辽宁省丹东市高三数学总复习质量测试(一)试题 理 新人

科目：数学（供理科考生使用）
（试题卷）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试题卷上规定的位置，核准条形码上的信息与本人相符并完全正确后将条形码粘贴在答题卡上相应位置。

2．考生在答题卡上要按要求答卷，考生必须在答题卡上各题目规定答题区域内答题，超出答题区域书写的答案无效。

第I 卷和第II 卷均不能答在本试题卷上，在试题卷上答题无效。

3．答选考题时，考生须先用2B 铅笔在答题卡上按照要求把所选题目对应的题号涂黑，再用黑色水签字笔按照题目要求作答。

答题内容与所选题号不符，答题无效。

作答的选考题号未涂，答题无效。

选考题多答，按考生在答题卡上答题位置最前的题计分。

4．考试结束时，将本试题卷和答题卡一并交回。

5．本试题卷共6页，如缺页，考生须声明，否则后果自负。

姓 名
准考证号
2013届高三总复习质量测试（一）
数学（供理科考生使用）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第（22）题～第（24）题为选考题，其它题为必考题．第I 卷1至3页，第II 卷3至6页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． （1）已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则()U A B =U ð
（A ）{1,2,4}
（B ）{2,3,4}
（C ）{0,2,4}
（D ）{0,2,3,4}
（2）已知i 为虚数单位，若复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z 的虚部等于
（A ）2 （B ）3
（C ）2i （D ）3i
（3）设tan tan αβ、是方程2
320x x -+=的两个根，则tan()αβ+=
（A ）3-
（B ）3
（C ）1-
（D ）1
（4）已知一个锥体的主视图和左视图
如右图所示，下列选项中，不可 能是该锥体的俯视图的是
（A ）
（B ）
（C ）
（D ）
（5）在等差数列{}n a 中，4816a a +=，则3510a a a ++=
（A ）16 （B ）20 （C ）24 （D ）32
（6）设(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点
通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是 （A ）x 和y 正相关
（B ）x 和y 的相关系数在1-到0之间 （C ）x 和y 的相关系数为直线l 的斜率
（D ）当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同
（7）若双曲线22
21(0)36
x y a a -
=>的顶点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为 （A ）3
（B
（C ）2
（D
（8）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足：(4)()f x f x +=--，且02x <≤时，
2()log (3)f x x =+，则(11)f =
（A ）2
（B ）2- （C ）1 （D ）1-
（9）将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组各2人，则甲、乙分在同一组
的概率是 （A ）
521
（B ）
542
（C ）
821
（D ）
421
（10）直线0x y t ++=与圆2
2
2x y +=相交于M N 、两点，已知O 是坐标原点，若
||||OM ON MN +≤u u u u r u u u r u u u u r
，则实数t 的取值范围是
（A
）(,)-∞+∞U （B ）[2,2]- （C
）[2,2]-U （D
）[
（11）过抛物线2
4y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，点O 是坐标原点，若
||5AF =，则△AOB 的面积为
（A ）5
（B ）
52
（C ）
32
（D ）
178
（12）定义一种运算符号“→”，两个实数
,a b 的“a b →”运算原理如图所示，
若()(0)(2)f x x x x =→⋅-→，则
()y f x =在[2,2]x ∈-时的最小值是
（A ）8-
（B ）1
4
-
（C ）2- （D ）6-
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置． （13）已知向量(1,2)=a ，(,4)x =-b ，若向量a 与b 共线，则x = ； （14）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a -=，则
4
2
S S = ；
（15）利用计算机随机在[0，4]上先后取两个数分别记为x ,y ，在平面直角坐标系
中，点P 的坐标为(3,)x x y --，则P 点在第一象限的概率是 ；
（16）在三棱锥P ABC -中，90BAC ∠=o
，1AB =
，AC =
，PB PC ==
平面ABC ⊥平面PBC ，若点P A B C 、、、都在同一球面上，则该球的半径 等于 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说
明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
已知函数2
1
()cos
cos (0)2
f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π．
（I ）求ω值及()f x 的单调递增区间；
（II ）在△ABC 中，a b c 、、分别是三个内角C B A 、、所对边，若1a =，
b =
()22
A f =，求
B 的大小．
（18）（本小题满分12分）
某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取20名同学的成绩（百分制）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．
（I ）求分数在[70,80）内的频率，补全这
个频率分布直方图，并从频率分布直方图中， 估计本次考试的平均分；
