苏科版八年级苏科初二下册第二学期数学期末试卷及答案全

苏科版八年级苏科初二下册第二学期数学期末试卷及答案全
一、选择题
1．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，5AB =，6AC =，过D 作
AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，则BDE ∆的面积为（ ）
A ．22
B ．24
C ．48
D ．44
2．下列调查中，最适合采用普查的是（ ） A ．长江中现有鱼的种类
B ．八年级（1）班36名学生的身高
C ．某品牌灯泡的使用寿命
D ．某品牌饮料的质量
3．下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ） A ．对全国中学生使用手机情况的调查
B ．对五一节期间来花果山游览的游客的满意度调查
C ．环保部门对长江水域水质情况的调查
D ．对本校某班学生阅读课外书籍情况的调查
4．下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．用配方法解一元二次方程2620x x --=，以下正确的是（ ）
A ．2(3)2x -=
B ．2(3)11x -=
C ．2(3)11x +=
D ．2(3)2x +=
6．为了解我市八年级10000名学生的身高，从中抽取了500名学生，对其身高进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A ．每个学生的身高是个体 B ．本次调查采用的是普查 C ．样本容量是500名学生 D ．10000名学生是总体
7．若顺次连接四边形ABCD 各边的中点得到一个矩形，则四边形ABCD 一定是（ ）
A ．矩形
B ．菱形
C ．对角线相等的四边形
D ．对角线互相垂直
的四边形
8．两个反比例函数3
y x =
，6y x
=在第一象限内的图像如图所示，点1P 、2P 、
3P ……2020P 反比例函数6
y x
=
图像上，它们的横坐标分别是1x 、2x 、3x ……2020x ，纵坐标分别是1，3，5，…，共2020个连续奇数，过点1P 、2P 、3P ……2020P 分别作y 轴的平
行线，与反比例函数3
y x
=
的图像交点依次是()11,Q x y 、()22,Q x y 、()33,Q x y ……()20202020,Q x y ，则2020y 等于（ ）
A ．2019.5
B ．2020.5
C ．2019
D ．4039
9．下列判断正确的是（ ）
A ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B ．两组邻边相等的四边形是平行四边形
C ．对角线相等的四边形是矩形
D ．有一个角是直角的平行四边形是正方形
10．如图，E 是正方形ABCD 边AB 延长线上一点，且BD =BE ，则∠E 的大小为（ ）
A ．15°
B ．22.5°
C ．30°
D ．45°
二、填空题
11．如图，小正方形方格的边长都是1，点A 、B 、C 、D 、O 都是小正方形的顶点．若COD 是由AOB 绕点O 按顺时针方向旋转一次得到的，则至少需要旋转______°．
12．已知()22221140ab a b a b +=≠+，则代数式2019
2020
b a a b ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
的值为_____．
13．如图，已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE ⊥BC 于点E ，则
AE 的长是_____．
14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，D 是AB 上一动点，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，连接EF ，则线段EF 的最小值是___．
15．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，F 是线段DE 上一点，连接AF ，BF ，若AB ＝16，EF ＝1，∠AFB ＝90°，则BC 的长为_____．
16．若关于x 的一元二次方程x 2+（2k +4）x +k 2＝0没有实数根，则k 的取值范围是_____． 17．一个不透明的袋中装有3个红球，2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3球，则“摸出的球至少有1个红球”是__事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 18．如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过顶点D 、B 作DE ⊥a 于点E 、BF ⊥a 于点F ，若DE ＝4，BF ＝3，则EF 的长为_______．
19．已知关于x 的方程ax 2+bx +1=0的两根为x 1=1，x 2=2，则方程a （x +1）2+b （x +1）+1=0的两根之和为__________．
20．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，12BC =，点E 是BC 边上一点，连接AE ，将
ABE ∆沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处．当CEB ∆'为直角三角形时，BE =__．
三、解答题
21．如图1，矩形的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为（6，8）．D 是AB 边上一点（不与点A 、B 重合），将△BCD 沿直线CD 翻折，使点B 落在点E 处． （1）求直线AC 所表示的函数的表达式；
（2）如图2，当点E 恰好落在矩形的对角线AC 上时，求点D 的坐标；
（3）如图3，当以O 、E 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求△OEA 的面积．
22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为1个单位长度的正方形ABCD 的边BC 平行于x 轴，点A 、C 分别在直线OM 、ON 上，点A 的坐标为（3，3），矩形EFGH 的顶点E 、G 也分别在射线OM 、ON 上，且FG 平行于x 轴，EF ：FG ＝3：5． （1）点B 的坐标为 ，直线ON 对应的函数表达式为 ； （2）当EF ＝3时，求H 点的坐标；
（3）若三角形OEG 的面积为s 1，矩形EFGH 的面积为s 2，试问s 1：s 2的值是一个常数吗？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
23．解方程：
224
124
x x x +-=-- 24．正方形网格中（每个小正方形边长是1，小正方形的顶点叫做格点），ABC ∆的顶点均在格点上，请在所给的平面直角坐标系中解答下列问题：
（1）作出ABC ∆绕点A 逆时针旋转90°后的111A B C ∆； （2）作出111A B C ∆关于原点O 成中心对称的222A B C ∆.
