初二数学_[二元一次方程组专题复习]

二元一次方程组
【知识点一：二元一次方程组的有关概念】
二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 【典型例题】1．在下列方程中，不是二元一次方程的有（ ）
A ．x +y =3
B ．xy =3
C ．x －y =3
D ．x =3－y
2．下列方程中，①2x －xy =1；②
1102x y
-=；③x 2
－x =1；④3x －5y =6有（ ）二元一次方程． A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．若关于x ，y 的方程x
m +1
+y
n －2
=0是二元一次方程，则m +n 的和为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【变式练习】1．下列各式中，属于二元一次方程的是（ ）
A ．x 2－25=0
B ．x =2y
C ．y －6=0
D ．x +y +z =0
2．下列四个方程中，是二元一次方程的是（ ） A ．xy =3 B ．2x －y 2=9 C ．1
32x y
=+
D ．3x －2y =0
3．若x a
－2
+3y b +3=15是关于x ，y 的二元一次方程，则a +b 的值为（ ）
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
【提高练习】1．下列式子中，属于二元一次方程的是（ ）
A ．2x +3=x －5
B ．x +y ＜2
C ．3x －1=2－5y
D ．xy ≠1
2．已知：mx －3y =2x +6是关于x 、y 的二元一次方程，则m 的值为（ ）
A ．m ≠0
B ．m ≠3
C ．m ≠－2
D ．m ≠2 3．已知x 2m －
1+3y 4
－2n
=－7是关于x ，y 的二元一次方程，则m 、n 的值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因
此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集． 【典型例题】1．若 是关于x 、y 的二元一次方程ax －3y =1的解，则a 的值为（ ）
A ．－5
B ．－1
C ．2
D ．7
2．方程x +2y =5的正整数解有（ ） A ．一组
B ．二组
C ．三组
D ．四组
3．已知方程5x －2y =1，当x 与y 相等时，x 与y 的值分别是（ ）
A ．x =
13，y =1
3
B ．x =－1，y =－1
C ．x =1，y =1
D ．x =2，y =2
【变式练习】1．二元一次方程5a －11b =21（ ）
A ．有且只有一解
B ．有无数解
C ．无解
D ．有且只有两解
2．若 是方程2x －3y +a =1的解，则a 的值是（ ）
A ．1
B ．
1
2
C ．2
D ．0 3．已知 是二元一次方程2x －y =14的解，则k 的值是（ ）
A ．2
B ．－2
C ．3
D ．－3
4、方程2x +y =9在正整数范围内的解有（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
【提高练习】
1．方程x +y =6的非负整数解有（ ） A ．6个
B ．7个
C ．8个
D ．无数个
2．二元一次方程3x +2y =15在自然数范围内的解的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．
【典型例题】
1、下列方程组中，属于二元一次方程组的是( )
A 、⎩⎨
⎧==+725xy y x
B 、
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=-=+043112y x y x
C 、⎪
⎩⎪
⎨⎧=+=343453y x y x
D 、⎩
⎨
⎧=+=-12382y x y x
2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
3．若方程
组是二元一次方程组，则a 的值为_______．
4．关于x 、y 的方程
组
的解是，则|m －n |的值是（ ）
A ．5
B ．3
C ．2
D ．1
5．若方程组026ax y x by +=⎧⎨
+=⎩的解是1
2x y =⎧⎨=-⎩
，则a +b =_______．
【变式练习】1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A ．2
284
23119 (23754624)
x y x y a b x B C D x y b c y x
x y +=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨
⎨
⎨
⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩ 2．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
3．已知
是二元一次方程
组的解，则2m －n 的算术平方根为（ ） A ．±2
B ．
2
C ．2
D ．4
4．若方程组2x y b x by a +=⎧⎨
-=⎩的解是1
x y =⎧⎨=⎩，那么│a －b │=_____．
【提高练习】1．方程2x +3y =11和下列方程构成的方程组的解是 的方程是（ ）
A ．3x +4y =20
B ．4x －7y =3
C ．2x －7y =1
D ．5x －4y =6
2．已知│2x －y －3│+（2x +y +11）2=0，则（ ） A ．21x y =⎧⎨
=⎩ B ．03x y =⎧⎨=-⎩ C ．15x y =-⎧⎨=-⎩ D ．2
7
x y =-⎧⎨=-⎩
3、若3243y x b a +与b a y x -634是同类项，则=+b a （ ）
A 、－3
B 、0
C 、3
D 、6
【知识点二：二元一次方程组的两种解法】
【例1】若1721x ax by y ax by =+=⎧⎧⎨⎨
=--=-⎩⎩
是方程组的解，则a =______，b =_______． 【变式练习】1、以x 、y 为未知数的方程组⎩⎨⎧=+=-24by ax by ax 与方程组⎩
⎨⎧=+=+6544
32y x y x 的解相同，试求a 、b 的值．
