江苏省南京市2018届高三上学期期初学情调研考试-数学

南京市2018届高三年级学情调研
数学
柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．若集合P ＝{－1，0，1，2}，Q ＝{0，2，3}，则P ∩Q ＝ ▲ ． 2．若(a ＋b i)(3－4i)＝25 (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为 ▲ ．
3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业 倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽 取的学生人数为 ▲ ．
4．如图所示的算法流程图，若输出y 的值为1
2，则输入
x 的值为 ▲ ．
5．记函数f (x )＝4－3x －x 2 的定义域为D ．若在区间 [－5，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率为 ▲ ． 6．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 216－y 2
9＝1的焦点到
其渐近线的距离为 ▲ ．
7．已知实数x ，y 满足条件⎩
⎪⎨⎪⎧2≤x ≤4，
y ≥3，x ＋y ≤8，则z =3x －2y 的最大
值为 ▲ ．
8．将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得 圆柱的体积为27πcm 3，则该圆柱的侧面积为 ▲ cm 2. 9．若函数f (x )＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，|ϕ|＜π)的部分图 象如图所示，则f (－
)的值为 ▲ ．
10．记等差数列{a n }前n 项和为S n ．若a m ＝10，S 2m －1＝110， 则m 的值为 ▲ ．
11．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f (－1)＝－2，则
满足f (2x －3)≤2的x 的取值范围是 ▲ ．
Y
（第4题）
结束
输入x
x ≥0
y ←2x
输出y
N
开始
y ←log 2(－x )
x
O
y
(第9题）
4
π
2
12．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120︒，→BM ＝λ→BC ．若→AM ·→
BC ＝－173
，则实数λ
的值为 ▲ ．
13．在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的
对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为 ▲ ．
14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 2，x ≤0，－3|x －1|＋3，x ＞0．
若存在唯一的整数x ，使得f (x )－a
x ＞0成立，则实
数a 的取值范围为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．
作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点，求证： （1）平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1； （2）A 1C //平面AB 1E ．
16．（本小题满分14分）
在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B ＝4
5．
（1）若c ＝2a ，求sin B
sin C 的值；
（2）若C －B ＝π
4，求sin A 的值．
17．（本小题满分14分）
A 1
B 1
C 1
A
B
C
E
(第15题）
某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时．设f (x )＝t 1＋t 2． （1）求f (x )的解析式，并写出其定义域； （2）当x 等于多少时，f (x )取得最小值？
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点(1，32)．过
椭圆C 的左顶点A 作直线交椭圆C 于另一点P ，交直线l ：x ＝m (m ＞a )于点M ．已知点B (1，0)，直线PB 交l 于点N ． （1）求椭圆C 的方程；
（2）若MB 是线段PN 的垂直平分线，求实数m 的值．
(第18题）
19．（本小题满分16分）
已知函数f(x)＝2x3－3(a+1)x2＋6ax，a∈R．
（1）曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为3，求a的值；
（2）若对于任意x∈(0，+∞)，f(x)＋f(－x)≥12ln x恒成立，求a的取值范围；
（3）若a＞1，设函数f(x)在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M(a)、m(a)，记h(a)＝M(a)－m(a)，求h(a)的最小值．
20．(本小题满分16分)
已知数列{a n}的各项均为正数，记数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n2}的前n项和为T n，且3T n＝S n2＋2S n，n∈N*．
（1）求a1的值；
（2）求数列{a n}的通项公式；