25．如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD 为正方形,已知点A(-6,0),D(-7,3)，点B 、C 在第二象限内．
(1)点B 的坐标 ；
(2)将正方形ABCD 以每秒1个单位的速度沿x 轴向右平移t 秒,若存在某一时刻t,使在第一象限内点B 、D 两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t 的值以及这个反比例函数的解析式；
(3)在(2)的情况下,问是否存在x 轴上的点P 和反比例函数图象上的点Q,使得以P 、Q 、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出符合题意的点P 、Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
26．解方程：
x 2
1x 1x
-=-. 27．（发现）
（1）如图1，在▱ABCD 中，点O 是对角线的交点，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点E ，F ．求证：△AOE ≌△COF ；
（探究）
（2）如图2，在菱形ABCD 中，点O 是对角线的交点，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点E ，F ，若AC ＝4，BD ＝8，求四边形ABFE 的面积． （应用）
（3）如图3，边长都为1的5个正方形如图摆放，试利用无刻度的直尺，画一条直线平分这5个正方形组成的图形的面积．（要求：保留画图痕迹）
28．已知ABC ∆是边长为8cm 的等边三角形，动点,P Q 同时出发，分别在三角形的边或延长线上运动，他们的运动时间为()t s ．
()1如图1，若P 点由A 向B 运动，Q 点由C 向A 运动，他们的速度都是1/cm s ，连接
PQ ．则AP =__，AQ = ，（用含t 式子表示）；
()2在(1)的条件下，是否存在某一时刻，使得APQ ∆为直角三角形？若存在，请求出t 的
值，若不存在，请说明理由；
()3如图2，若P 点由A 出发，沿射线AB 方向运动，Q 点由C 出发，沿射线AC 方向运
动，P 的速度为3/,cm s Q 的速度为．/acm s 是否存在某个a 的值，使得在运动过程中
BPO ∆恒为以BP 为底的等腰三角形？如果存在，请求出这个值，如果不存在，请说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
先判断出四边形ACED是平行四边形，从而得出DE的长度，根据菱形的性质求出BD的长度，利用勾股定理的逆定理可得出△BDE是直角三角形，计算出面积即可.
【详解】
解：∵AD∥BE，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC=DE=6，
在RT△BCO中，4
=，即可得BD=8，
又∵BE=BC+CE=BC+AD=10，
∴△BDE是直角三角形，
∴S△BDE=1
24 2
DE BD
⋅=．
故答案为B.
【点睛】
此题考查了菱形的性质、勾股定理的逆定理及三角形的面积，属于基础题，求出BD的长度，判断△BDE是直角三角形，是解答本题的关键．
2．B
解析：B
【分析】
在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
【详解】
解：A．调查长江中现有鱼的种类，调查的难度大，范围广，适合抽样调查；
B．调查八年级（1）班36名学生的身高，难度不大，适合普查；
C．调查某品牌灯泡的使用寿命，调查带有破坏性，适合抽样调查；
D．调查某品牌饮料的质量，调查带有破坏性，适合抽样调查；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是普查与抽样调查的含义与运用，掌握以上知识是解题的关键．
3．D
【分析】
调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查． 【详解】
解：A ．对全国中学生使用手机情况的调查适合抽样调查； B ．对五一节期间来花果山游览的游客的满意度调查适合抽样调查； C ．环保部门对长江水域水质情况的调查适合抽样调查； D ．对本校某班学生阅读课外书籍情况的调查适合普查； 故选：D ． 【点睛】
本题考查判别普查的方式,关键在于熟记抽样调查和普查的定义.
