21-22版：3.2.2 函数模型的应用实例（创新设计）

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规律方法 指数型、对数型函数问题的类型及解法 (1)指数型函数模型：y＝max(a>0且a≠1，m≠0)，在实际问 题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题 都可用指数型函数模型来表示． (2)对数型函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对 数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算 求解． (3)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找 出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数， ③依题设数据解决数学问题，④得出结论．
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规律方法 利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配 方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求最值， 从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． (2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符．
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(3)由(2)得到的函数模型为y＝2.2＋1.8x，则当x=25时，y＝2.2 ＋1.8×25＝47.2，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土 地约为47.2公顷．
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规律方法 建立拟合函数与预测的基本步骤
【训练 1】 某水厂的蓄水池中有 400 吨水，每天零点开始由 池中放水向居民供水，同时以每小时 60 吨的速度向池中注 水，若 t 小时内向居民供水总量为 100 6t(0≤t≤24)，则每 天何时蓄水池中的存水量最少．
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解 设 t 小时后，蓄水池中的存水量为 y 吨， 则 y＝400＋60t－100 6t(0≤t≤24)． 设 u＝ t，则 u∈[0,2 6]，y＝60u2－100 6u＋400 ＝60u－56 62＋150， ∴当 u＝566即 t＝265时，蓄水池中的存水量最少．
常 用
(3)指数型函数模型
y＝bax＋c(a，b，c 为常数，b≠0， a>0 且 a≠1)
函 数
(4)对数型函数模型
y＝mlogax＋n(m，a，n a>0 且 a≠1)
为常数，m≠0，
模 (5)幂型函数模型 y＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0)
型
(6)分段函数
y＝caxx＋＋db，，xx≥<mm，.
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【预习评价】 一个矩形的周长是40，矩形的长y关于宽x的函数解析式为 () A．y＝20－x(0<x<10) B．y＝20－2x(0<x<20) C．y＝40－x(0<x<10) D．y＝40－2x(0<x<20) 解析 由题意可知2y＋2x＝40，即y＝20－x，又20－x>x， 所以0<x<10，故选A． 答案 A
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题型四 建立拟合函数模型解决实际问题
【 例 4】 为 了 估 计山上积雪融 化后对下游灌
年序 1 2
最大积雪深度x(cm) 15.2 10.4
灌溉面积y(公顷) 28.6 21.1
溉的影响，在 3
21.2
40.5
山上建立了一 4
18.6
36.6
个观察站，测 5
26.4
49.8
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(3)设从今年开始，n 年后森林面积为 22a·(1－p%)n，
令 22a(1－p%)n≥14a，即(1－p%)n≥ 42，
1 n 210
≥1223
，得1n0≤32，解得 n≤15，
故今后最多还能砍伐 15 年．
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题型三 分段函数模型
【例 3】 经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近 20 天 内的销售量(件)与价格(元)均为时间 t(天)的函数，且销售量 近似满足 g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足
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解 (1)由 v＝12log310θ0可知， 当 θ＝900 时，v＝12log3910000＝12log39＝1(m/s)． 所以当一条鲑鱼的耗氧量是 900 个单位时，它的游速是 1 m/s. (2)由 v2－v1＝1，即12log31θ020－12log31θ010＝1，得θθ21＝9.所以耗氧 量的单位数为原来的 9 倍．
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知识点2 解决函数应用问题的步骤 利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几 个步骤进行： (一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原． 这些步骤用框图表示如图：
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【预习评价】 某工厂生产某种产品固定收入 K 是单位产品数 Q 的函数，K(Q)＝40Q－210Q2，则总利润 L(Q)的最大值是 ________万元．
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题型二 指数型函数、对数型函数模型
【例 2】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经 研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数 v＝12log310θ0，单位是 m/s，θ 是表示鱼的耗氧量的单位数． (1)当一条鲑鱼的耗氧量是 900 个单位时，它的游速是多少？ (2)某条鲑鱼想把游速提高 1 m/s，那么它的耗氧量的单位数 是原来的多少倍．
f(t)＝2155－＋1212tt，，100≤<tt≤≤1200
(元)．
(1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数 表达式；
(2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值．
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解 (1)由已知，由价格乘以销售量可得： y＝1255＋ －1212tt8800－ －22tt， ，01≤ 0<tt≤≤1200 ＝t5＋0－30t4400－ －tt， ，01≤ 0<tt≤≤1200 ＝－ t2－t2＋ 901t＋0t＋ 2 010020，0， 10<0≤t≤t≤201.0，
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解 (1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y 元， 则x∈(100,300]，n＝kx＋b(k<0).∵0＝300k＋b，即b＝ －300k，∴n＝k(x－300)． ∴利润y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－ 10 000k(x∈(100,300]). ∵k<0，∴x＝200时，ymax＝－10 000k， 即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元． (2)由题意得，k(x－100)(x－300)＝－10 000k·75%， x2－400x＋37 500＝0，解得x＝250或x＝150， 所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150 元．