（3）若k，t∈N*，且S1，S k－S1，S t－S k成等比数列，求k和t的值．
南京市2018届高三年级学情调研卷
数学附加题 2017.09
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答．题卡．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷．
卡指定区域内．．．．．．
作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲
如图，CD 是圆O 的切线，切点为D ，CA 是过圆心O 的割线且交圆O 于点B ， DA ＝DC ．求证： CA ＝3CB ．
B ．选修4—2：矩阵与变换
设二阶矩阵A ＝⎣⎡
⎦⎤1234．
（1）求A －
1；
（2）若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线C '：6x 2－y 2＝1，求曲线C 的方程．
C ．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t ，
y ＝t
（t 为参数），圆C
的参数方程
（第21A 题）
为⎩⎨⎧x ＝a ＋cos ，y ＝2a ＋sin
（θ为参数）．若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．
D ．选修4—5：不等式选讲 解不等式：|x －2|＋|x ＋1|≥5．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AP ＝AB ＝AD
＝1．
（1）若直线PB 与CD 所成角的大小为π
3，求BC 的长；
（2）求二面角B －PD －A 的余弦值．
23．（本小题满分10分）
袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号
为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球． （1）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；
（2）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X ，求随机变量X 的概率分布
与数学期望．
C
D
P
B
A
（第22题）
南京市2018届高三年级学情调研
数学参考答案及评分标准
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）
1．{0，2} 2．7 3．16 4．－ 2 5．1
2
6．3 7． 6 8．18
9．－1 10．6
11．(－∞，2] 12．13 13．－4
3
14．[0，2]∪[3，8]
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，
请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．（本小题满分14分）
证明：（1）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1平面ABC ． 因为AE 平面ABC ，
所以CC 1AE ． ……………2分
因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE BC ． 因为BC 平面B 1BCC 1，CC 1平面B 1BCC 1，
且BC ∩CC 1＝C ，
所以AE 平面B 1BCC 1． ………………5分 因为AE 平面AB 1E ，
所以平面AB 1E 平面B 1BCC 1. ……………………………7分 （2）连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝F ，连接EF ．
A 1
B 1
C 1 A
B
C
E
(第15题） F
在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为平行四边形，
所以F 为A 1B 的中点． ……………………………9分 又因为E 是BC 的中点，所以EF ∥A 1C ． ……………………………11分 因为EF 平面AB 1E ，A 1C 平面AB 1E ，
所以A 1C ∥平面AB 1E . ……………………………14分
16．（本小题满分14分） 解：（1）解法1
在△ABC 中，因为cos B ＝4
5，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝45． ………………………2分
因为c ＝2a ，所以(c
2)2＋c 2－b 22c ×
c 2
＝45，即b 2c 2＝9
20，
所以b c ＝3510． ……………………………4分
又由正弦定理得sin B sin C ＝b
c ，
所以
sin B sin C ＝35
10
． ……………………………6分 解法2
因为cos B ＝4
5
，B ∈(0，
)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝3
5
．………………………2分
因为c ＝2a ，由正弦定理得sin C ＝2sin A ， 所以sin C ＝2sin(B ＋C )＝65cos C ＋8
5
sin C ，
即－sin C ＝2cos C ． ………………………4分 又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，sin C ＞0，解得sin C ＝25
