差分析法不能充分利用试验数据所提供的 信息，其应用还受到一定的限制。 （1）极差分析法不能估计试验误差。 （2）极差分析法不能确定试验的优化成果的可信度， 也不能应用于回归分析与回归设计。
x ij i j ij , 2 ij ~ N (0, ), a b i 0, j 0 j 1 i 1 i 1, 2, , a , j 1, 2, , b , (1 .2 )
i j ，至少有一对这样的 i , j ，
也就是下面的等价假设：
H0 : H1 :
1 2 a 0 ，
i 0 ，至少有一个 i 。
检验这种假设的适当的程序就是方差分析，这种 模型叫做固定效应模型。
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解决这种模型的具体步骤如下： 1、 总离差平方和的分解
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2、 统计分析
由统计分析可知，
ST ~ ( n 1) ，从而知 S T 的自由度为 n 1 ；
2

2
SE

2
~ ( n a ) ，从而知 S E 的自由度为 n a ；
2
SA

2
~ ( a 1) ，从而知 S A 的自由度为 a 1 。
2
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增重（kg） 20.0 17.0 20.0 19.0 17.0 22.0 15.5 18.0 20.0 16.0
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18.0 20.0 17.0
20.0 16.0
假 定 在 各 水 平 Ai ( i 1, 2, , a ) 下 的 样 本 为 值分别为 i 的正态总体 X i ~ N (i , ) ，其中
上一张 下一张
进行F检验 临界F值为：F0.05(4,20) =2.87,F0.01(4,20) =4.43， 因为品种间的F值 5.99＞F0.01(4,20)， 表明品种间差异极显著。
上一张 下一张
例2 （切胚乳试验）用小麦种子进行切胚乳试验，设计分 3种处理，同期播种在条件较为一致的花盆内，出苗后每 盆选留2株，成熟后测量每株粒重（单位：g），得到数 据如下：
i 1, 2 , , a ,
j 1, 2 , , n i , (1 .1 )
上一张 下一张
方差分析的任务就是检验线性统计模型 (1 .1) 中 a 个 总体 N ( i , ) 中的各 i 的相等性，即有
2
原假设 H 0 : 对立假设 H 1 :
1 2 a ，
2
x1 2 x 22 xi 2 xa 2
…

ni
x1n 1 x2n 2 x in i x an
aБайду номын сангаас
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【例1】 5个不同品种猪的育肥试验，后期30天增 重(kg)如下表所示。试比较品种间增重有无差异。 5个品种猪30天增重
品种 1 2 3 4 5 21.5 16.0 19.0 21.0 15.5 19.5 18.5 17.5 18.5 18.0
方差来源 因素 A 平方和
SA
自由度
a1
均方
MSA SA a1 SB b1
F比
F1 MSA MSE MSB MSE
因素 B
SB
b1
MSB
F2
误差 E
SE
( a 1)( b 1)
MSE
SE ( a 1)( b 1)
总和 T
ST
ab 1
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其中
j
i , j 1 , 2 , 3 , 4 , 5
原假设 H 0 : 备择假设 H 1 :
1 2 ， 3
i j ，至少有一对 i , j ，
这里， a 3 , n 1 8 , n 2 1 0 , n 3 6 , n 2 4 ，
x 2 1 2 9 2 1 2 6 5 9 4 ，计算得
上一张 下一张
对于给出的 值，可查出
F ( a 1, ( a 1)( b 1)) ， F ( b 1, ( a 1)( b 1)) ，
如果 F1 F ( a 1, ( a 1)( b 1)) ,则拒绝 H 就接受 H
A0
A0
， 否则
;
如果 F 2 F ( b 1, ( a 1)( b 1)) ，则拒绝 H B 0 ，否 则，就接受 H B 0 。

i1 a ni
a
ni
( x i x )
2
j1

a
x
2 i

x n
2
，
i1
ni
SE

i1
( x ij x i ) 。
2
j1
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这里 S T 表示全部试验数据与总平均值之间的差异， 又称为 总变差； S A 表示在 A i 水平下的样本均值与总平均值之间的差 异，叫做因素 A 效应的平方和，又称为组间差； S E 表示在 A i 水平下的样本均值与样本值之间的差异，它是由随机误差引起 的，叫做误差平方和，又称为组内差。
上一张 下一张
根据Fisher偏差平方和加和性原理，在偏差平方和 分解的基础上借助于F检验法，对影响总偏差平方和的 各因素效应及其交互效应进行分析，这种分析方法就称 为方差分析。它是处理试验数据的一种常用方法，有着 广泛的应用。 将方差分析应用于正交设计，主要为了解决如下 问题： （1）估计试验误差并分析其影响； （2）判断试验因素及其交互作用的主次与显著性； （3）给出所作结论的置信度； （4）确定最优组合及其置信区间。
x j
x a1 x 1
xa 2 x 2

x aj x j
x ab x b
xa x
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设 x ij ~ N ( ij , ) ，各 x ij 相互独立 ( i 1, 2, , a ,
2
j 1, 2, , b ) 。
取下面的线性统计模型：
x ij ij ij , 2 ij ~ N (0, ), i 1, 2, , a , j 1, 2, , b 各 ij 相 互 独 立 (1 .2 )
2 a b a b x 2 2 S T ( x ij x .. ) x ij ab i1 j1 i1 j1 2 2 a b a x i x 2 S A ( x i x .. ) b ab i1 j1 i1 2 2 a b b x j x 2 S ( x j x .. ) B a ab i1 j1 j1 S E ST S A S B
记 ij i j ，
ab
i 1 j 1
1
a
b
ij
。
上一张 下一张
令 i 为因素 A 的 Ai 水平的效应，令 i 为因素 B 的 B j 水平的效应，则 i 0, j 0 ，于是式
i 1 j 1 a b
(1.2) 变为
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（二）有交互作用的方差分析
设两因素 A , B 。A 有 a 个水平 A1 , A 2 , , A a ；B 有 b 个水平 B 1 , B 2 , , B b 。为研究交互作用，在每一个组合水 平 ( A i , B j ) 下，重复做 n 次试验，每个观察值记为 x ijk ，列 于表 1-3。