（II ）若从20名学生中随机抽取2人，抽 到的学生成绩在[40,70）记0分，在[70,100]记 1分，用X 表示抽取结束后的总记分，求X 的 分布列和数学期望．
（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是正三角形，底面ABCD 直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=o ，22AD BC ==
，CD =，平面PAD ⊥底面ABCD ，若M 为AD 的中点．
（I ）求证：BM ⊥面PAD ； （II ）在线段PC 上是否存在点E ， 使二面角E BM C --等于30o
，若存 在，求
PE
EC
的值，若不存在，请说明 理由．
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点3
(1,)2
，其离心率12e =．
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）过坐标原点O 作不与坐标轴重合的直线l 交椭圆C 于P Q 、两点，过P 作x 轴的垂线，垂足为D ，连接QD 并延长交椭圆C 于点E ，试判断随着l 的转动，直线PE 与l 的斜率的乘积是否为定值？说明理由．
（21）（本小题满分12分）
已知0a >，()g x 是函数1
()()ln x f x x a x ax
-=-+
的导函数． （I ）当1a =时，求函数()g x 的单调递减区间；
（II ）当1a >时，求证：函数()g x 在[1,)x ∈+∞是单调递增函数；
（III ）若存在0[1,)x ∈+∞，使得不等式0()0f x <成立，求实数a 的取值范围．
A
B
C
D
P
M
E
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，在△ABC 中，90C ∠=o
，ABC ∠平分线BE 交AC 于点E ，点D 在AB 上，
90DEB ∠=o ．
（I ）求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线；
（II ）
若AD =6AE =，求△BDE 的面积．
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，两坐标系取相同的长度单位，将曲线5cos sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）
上每一点的横坐标变为原来的
1
5
（纵坐标不变），然后将所得图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到曲线C ；以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l
的极坐标方程为sin()4
π
ρα-
=
（I ）求曲线C 的普通方程；
（II ）设直线l 与曲线C 交于A B 、两点，与x 轴交于点P ，求||||PA PB ⋅的值．
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知2
()|2|f x x x =-+，2
()||()g x x x a a a =--+∈R ． （I ）解不等式()4f x ≤；
（II ）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．
丹东市2013届高三总复习质量测试（一）
数学（理科）试题参考答案与评分参考
说明：
一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
（1）C （2）B （3）A （4）D （5）C （6）B （7）A
（8）B
（9）A
（10）D
（11）B
（12）D
（12）解析：2,20
(),02
x x x f x x x ⎧-+-≤≤=⎨-<≤⎩，所以()f x 最小值是6-．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
（13）2-
（14）5
（15）
7
32
（16）1
三、解答题：本大题共6小题，共70分． （17）解：
（I ）1cos 21()2sin(2)2226
x f x x x ωπ
ωω+=
+-=+， …………（2分）
∵()f x 最小正周期为π，∴ 1ω=，
…………（4分）
()sin(2)6f x x π=+，()f x 增区间是[,]()36
k k k ππ
ππ-+∈Z ；
…………（6分） （II ）∵()2A f =
a b <，∴ 6
A π=，
…………（8分）
∵1a =，b =，由正弦定理sin sin 2
b A B a =
=， …………（10分）
∵a b <，∴4
B π
=或34
B π
=
．
…………（12分）
（18）解：
（I ）设分数在[70,80）内的频率是x ，则 (0.01+0.15×
2+0.025+0.005)
×
10+x =1，
0.3x =，
…………（2分）
直方图如图（图画出，0.030标明），
…………（4分）
估计本次考试的平均分为：
450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；
…………（6分） （II ）学生成绩在[40,70）的有0.4208⨯=人，在在[70,100]的有12人， X 可取值是0,1,2，
2081222014(0)95C C P X C ===，1181222048(1)95C C P X C ===，02
8122
2033
(2)95
C C P X C === X X
0 1 2
P
1495
48
95
3395
∴0129595955
EX =⨯+⨯+⨯=．
…………（12分）
（19）解：
（I ）∵//AD BC ，2AD BC =，M 为AD 的中点， ∴四边形BCDM 为平行四边形，
…………（2分） ∴//BM CD ，∵90ADC ∠=o
，∴BM AD ⊥，
…………（4分）
又∵平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD I 平面ABCD AD =， ∴BM ⊥平面PAD ；
…………（6分）
（II ）侧面PAD 是正三角形，M 为AD 的中点，∴PM AD ⊥， 由（I ）知PM AD MB 、、两两垂直，
…………（7分）
如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)M ，(0,0,3)P ，(0,3,0)B ，(1,3,0)C -， 平面BMC 的法向量为(0,0,1)=n ，
………（8分）
