北师大版数学高一必修4优化练习3.1同角三角函数的基本关系

§8 同角三角函数的基本关系
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下列结论能成立的是（ ）
A .sinα=21且cosα=21
B .tanα=2且3
1sin cos =αα C .tanα=1且cosα=
22 D .sinα=1且tanα·cosα=1 解析：同角三角函数的基本关系式中要注意理解“同角”的含义；关系式是指一个角的不同三角函数值之间的关系，这个角可以是任意角.
答案：C
2.（1）若tanα=-2且α为第二象限角，求sinα、cosα；
（2）若tanα=-2，求sinα、cosα.
解：（1）由题意和基本关系式可列下列方程组：
⎪⎩
⎪⎨⎧-==+)2(.2cos sin )1(,1cos sin 22αααα 由②得sin α=-2cos α，代入①式整理得5cos 2α=1，cos 2α=5
1.又α为第二象限角，所以cos α=55-，sin α=5
52. （2）由（1）可得cos 2α=
51.又α可为第二、四象限角，所以当α为第二象限角时，cos α=55-，sin α=552；当α为第四象限角时，cos α=55，sin α=5
52-. 3.已知x 、y 满足⎩⎨⎧==).
2(cos 3),1(sin 3 θθy x 求x 、y 之间的函数关系式.
解：由①：x 2=9sin 2θ，∴sin 2θ=9
2x . ③ 由②：y 2=9cos 2θ，∴cos 2θ=9
2
y . ④ 将③④代入sin 2θ+cos 2θ=1中，可得9
922y x +=1,∴x 、y 满足x 2+y 2=9. 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知sinθ=5
4，θ为第二象限角，则tanθ等于（ ）
A.34
B.43
C.34-
D.4
3- 解析：由sin θ=54且θ为第二象限角，知cos θ=53sin 12-=--θ，∴tan θ=34cos sin -=θθ. 答案：C
2.若tanα=-1，则sinα+cosα的值是（ ）
A.2
B.2-
C.0
D.±2
解析：由tan α=-1，知α=kπ+43π（k ∈Z ）.不妨取α=43π，则sin α=sin 4
3π=22，cos α=cos 4
3π=22-. ∴sin α+cos α=
2222-=0.故选C. 答案：C
3.若tan100°=k ，则sin80°的值等于（ ）
A.21k k
+ B.k k 2
1+ C.21k k
+- D.k k 2
1+- 解析：∵100°=180°-80°，
∴tan100°=tan （180°-80°）=-tan80°=k.
∴tan80°=-k （k ＜0）.
又tan 280°=︒
-︒=︒︒80sin 180sin 80cos 80sin 2222, ∴︒-︒80sin 180sin 22=k 2，即sin 280°=1
22+k k . ∵k<0，∴sin80°=12+-
k k . 答案：C
4.已知sin （π+α）=5
3（α是第四象限的角），则cos （α-2π）=_____________. 解析：∵sin （π+α）=-sin α，
∴sin α=5
3-. 而cos （α-2π）=cos （2π-α）=cos α，据
α属于第四象限，且cos 2α=1-sin 2α，知cos α=
5
4)53(12=--. 答案：5
4 5.已知sinα-cosα=
2
1，求sin 3α-cos 3α的值. 解：将sin α-cos α=21两边同时平方，得1-2sin αcos α=4
1， 即sin αcos α=8
3. ∴sin 3α-cos 3α=（sin α-cos α）（sin 2α+cos 2α+sin αcos α）=1611)831(21=+. 6.已知tanα=-2，求下列各式的值：
（1）ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-； （2）41sin 2α+5
2cos 2α. 解：∵tan α=-2，则cos α≠0. （1）
)2(352)2(4tan 352tan 4sin 3cos 5cos 2sin 4-⨯+--⨯=+-=+-αααααα=10； （2）2571
tan 52tan 41cos sin cos 52sin 41cos 52sin 4122222222=++=++=+αααααααα. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.若cosα=tanα，则sinα的值是（ ） A.215- B.2
15-± C.215-- D.以上皆错 解析：由cos α=tan α，得cos 2α=sin α.
∴1-sin 2α=sin α，即sin 2α+sin α-1=0.
解之,得sin α=2
51±-. 又cos α=tan α，∴α属于第一或第二象限.