2、若把上面题目改成方程组45
1x y ax by -=⎧⎨
+=-⎩与
⎩⎨
⎧=-=+18
439
3by ax y x 的解相同，试求a 、b 的值． 【例四】已知二元一次方程3x +4y =6，当x 、y 互为相反数时，x =_____，y =______；当x 、y 相等时，x =______，y = _______ ． 【例五】已知2x 2m
－3n －7
－3y m +3n +6=8是关于x ，y 的二元一次方程，求n 2m
【变式练习】
1、若2a y +5b 3x 与－4a 2x b 2
－4y
是同类项，则a =______，b =_______．
2、如果（5a －7b +3）2+53+-b a =0，求a 与b 的值． 【扩展】代入法在一些特殊方程中的巧妙应用
⎩⎨
⎧-=+-=+1)(258
y x x y x
【例五】方程组⎩⎨
⎧-=+=-252132y x y x 中，x 的系数特点是______；方程组⎩⎨⎧=-=+4
378
35y x y x 中，y 的系数特点是________.
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-+4
2
31432y x y y
x 这两个方程组用__________________法解比较方便．
【变式练习】【例六】已知方程mx +ny =10有两个解，分别是⎩⎨
⎧-==⎩⎨
⎧=-=1
2
21y x y x 和，则m =________，n =__________. 【变式练习】1、若2a +3b =4和3a －b =－5能同时成立，则a =_____，b =______.
2、如果二元一次方程组⎩
⎨⎧=-=+a y x a
y x 4的解是二元一次方程3x －5y －28=a 的一个解，那么a 的值是_________.
3、若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨
⎧-=+=+1
532m y x m
y x 的解x 与y 的差是7，求m 的值．
4、若3122
x m y m =+⎧⎨
=-⎩，是方程组1034=-y x 的一组解，求m 的值．
5、二元一次方程343x my mx ny -=+=和有一个公共解1
1
x y =⎧⎨
=-⎩，求m 和n 的值.
【例七】已知⎩
⎨⎧=+=+827
2y x y x ，那么x －y 的值是___________.
【变式练习】
1、已知⎩⎨
⎧=+=+8272y x y x ，则y x y x +-=_________. 2、已知⎩⎨⎧=-=+a
y x a y x 22，a ≠0，则y x
=__________.
观察思考，选择适当的方法消元并加以归纳总结
(1) (2)
(3) （4）
【知识点三：一次函数与二元一次方程（组）的综合应用】
1．若直线y =
2
x
+n 与y =mx －1相交于点(1，－2)，则( )． A ．m =
12，n =－52 B ．m =12，n =－1 C ．m =－1，n =－52 D ．m =－3，n =－32 2．直线y =12x －6与直线y =－231x －11
32
的交点坐标是( )．
A ．(－8，－10)
B ．(0，－6)
C ．(10，－1)
D ．以上答案均不对 3．在y =kx +b 中，当x =1时y =2；当x =2时y =4，则k ，b 的值是( )． A ．0
0k b =⎧⎨
=⎩ B .
20k b =⎧⎨=⎩ C ．3
1k b =⎧⎨=⎩ D . 0
2
k b =⎧⎨=⎩ 4．直线kx －3y =8，2x +5y =－4交点的纵坐标为0，则k 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2
5．已知43
53x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，是方程组3,12x y x
y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩的解，那么一次函数y =3－x 和y =2x +1的交点是________． 6．一次函数y =3x +7的图像与y 轴的交点在二元一次方程－2x +by =18上，则b =_________．
7．已知关系x ，y 的二元一次方程3ax +2by =0和5ax －3by =19化成的两个一次函数的图像的交点坐标为(1，－1)，则a =_______，b =________．
8．已知方程组230,2360y x y x -+=⎧⎨+-=⎩的解为4,
31,
x y ⎧
=⎪⎨⎪=⎩则一次函数y =3x －3与y =－32x +3的交点P 的坐标是______．
9．若直线y =ax +7经过一次函数y =4－3x 和y =2x －1的交点，求a 的值．
10．(1)在同一直角坐标系中作出一次函数y =x +2，y =x －3的图像． (2)两者的图像有何关系?
(3)你能找出一组数适合方程x －y =2，x －y =3吗?________，这说明方程组2,
3,x y x y -=-⎧⎨-=⎩
_______．
11．如图所示，求两直线的解析式及图像的交点坐标．
⎩⎨⎧=+-=6
5732y x y x ⎩⎨⎧=-=+63419
53y x y
x
12．在直角坐标系中，直线L1经过点(2，3)和(－1，－3)，直线L2经过原点，且与直线L1交于点(－2，a)．
(1)求a的值．
(2)(－2，a)可看成怎样的二元一次方程组的解?
(3)设交点为P，直线L1与y轴交于点A，你能求出△APO的面积吗?
【知识点四：二元一次方程组应用题】
【一、百分数问题】
1．某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加工厂1.1％，这样全市人口将增加1％，求这个市现在的城镇人口与农村人口?
2．要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少? 3．校办工厂去年的总收入比总支出多50万元，今年的总收入比去年增加了10%，总支出节约了20%，因而总收入比总支出多100万元. 求去年我校校办工厂的总收入和总支出各多少万元?
4．某工厂去年的利润（总产值－总支出）为200万元，今年的总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元。