设(,,)E x y z ，则(,,3)PE x y z =-u u u r
， (1,3,)EC x y z =----u u u r ，设(0)PE tEC t =>u u u r u u u r
，
则(1)(3)3(x t x y t y z t z =--⎧⎪
=-⎨⎪
-=-⎩），(,3,3)E t t -，………（9分） ∵(0,3,0)MB =u u u r ，(,3,3)ME t t =-u u u r
，
∴平面EBM 法向量为(3,0,)t =m ，
…………（10分）
二面角E BM C --等于30o
，∴
||||⋅=
n m n m ，
2
=
，解得3t =，∴存在点E ，3PM MC =． …………（12分）
（20）解：
（I ）∵12e =
12
=，22
34a b =，
…………（2分）
∵点3(1,)2在椭圆C 上，∴
221914a b
+=， …………（4分）
解得2
4a =，2
3b =，∴椭圆C 的方程是22
143
x y +=； …………（6分）
（II ）（方法1）设直线l 方程是y kx =，11(,)P x y ，22(,)E x y ， 则11(,)Q x y --，1(,0)D x ，直线QD 的斜率是1122
y k
x =， 直线QD 方程是1()2
k
y x x =
-，
…………（8分）
由122
()2143k y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22222
11(3)2120k x k x x k x +-+-=， 则21122
23k x x x k
-+=+， ∴211211
2212121212
2()3232223PE l k x k k
kx x x kx y y k k k k k k k x x x x x k ⋅----+⋅=⋅=⋅=⋅=---+， 直线PE 与l 的斜率的乘积是定值3
2
-
． …………（12分）
（方法2）设11(,)P x y ，22(,)E x y ，则11(,)Q x y --，1(,0)D x
由22
1122
221431
4
3x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2221222134y y x x -=--， …………（8分）
∵Q D E 、、三点共线，∴
121
121
2y y y x x x +=+， …………（10分）
∴2221121212122
2112121212()2()3
2
PE l y y y y y y y y y k k x x x x x x x x x --+-⋅=⋅=⋅==---+-， 直线PE 与l 的斜率的乘积是定值3
2
-． …………（12分）
（21）解：
（I ）211
()ln +x g x x x x
-=+，23
2()x x g x x +-'=， …………（2分） 由()0g x '<得函数()g x 的单调递减区间是(0,1)；
…………（4分）
（II ）21
()ln +x a g x x x ax
-=+，2232()ax a x g x ax +-'=
， 当1a >时，3
2)(1)
(1)0a a g ax +-'=
>(，
∵二次函数2
2
2y ax a x =+-在[1,)x ∈+∞是增函数，∴()(1)0g x g ''≥>， ∴函数()g x 在[1,)x ∈+∞是单调递增函数；
…………（8分）
（III ）当01a <≤时，()0f x '>，()f x 在[1,)x ∈+∞是增函数，()(1)0f x f ≥=， 不存在0[1,)x ∈+∞，使得不等式0()0f x <成立；
…………（10分）
当1a >时，函数()f x '在[1,)x ∈+∞是单调递增函数， 若(1)0f '≥
，即1
12
a <≤
，则()(1)0f x f ''≥≥， ()f x 在[1,)x ∈+∞是增函数，()(1)0f x f ≥≥，
也不存在0[1,)x ∈+∞，使得不等式0()0f x <成立； 若(1)0f '<
，即a >
，则存在[1,)m ∈+∞， 当[1,)x m ∈时，()0f x '<，()f x 在[1,)x m ∈是减函数，()(1)0f x f ≤= 此时存在0[1,)x m ∈，使得不等式0()0f x <成立， 综上，实数a
的取值范围是)+∞． …………（12分）
（22）解：
（I ）取BD 的中点O ，连接OE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠CBE =∠OBE ， 又∵OB =OE ，∴∠OBE =∠BEO ，∴∠CBE =∠BEO ，∴BC ∥OE ， ∵∠C =90°，∴OE ⊥AC ，∴AC 是△BDE 的外接圆的切线；
…………（5分）
（II
）∵AD =6AE =，2
AE AD AB =⋅，
11
∴AB =
1122
OE DB AO ===， ∴30A ∠=o ，∴30DBE ∠=o
，∴DE =6BE =，
∴△BDE
的面积是 …………（10分）
（23）解：
（I ）曲线5cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩上每一点的横坐标变为原来的15，得到cos sin x y θ
θ=⎧
⎨=⎩，
将所得图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到曲线cos 2
sin 3x y θθ=+⎧⎨=+⎩，
消去θ得曲线C 的普通方程是22(2)(3)1x y -+-=； …………（5分） （II ）设直线l 直角坐标方程是2y x =+，∴(2,0)P -，
直线l 倾斜角是45o
，参数方程是222x t
y t
⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）
，
代入曲线C
得2240t -+=，20∆=>，
1224t t =，∴12||||||24PA PB t t ⋅==． …………（10分）
（24）解：
（I ）不等式2|2|4x x -+≤的解集是以下2个不等式组解集的并集：
2260x x x ≥⎧⎨+-≤⎩，或2220
x x x <⎧⎨--≤⎩，
∴不等式()4f x ≤解集是{|12}x x -≤≤； …………（5分） （II ）不等式()()f x g x ≥即|2|||x x a a -+-≥
∵|2||||2||||2|x x a x a x a -+-=-+-≥-，
∴若不等式()()f x g x ≤恒成立，则|2|a a -≥，
解得a 的取值范围是{|1}a a ≤． …………（10分）。