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规律方法 应用分段函数时的三个注意点 (1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏． (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并 集． (3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比 较再下结论．
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【训练 3】 某车间生产一种仪器的固定成本为 10 000 元，每 生产一台该仪器需要增加投入 100 元，已知总收入满足函 数： H(x)＝440000x0－0，x2，x>02≤00x，≤x2∈00N，，x∈N， 其中 x 是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数(用 f(x)表示)； (2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多 少元？(总收入＝总成本＋利润)
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解析 L(Q)＝40Q－210Q2－10Q－2 000＝－210Q2＋30Q－2 000 ＝－210(Q－300)2＋2 500，当 Q＝300 时，L(Q)的最大值为 2 500 万元．
答案 2 500
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题型一 一次函数、二次函数模型
【例1】 商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标 价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为 零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300 元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成 本价的价格(标价)出售．问： (1) 商 场 要 获 取 最 大 利 润 ， 羊 毛 衫 的 标 价 应 定 为 每 件 多 少 元？ (2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如 果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件 多少元？
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【训练 2】 一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且
使森林面积每年比上一年减少 p%,10 年后森林面积变为a2.
为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的14.已知到
今年为止，森林面积为
2 2 a.
(1)求 p%的值；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
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(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此， 我们假设灌溉面积 y 与最大积雪深度 x 满足一次函数模型 y＝a ＋bx(a，b 为常数且 b≠0)．取其中的两组数据(10.4,21.1)， (24.0,45.8)，代入 y＝a＋bx，得2415..18＝＝aa＋＋1204..40bb，， 用计算器可 得 a≈2.2，b≈1.8.这样，得到一个函数模型：y＝2.2＋1.8x，作出 函数图象如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟 合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积 的关系．
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(2)由(1)知①当0≤t ≤ 10时，y＝－t2＋10t＋1 200＝ －(t－5)2＋1 225， 函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0,5]上递增， 在t∈(5,10]上递减， ∴ymax＝1 225(当t＝5时取得)，ymin＝1 200(当t＝0或10时取 得)； ②当10<t≤20时，y＝t2－90t＋2 000＝(t－45)2－25， 图 象 开 口 向 上 ， 对 称 轴 为 t ＝ 45 ， 该 函 数 在 t∈(10,20] 递 减 ， ∴ymax＝1 200(当t＝10时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得)． 由①②知ymax＝1 225(当t＝5时取得)，ymin＝600(当t＝20时取 得)．
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解 (1)由题意得 a(1－p%)10＝a2， 即(1－p%)10＝12，解得 p%＝1－12110 . (2)设经过 m 年森林面积为 22a， 则 a(1－p%)m＝ 22a，即121m0 ＝1212 ，得1m0＝12，解得 m＝5. 故到今年为止，已砍伐了 5 年．
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3.2.2 函数模型的应用实例
学习目标 1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点).2.能建 立函数模型解决实际问题(重、难点)．
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知识点 1 常见的函数模型
(1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b 为常数，k≠0)
(2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
量最大积雪深 6
23.4
45.0
度x与当年灌溉 7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
面积y.现有连续
9
24.0
45.8
10 年 的 实 测 资 10
19.1
36.9
料，如表所示.
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(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象； (2) 建 立 一 个 能 基 本 反 映 灌 溉 面 积 变 化 的 函 数 模 型 ， 并 画 出 图 象； (3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm， 则可以灌溉土地多少公顷？ 解 (1)描点、作图，如图(甲)所示：
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解 (1)设每月产量为 x 台，则总成本为 t＝10 000＋100x. 又 f(x)＝H(x)－t， ∴f(x)＝－30x020＋0－30100x－0x，10x0>0200，0，0≤x∈x≤N.200，x∈N， (2)当 0≤x≤200 时，f(x)＝－(x－150)2＋12 500， 所以当 x＝150 时，有最大值 12 500； 当 x>200 时，f(x)＝30 000－100x 是减函数， f(x)<30 000－100×200<12 500. 所以当 x＝150 时，f(x)取最大值，最大值为 12 500. 所以每月生产 150 台仪器时，利润最大，最大利润为 12 500 元．