去年的产值、总支出各是多少万元?
【二、分配问题】
1．一张桌子由桌面和四条脚组成，1立方米的木材可制成桌面50张或制作桌脚300条，现有5立方米的木材，问应如何分配木材，可以使桌面和桌脚配套?
2、北京和上海能制造同型号电子计算机，除本地使用外，北京支援外地10台，上海可支援外地4台，现在决定给重庆8台，武汉6台，每台运费如表所示. 现在有一种调运方案的总运费为7600元. 问：这种调运方案中北京、上海分别应调给武汉、重庆各多少台?
3、用白铁皮做罐头盒。

每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。

现有150张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以刚好配套?
4、一船队运送一批货物，如果每艘船装50吨，还剩下25吨装不完；如果每艘船再多装5吨，还有35吨空位．求这个船队共有多少艘船，共有货物多少吨?
【三、几何问题】
1．如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少?
【四、和差倍问题】
1、今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一. 小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一. 试求出今年小李的年龄.
2、游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。

如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗?
3、甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿来10本，那么甲拥有的书是乙所剩书的5倍；如果乙从甲处拿来10本，那么乙所有的书与甲所剩的书相等，问甲、乙两人原来各有几本书? 【五、数字问题】
1．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数?
2、两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。

3、一个两位数字，个位数字比十位数字大5，如果把这两数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数．
【六、鸡兔同笼】
1、鸡与兔共100只，鸡的腿数比兔的腿数少28条，问鸡与兔各有几只?
2、有20张5元和10元的人民币，一共是175元，5元和10的人民币各有多少张?
【七、行程、工程问题】
1、甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙的西边300米，若甲、乙两人同时向东走30分钟后，甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2分钟后相遇，问甲、乙两人的速度是多少?
2、李明与王云分别从A、B两地相向而行，若两人同时出发，则经过80分钟两人相遇；若李明出发60分钟后王云再出发，则经过40分钟两人相遇，问李明与王云单独走完AB全程各需多少小时?
【题型四：金融问题】
1、某超市为“开业三周年”举行了店庆活动．对A、B两种商品实行打折出售．打折前，购买5件A商品和1件B商品需用84元；购买6件A商品和3件B商品需用108元．而店庆期间，购买50件A商品和50件B商品仅需960元，这比不打折少花多少钱?
2、某人用24000元买进甲、乙两种股票，在甲股票升值15％，乙股票下跌10％时卖出，共获利1350元，试问某人买的甲、乙两股票各是多少元?
3、2008年5月12日，四川省汶川县发生里氏8. 0级强烈地震，给当地人民造成巨大的损失．全国迅速组织捐款支援灾区，我校七年级(1)班55名同学共捐款830元，捐款情况如右表．表中捐款2元和5元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你帮助确定表中数据，并说明理由．
4、某酒店客房部有三人间、双人间客房，收费数据如下表．
普通（元/间/天）豪华（元/间/天）
三人间150 300
双人间140 400
为吸引游客，实行团体入住五折
．．优惠措施．一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人普通间和双人普通间客房．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1510元，则旅游团住了三人普通间和双人普通间客房各多少间?
5、某中学组织一批学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知45座客车租金每辆220元，60座客车租金为每辆300元，试问：
捐款10 15 30 50
人数18 4
⑴这批学生人数是多少? 原计划租用45座客车多少辆?
⑵若租用同一种车，要使每位学生都有座位，怎样租用更合算?。