4．C
解析：C 【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断即可. 【详解】
第1个，即不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； 第2个，既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确； 第3个，既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确； 第4个，既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了轴对称图形与中心对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题关键.
5．B
解析：B 【分析】
利用完全平方公式的特征在方程的两边同时加上11即可. 【详解】
解：2621111x x --+=，即26911x x -+=，所以2
(3)11x -=. 故选：B. 【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，灵活利用完全平方公式是应用配方法解题的关键.
6．A
解析：A
由总体、个体、样本、样本容量的概念，结合题意进行分析，即可得到答案. 【详解】
解：A 、每个学生的身高是个体，故A 正确； B 、本次调查是抽样调查，故B 错误； C 、样本容量是500，故C 错误；
D 、八年级10000名学生的身高是总体，故D 错误； 故选：A . 【点睛】
考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
7．D
解析：D 【分析】
先画出图形，再根据中位线定理、矩形的定义、平行线的性质即可得． 【详解】
如图，点,,,E F G H 分别为,,,AB BC CD AD 的中点，四边形EFGH 是矩形 连接AC 、BD
由中位线定理得：//,//AC GH BD EH 四边形EFGH 是矩形 90EHG ∴∠=︒，即EH GH ⊥
EH AC ∴⊥ BD AC ∴⊥
即四边形ABCD 一定是对角线互相垂直的四边形 故选：D ．
【点睛】
本题考查了中位线定理、矩形的定义、平行线的性质，依据题意，正确画出图形，并掌握中位线定理是解题关键．
8．A
解析：A 【分析】
主要是找规律，找出规律即可求出本题答案，先根据已知条件求出y 分别为1、3、5时x 的值，即可求出当2020y =时x 的值，再将其代入3
y x
=中即可求出2020y ． 【详解】
解：当1,3,52020y =⋅⋅⋅时，1x 、2x 、3x ...2020x 分别为6、2、65 (62020)
将1x 、2x 、3x …2020x 代入3y x
=， 得：1y 、2y 、3y …2020y
20204039
2019.52
y =
=， 故选：A ． 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=k
x
（k ≠0）的图象是双曲线；图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．
9．A
解析：A 【分析】
利用特殊四边形的判定定理逐项判断即可. 【详解】
A 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此项正确
B 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，此项错误
C 、对角线相等的平行四边形是矩形，此项错误
D 、有一个角是直角的平行四边形是矩形，此项错误 故选：A. 【点睛】
本题考查了特殊四边形（平行四边形、菱形、矩形、正方形）的判定定理，掌握理解各判定定理是解题关键.
10．B
解析：B 【分析】
由四边形ABCD 是正方形，推出∠ABD=45°，由∠ABD=∠E+∠BDE ，BD=BE ，推出∠BDE=∠E ，即可求解． 【详解】
∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABD=45°， ∵∠ABD=∠E+∠BDE ， ∵BD=BE ，
∴∠BDE=∠E．
∴∠E=1
2
×45°=22.5°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质．
二、填空题
11．90
【分析】
由△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到，再结合已知图形可知旋转的角度是∠BOD的大小，然后由图形即可求得答案
【详解】
解：∵△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而
解析：90
【分析】
由△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到，再结合已知图形可知旋转的角度是∠BOD的大小，然后由图形即可求得答案
【详解】
解：∵△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得，
∴OB=OD，
∴旋转的角度是∠BOD的大小，
∵∠BOD=90°，
∴旋转的角度为90°，
故答案为： 90．
【点睛】
本题考查了旋转的性质．解题的关键是理解△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得的含义，找到旋转角．
12．0或-2
【分析】
根据（ab≠0），可以得到a和b的关系，从而可以求得所求式子的值．
【详解】
解：∵（ab≠0），
∴，
∴（a2+b2）2＝4a2b2，
∴（a2﹣b2）2＝0，
解析：0或-2
【分析】 根据
2222114a b a b
+=+（ab ≠0），可以得到a 和b 的关系，从而可以求得所求式子的值．
【详解】 解：∵2222
114a b a b +=+（ab ≠0）， ∴2222224b a a b a b
+=+， ∴（a 2+b 2）2＝4a 2b 2，
∴（a 2﹣b 2）2＝0，
∴a 2＝b 2，
∴a ＝±b ，
经检验：a b =±符合题意，
当a ＝b 时，2019202020192020110,b a a b ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
当a ＝﹣b 时，()()2019202020192020112,b a a b ⎛⎫⎛⎫-=---=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ 故答案为：0或﹣2．
【点睛】 本题考查的是代数式的值，同时考查了因式分解的应用，类解分式方程的方法，掌握以上知识是解题是关键．
13．【解析】
【分析】
根据菱形的性质得出BO 、CO 的长，在RT△BOC 中求出BC ，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE 的长度
【详解】
∵四边形ABCD 是菱形，
∴CO＝A 解析：245
【解析】
【分析】
根据菱形的性质得出BO 、CO 的长，在RT △BOC 中求出BC ，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE ，可得出AE 的长度
∵四边形ABCD 是菱形，
∴CO ＝12AC ＝3cm ，BO ＝12BD ＝4cm ，AO ⊥BO ， ∴BC ＝22AO BO +＝5cm ，
∴S 菱形ABCD ＝2BD AC ⋅=
＝12
×6×8＝24cm 2， ∵S 菱形ABCD ＝BC ×AE ，
∴BC ×AE ＝24，
∴AE ＝24245BC =cm ． 故答案为：
245
cm ． 【点睛】
此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分． 14．.
