江苏省普通中学高二数学苏教版选修2-2教学案：第2章5间接证明

江苏省泰兴中学高二数学讲义（48）
间接证明
【教学目标】
1.了解反证法的推理过程；
2.会用反证法证明含有否定词的命题；
3.能分析出使用反证法的“情境”，培养“正难则反”的数学意识.
【预习导引】
1.“三角形中最多有一个内角是钝角”是命题.(填“真”、“假”)
2.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，正确的反设应该是
【典型例题】
例1求证：正弦函数没有比2 小的正周期.
例2求证：2不是有理数.
不是有理数.
例3 已知a 、b 、c ∈(0,1)，求证：(1),(1),(1)a b b c c a ---至少有一个不大于14
例4 求证：抛物线2
12
x y =-上不存在关于直线x ＋y ＝0对称的两点
[学后反思]
1.用反证法证明的依据是互为逆否命题的等价性，即“若p 则q ”等价于“若﹁q 则﹁p ”
2.反证法证明的三步骤：
（1）反设---假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真.
（2）归谬――从反设和已知出发，经过推出一系列正确的逻辑推理得出与已知.定理.公理.事实等矛盾的结论.
（3）存真――由矛盾的结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立.
3.反证法使用范围是：正面不太容易证明而反面易证的情况下，“唯一性”.“存在性”“至
多”.“至少”等问题
江苏省泰兴中学高二数学课后作业（48）
班级: 姓名: 学号：
【A 组题】
1.已知a<0,－1<b<0，那么a.ab.ab 2之间的大小关系是
2.命题p ：α≠30°，命题sin α≠
12，则p 是q 成立的 _______ 条件. 3.用反证法证明命题“,,*∈N b a 若ab 可被5整除,那么b a ,中至少有一个能被5整除”.
则假设的内容为_____________________________.
4.命题“11,b a a b
++中至多有一个小于2”的反设为 _____ __ 5.设*n N ∈，若sinx+cosx=1, 则sin n x+cos n x 的值为
6.设a ，b ，c 都是正数，求证:三个数111,,a b c b c a
+
++至少有一个不小于2 .
7.已知正数a.b.c成等差数列，且公差d≠0，求证：111
,,
a b c
不可能成等差数列.
8.已知函数
2
()(1)
1
x
x
f x a a
x
-
=+>
+
，用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根.
【B 组题】
1.把54位同学分成若干组，使每组至少有1人，且任意两组的人数不相等，则至多分成
个小组.
2.已知33
2p q +=，求证：2p q +≤。