5，
所以
sin B sin C ＝35
10
． ………………………6分 （2）因为cos B ＝45，所以cos2B ＝2cos 2B －1＝7
25
． …………………………8分
又0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝3
5
，
所以sin2B ＝2sin B cos B ＝2×35×45＝24
25． …………………………10分
因为C －B ＝π4，即C ＝B ＋π4，所以A ＝π－(B ＋C )＝3π
4
－2B ，
所以sin A ＝sin(3π
4
－2B )
＝sin 3π4cos2B －cos 3π
4sin2B ………………………………12分
＝
22×725－(－22)×2425
＝312
50
． …………………………………14分
17．（本小题满分14分）
解：（1）因为t 1＝9000x
， ………………………2分
t 2＝30003(100－x )＝1000100－x ， ………………………4分
所以f (x )＝t 1＋t 2＝9000x ＋1000
100－x ， ………………………5分
定义域为{x |1≤x ≤99，x ∈N *}． ………………………6分 （2）f (x )＝1000(9x ＋1100－x )＝10[x ＋(100－x )]( 9x ＋1
100－x
)
＝10[10＋9(100－x )x ＋ x
100－x ]． ………………………10分
因为1≤x ≤99，x ∈N *，所以9(100－x )x ＞0，x
100－x
＞0， 所以9(100－x )x ＋ x
100－x
≥2
9(100－x )x x
100－x
＝6， …………………12分 当且仅当9(100－x )x ＝x
100－x ，即当x ＝75时取等号． …………………13分
答：当x ＝75时，f (x )取得最小值． ………………………14分
18．（本小题满分16分） 解：（1）因为椭圆C 的离心率为
3
2
，所以a 2＝4b 2． ………………………2分 又因为椭圆C 过点(1，32)，所以1a 2＋3
4
b 2＝1， ………………………3分
解得a 2＝4，b 2＝1．
所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
＝1． ………………………5分
（2）解法1
设P (x 0，y 0)，－2＜x 0＜2， x 0≠1，则x 02
4
＋y 02＝1．
因为MB 是PN 的垂直平分线，所以P 关于B 的对称点N (2－x 0，－y 0)，
所以2－x 0＝m ． ………………………7分 由A (－2，0)，P (x 0，y 0)，可得直线AP 的方程为y ＝y 0
x 0＋2
(x ＋2)，
令x ＝m ，得y ＝y 0(m ＋2) x 0＋2，即M (m ，y 0(m ＋2)
x 0＋2
)．
因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1，
所以k PB ·k MB ＝y 0
x 0－1·y 0(m ＋2)
x 0＋2 m －1＝－1， ………………………10分
即y 02（m ＋2）(x 0－1)( x 0＋2)( m －1)
＝－1． 因为x 024＋y 02＝1．所以( x 0－2)(m ＋2)4(x 0－1) ( m －1)＝1． ………………………12分
因为x 0＝2－m ，所以化简得3m 2－10m ＋4＝0，
解得m ＝5±133． ………………………15分
因为m ＞2，所以m ＝5＋13
3． ………………………16分
解法2
①当AP 的斜率不存在或为0时，不满足条件． ………………………6分 ②设AP 斜率为k ，则AP ：y ＝k (x ＋2)，
联立⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
4＋y 2＝1，y ＝k (x ＋2)，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0．
因为x A ＝－2，所以x P ＝－8k 2＋24k 2＋1，所以y P ＝4k 4k 2＋1
，
所以P (－8k 2＋24k 2＋1，4k
4k 2＋1)． ………………………8分
因为PN 的中点为B ，所以m ＝2－－8k 2＋24k 2＋1＝16k 2
4k 2＋1．(*) ……………………10分
因为AP 交直线l 于点M ，所以M (m ，k (m ＋2))，
因为直线PB 与x 轴不垂直，所以－8k 2＋24k 2＋1≠1，即k 2≠1
12，
所以k PB ＝4k
4k 2＋1－8k 2
＋24k 2＋1－1
＝－4k 12k 2－1，k MB ＝k (m ＋2)
m －1
． 因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1，
所以－4k 12k 2－1·k (m ＋2)m －1＝－1．（**） ………………………12分
将(*)代入（**），化简得48k 4－32k 2＋1＝0，
解得k 2
＝4±1312，所以m ＝16k 24k 2＋1
＝5±13
3． ………………………15分
又因为m ＞2，所以m ＝5＋13
3
． ………………………16分
19．（本小题满分16分）
解：（1）因为f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ，
所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线斜率k ＝f ′(0)＝6a ，
所以6a ＝3，所以a ＝1
2． ………………………2分