【分析】
连接CD ，利用勾股定理列式求出AB ，判断出四边形CFDE 是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CD ，再根据垂线段最短可得CD⊥AB 时，线段EF 的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解
解析：
6013
. 【分析】 连接CD ，利用勾股定理列式求出AB ，判断出四边形CFDE 是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CD ，再根据垂线段最短可得CD ⊥AB 时，线段EF 的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可．
【详解】
解：如图，连接CD ．
∵∠ACB ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，
∴AB 22A BC C +22512+＝13，
∵DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，∠C ＝90°，
∴四边形CFDE 是矩形，
∴EF ＝CD ，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝1
2
BC•AC＝
1
2
AB•CD，
即1
2
×12×5＝
1
2
×13•CD，
解得：CD＝60 13
，
∴EF＝60 13
．
故答案为：60 13
．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
15．18
【分析】
根据直角三角形的性质得到DF＝8，根据EF＝1，得到DE＝9，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
解：∵∠AFB＝90°，点D是AB的中点，
∴DF＝AB＝8，
∵EF＝1，
解析：18
【分析】
根据直角三角形的性质得到DF＝8，根据EF＝1，得到DE＝9，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
解：∵∠AFB＝90°，点D是AB的中点，
∴DF＝1
2
AB＝8，
∵EF＝1，
∴DE＝9，
∵D、E分别是AB，AC的中点，
∴BC＝2DE＝18，
故答案为：18
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
16．k＜﹣1
【分析】
根据判别式的意义得到△＝（2k+4）2﹣4k2＜0，然后解不等式即可．
【详解】
∵关于x的一元二次方程x2+（2k+4）x+k2＝0没有实数根，
∴△＝（2k+4）2﹣4k2＜
解析：k＜﹣1
【分析】
根据判别式的意义得到△＝（2k+4）2﹣4k2＜0，然后解不等式即可．
【详解】
∵关于x的一元二次方程x2+（2k+4）x+k2＝0没有实数根，
∴△＝（2k+4）2﹣4k2＜0，
解得k＜﹣1．
故答案为：k＜﹣1．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
17．必然
【分析】
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】
∵红球和黑球除颜色外其余都相同且黑球只有2个，
∴从中任意摸出3球，至少有一个为红球，
即事件“摸出的球至少有1个红球”是
解析：必然
【分析】
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】
∵红球和黑球除颜色外其余都相同且黑球只有2个，
∴从中任意摸出3球，至少有一个为红球，
即事件“摸出的球至少有1个红球”是必然事件，
故答案为：必然．
【点睛】
本题考查了必然事件的定义，正确理解必然事件，不可能事件，随机事件的概念是解题关键．
18．7
【解析】
【详解】
因为ABCD是正方形，所以AB=AD，∠BFA=∠BAD=90°，则有∠ABF=∠DAE，又因为DE⊥a、BF⊥a，根据AAS易证△AFB≌△DEA，所以AF=DE=4，BF
解析：7
【解析】
【详解】
因为ABCD是正方形，所以AB=AD，∠BFA=∠BAD=90°，则有∠ABF=∠DAE，又因为
DE⊥a、BF⊥a，根据AAS易证△AFB≌△DEA，所以AF=DE=4，BF=AE=3，则
EF=AF+AE=4+3=7．
19．1
【解析】
分析：利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案．
详解：设x+1=t，方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根分别是x3，x4，
∴at2+bt+1=0，
由题意可知：t1=
解析：1
【解析】
分析：利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案．
详解：设x+1=t，方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根分别是x3，x4，
∴at2+bt+1=0，
由题意可知：t1=1，t2=2，
∴t1+t2=3，
∴x3+x4+2=3
故答案为：1