∴sin α=2
51±-. 答案：A
2.使α
αααsin 1cos cos 1cos 1-=+-成立的α的取值范围是（ ） A.2kπ-π＜α＜2kπ（k ∈Z ） B.2kπ-π≤α≤2kπ（k ∈Z ）
C.2kπ+π＜α＜2kπ+32
π（k ∈Z ） D.只能是第三或第四象限
解析：∵|sin |cos 1cos 1)cos 1(cos 1cos 122ααα
ααα-=--=+-, 若α
αααsin 1cos |sin |cos 1-=-，则sin α＜0， ∴角α的终边落在x 轴的下方区域，即2kπ-π＜α＜2kπ（k ∈Z ）.
答案：A
3.已知
θ
θθθcos sin cos sin -+=2，则sinθ·cosθ的值为（ ） A.43 B.±103 C.103 D.10
3- 解析：已知等式两边平方得θθθθcos sin 21cos sin 21•-•+=4，从而sin θ·cos θ=103. 答案：C
4.已知sinαcosα=
83且4π＜α＜2
π，那么cosα-sinα的值是（ ） A.21 B.21- C.41- D.±21 解析：∵24π
απ
<<，∴sin α＞cos α.
∴cos α-sin α＜0.
又（cos α-sin α）2=1-2sin αcos α=1-2×4143183=-
=， ∴cos α-sin α=2
1-
. 答案：B 5.已知tan （π+α）=43-（23π＜α＜2π），则cos （2
π+α）=_______________. 解析：∵tan （π+α）=tan α=43-，而cos （2π+α）=-sin α， 由tan α=ααcos sin ，得tan 2α=αα22sin 1sin -.∴αα22sin 1sin 169-=，即sin 2α=25
9. 注意到
23π＜α＜2π，∴sin α＜0，即sin α=53-，从而cos （2
π+α）=53. 答案：53 6.设tan （5π+α）=m （m≠0），则
)cos()sin()cos()3sin(απααπαπ+--+++=_________________. 解析：tan （5π+α）= tan α=m ，
而所求函数式=1
11tan 1tan cos sin cos sin cos sin cos sin -+=-+=-+=+---m m αααααααααα.
答案：1
1-+m m 7.设sinθ、cosθ是方程4x 2-4mx+2m-1=0的两根且
23π＜θ＜2π，则实数m 的值为_____________.
解析：由题意可知sin θ+cos θ=m ，sin θ·cos θ=
412-m ， ∴（sin θ+cos θ）2=m 2.
∴1+2sin θ·cos θ=m 2.
从而1+2
12-m =m 2，∴2m 2-2m-1=0. 解之,得m=
231±. 又θ∈（2
3π，2π），∴sin θ·cos θ＜0. ∴2m-1＜0，即m ＜
21.∴m=231-. 答案：2
31- 8.当α∈（0，4
π）时，化简ααααcos sin 1cos sin 21++-. 解：原式=22)cos (sin )cos (sin αααα++-=|sin α-cos α|+|sin α+cos α|，∵α∈（0，4π），
0＜sin α＜cos α，
∴原式=-（sin α-cos α）+sin α+cos α=2cos α.
9.已知sin （π-α）-cos （π+α）=32（2
π＜α＜π），求sinα-cosα的值. 解：由已知，得sin α+cos α=32，平方得1+2sin αcos α=92，∴2sin αcos α=9
7-. 又2
π＜α＜π， ∴sin α-cos α=3
4)97
(1cos sin 21)cos (sin 2=--=-=-αααα. 10.已知θ∈［0，2π），而sinθ、cosθ是方程x 2-kx+k+1=0的两实数根，求k 和θ的值. 解：∵sin θ、cos θ是方程x 2-kx+k+1=0的两实数根，∴⎩⎨⎧+=•=+.
1cos sin ,cos sin k k θθθθ 代入（sin θ+cos θ）2=1+2sin θcos θ中整理可得k 2=1+2（k+1），即k 2-2k-3=0.
∴k=-1或k=3（舍）. 代回原方程组得⎩⎨⎧=-=+.0cos sin ,1cos sin θθθθ ∴⎩
⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==,0cos ,1sin 1cos ,0sin θθθθ或 即θ=π或θ=
23π.。