（2）f (x )＋f (－x )＝－6(a ＋1)x 2≥12ln x 对任意x ∈(0，+∞)恒成立，
所以－(a ＋1)≥2ln x
x 2． ………………………4分
令g (x )＝2ln x
x 2，x ＞0，则g '(x )＝2(1－2ln x )x 3
．
令g '(x )＝0，解得x ＝e ．
当x ∈(0，e)时，g '(x )＞0，所以g (x )在(0，e)上单调递增；
当x ∈(e ，＋∞)时，g '(x )＜0，所以g (x )在(e ，＋∞)上单调递减． 所以g (x )max ＝g (e)＝1
e ， ………………………6分
所以－(a ＋1)≥1e ，即a ≤－1－1
e
，
所以a 的取值范围为(－∞，－1－1
e ]． ………………………8分
（3）因为f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，
所以f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )，f (1)＝3a －1，f (2)＝4．
令f ′(x )＝0，则x ＝1或a ． ………………………10分 f (1)＝3a －1，f (2)＝4．
①当1＜a ≤5
3
时，
当x ∈(1，a )时，f '(x )＜0，所以f (x )在(1，a )上单调递减； 当x ∈(a ，2)时，f '(x )＞0，所以f (x )在(a ，2)上单调递增．
又因为f (1)≤f (2)，所以M (a )＝f (2)＝4，m (a )＝f (a )＝－a 3＋3a 2， 所以h (a )＝M (a )－m (a )＝4－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋4． 因为h ' (a )＝3a 2－6a ＝3a (a －2)＜0， 所以h (a )在(1，5
3
]上单调递减，
所以当a ∈(1，53]时，h (a )最小值为h (53)＝8
27．………………………12分
②当5
3
＜a ＜2时，
当x ∈(1，a )时，f '(x )＜0，所以f (x )在(1，a )上单调递减； 当x ∈(a ，2)时，f '(x )＞0，所以f (x )在(a ，2)上单调递增．
又因为f (1)＞f (2)，所以M (a )＝f (1)＝3a －1，m (a )＝f (a )＝－a 3＋3a 2， 所以h (a )＝M (a )－m (a )＝3a －1－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋3a －1． 因为h ' (a )＝3a 2－6a ＋3＝3(a －1)2≥0． 所以h (a )在(5
3
，2)上单调递增，
所以当a ∈(53，2)时，h (a )＞h (53)＝8
27． ………………………14分
③当a ≥2时，
当x ∈(1，2)时，f '(x )＜0，所以f (x )在(1，2)上单调递减， 所以M (a )＝f (1)＝3a －1，m (a )＝f (2)＝4， 所以h (a )＝M (a )－m (a )＝3a －1－4＝3a －5， 所以h (a )在[2，＋∞)上的最小值为h (2)＝1．
综上，h (a )的最小值为8
27
． ………………………16分
20．（本小题满分16分）
解：（1）由3T 1＝S 12＋2S 1，得3a 12＝a 12＋2a 1，即a 12－a 1＝0．
因为a 1＞0，所以a 1＝1． ………………………2分 （2）因为3T n ＝S n 2＋2S n ， ①
所以3T n ＋1＝S n ＋12＋2S n ＋1，②
②－①，得3a n ＋12＝S n ＋12－S n 2＋2a n ＋1． 因为a n ＋1＞0，
所以3a n ＋1＝S n ＋1＋S n ＋2， ③ ………………………5分 所以3a n ＋2=S n ＋2＋S n ＋1＋2，④
④－③，得3a n ＋2－3a n ＋1＝a n ＋2＋a n ＋1，即a n ＋2＝2a n ＋1，
所以当n ≥2时，a n ＋1
a n ＝2． ………………………8分
又由3T 2＝S 22＋2S 2，得3(1＋a 22)＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)， 即a 22－2a 2＝0．
因为a 2＞0，所以a 2＝2，所以a 2
a 1＝2，所以对n ∈N *，都有a n ＋1a n
＝2成立，
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －
1，n ∈N *． ………………………10分
(3)由(2)可知S n ＝2n －1．
因为S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，
所以(S k －S 1)2＝S 1(S t －S k )，即(2k －2)2＝2t －2k ， ………………………12分
所以2t ＝(2k )2－32k ＋4，即2t －2＝(2k －1)2－32k －
2＋1(*)． 由于S k －S 1≠0，所以k ≠1，即k ≥2．
当k ＝2时，2t ＝8，得t ＝3． ………………………14分
当k ≥3时，由(*)，得(2k －1)2－32k －
2＋1为奇数，
所以t －2＝0，即t ＝2，代入(*)得22k －2－32k －
2＝0，即2k ＝3，此时k 无正整数解． 综上，k ＝2，t ＝3． ………………………16分
南京市2018届高三年级学情调研
数学附加题参考答案及评分标准
21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题
卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连接OD ，因为DA =DC ，
所以∠DAO =∠C ．………………………2分
在圆O 中，AO =DO ，所以∠DAO =∠ADO ，
所以∠DOC =2∠DAO =2∠C ．
………………………5分
因为CD 为圆O 的切线，所以∠ODC =90°，
从而DOC ＋C ＝90°，即2C ＋C ＝90°，
故∠C ＝30°， ………………………7分 所以OC ＝2OD ＝2OB ，
所以CB ＝OB ，所以CA ＝3CB ． ………………………10分
B ．选修4—2：矩阵与变换
解：（1）根据逆矩阵公式，可得A －
1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
－2132
－
1
2． ………………………4分 （2）设曲线C 上任意一点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下得到点P
(x
，y
)，
则⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤1234 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x ＋2y 3x ＋4y ，所以⎩⎨⎧x ＝x ＋2y ，y ＝3x ＋4y ．……………………8分
因为(x ，y )在曲线C 上，所以6x 2－y 2＝1，代入6(x ＋2y )2－(3x ＋4y )2＝1，
化简得8y 2－3x 2＝1，
D
B C
O （第21A 题）
所以曲线C 的方程为8y 2－3x 2＝1． ………………………10分
C ．选修4—4：坐标系与参数方程
解：由直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t ，
y ＝t
，得直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0．
………………………2分
由圆C 的参数方程为⎩
⎨⎧x ＝a ＋cos ，
y ＝2a ＋sin ，得圆C 的普通方程为(x －a )2+(y －2a )2＝1．
………………………4分
因为直线l 与圆C 相切，所以∣a －2a ＋1∣
2＝1， ………………………8分
解得a ＝1±2．
所以实数a 的值为1±2． ………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲
解：(1)当x ＜－1时，不等式可化为－x ＋2－x －1≥5，解得x ≤－2；……………………2分
(2)当－1≤x ≤2时，不等式可化为－x ＋2＋x ＋1≥5，此时不等式无解；……………4分 (3)当x ＞2时，不等式可化为x －2＋x ＋1≥5，解得x ≥3； ……………………6分 所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞). …………………………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）
解：（1）以{→AB ，→AD ，→AP }为单位正交基底，建立如图所示的空
间直角坐标系A －xyz ． 因为AP ＝AB ＝AD ＝1，
所以A (0，0，0)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，P (0，0，1)． 设C (1，y ，0)，
则→PB ＝(1，0，－1)，→
CD ＝(－1，1－y ，0)．
…………………………2分
因为直线PB 与CD 所成角大小为π
3，
所以|cos ＜→PB ，→
CD ＞|＝|→PB →CD ∣→PB ∣∣→
CD ∣
|＝1
2， 即
12×1＋(1－y )2＝1
2
，解得y ＝2或y ＝0（舍），
D
P
B
A
（第22题） x y z
所以C (1，2，0)，
所以BC 的长为2． ………………………5分 （2）设平面PBD 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )．
因为→PB ＝(1，0，－1)，→
PD ＝(0，1，－1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧→PB n 1＝0，→PD n 1＝0，
即⎩⎨⎧x －z ＝0，y －z ＝0．
令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，所以n 1＝(1，1，1)． ………………………7分 因为平面P AD 的一个法向量为n 2＝(1，0，0)，
所以cos ＜n 1，n 2＞＝n 1n 2∣n 1∣|n 2∣＝3
3，
所以，由图可知二面角B －PD －A 的余弦值为
3
3
． ………………………10分 23．（本小题满分10分）
解：（1）两个球颜色不同的情况共有C 2
4⋅42＝96(种). ………………………3分
（2）随机变量X 所有可能的值为0，1，2，3．
P (X ＝0)＝4
C 2
496＝1
4， ………………………5分 P (X ＝1)＝3
C 1
4⋅C 1
396＝3
8， P (X ＝2)＝
2
C 1
4⋅C 1396＝1
4
， P (X ＝3)＝C 1
4⋅C 1396＝1
8
．
所以随机变量X 的概率分布列为：
………………………8分
所以E (X )＝0
14
＋138＋214
＋318＝5
4
． ………………………10分
X 0 1 2 3 P
14
38 14
18。