点睛：本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
20．或5
【分析】
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=13，根据折叠的性质得
∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角
解析：10
3
或5
【分析】
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=13，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′
为直角三角形时，只能得到∠EB ′C=90°，所以点A 、B ′、C 共线，即ΔABE 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点B ′处，则EB=EB ′，AB=AB ′=5，可计算出CB ′=8，设BE=a ，则EB ′=a ，CE=12-a ，然后在Rt △CEB ′中运用勾股定理可计算出a ．②当点B ′落在AD 边上时，如图2所示．此时ABEB ′为正方形．
【详解】
当△CEB ′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B ′落在矩形内部时，如图1所示，
连结AC ，
在Rt △ABC 中，AB=5，BC=12，
∴AC=22512+=13，
∵将ΔABE 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处，
∴∠AB ′E=∠B=90°，
当△CEB ′为直角三角形时，只能得到∠EB ′C=90°，
∴点A 、B ′、C 共线，即将ΔABE 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点B ′处，设：BE a B'E ==，则CE 12a =-，AB AB'5==，
B'C AC AB'1358=-=-=，
由勾股定理得：()22212a a 8-=+，
解得：10a 3
=； ②当点B ′落在AD 边上时，如图2所示，
此时ABEB ′为正方形，∴BE=AB=5，
综上所述，BE 的长为
103或5， 故答案为103
或5． 【点睛】
本题考查了矩形的性质，折叠问题，勾股定理等知识，熟练掌握折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等是解题的关键.注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
三、解答题
21．（1）483
y x =-
+；见解析；（2）()6,5D ；见解析；（3）12或694，见解析． 【分析】
（1）利用矩形的性质，求出点A 、C 的坐标，再用待定系数法即可求解；
（2）Rt △AED 中，由勾股定理得：222AE DE AD +＝，即可求解；
（3）①当EC ＝EO 时，ON ＝12OC ＝4＝EM ，则△OEA 的面积＝12
×OA ×EM ；②当OE ＝OC 时，利用勾股定理得：22222NE EC CN EO ON ＝﹣＝﹣，求出ON ＝
234
，进而求解． 【详解】 解：（1）∵点B 的坐标为()68，
且四边形OABC 是矩形， ∴点A 、C 的坐标分别为()()6008，、，
， 设AC 的表达式为y kx b +＝，
把A 、C 两点的坐标分别代入上式得608k b b +=⎧⎨=⎩，解得438
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 所表示的函数的表达式483
y x =-+； （2）∵点A 的坐标为()60，
，点C 的坐标为()08，， ∴OA ＝6，OC ＝8．
∴Rt △AOC 中，AC ＝226+8=10，
∵四边形OABC 是矩形，
∴∠B ＝90°，BC ＝6，AB ＝8，
∵沿CD 折叠，
∴∠CED ＝90°，BD ＝DE ，CE ＝6，AE ＝4，
∴∠AED ＝90°，
设BD ＝DE ＝a ，则AD ＝8﹣a ，
∵Rt △AED 中，由勾股定理得：222AE DE AD +＝，
∴()2
2248a a +-＝，解得a ＝3， ∴点D 的坐标为()65，
； （3）
过点E 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，
∵EN ⊥OC ，EM ⊥OA ，OC ⊥OA ，
∴∠ENO ＝∠NOM ＝∠OME ＝90°，
∴四边形OMEN 是矩形，
∴EM ＝ON ．
①当EC ＝EO 时，
∵EC ＝EO ，NE ⊥OC ，
∴ON ＝12
OC ＝4＝EM ， △OEA 的面积＝
12×OA ×EM ＝12×6×4＝12； ②当OE ＝OC 时，
∵EN ⊥OC ，
∴∠ENC ＝∠ENO ＝90°，
设ON ＝b ，则CN ＝8﹣b ，
在Rt △NEC 中，222NE EC CN -＝，
在Rt △ENO 中，222NE EO ON -＝，
即()2222688b b ---＝，
解得：b ＝234
， 则EM ＝ON ＝234
， △OEA 的面积＝12×OA ×EM ＝12×6×234＝694； 故△OEA 的面积为12或
694． 【点睛】
本题主要考查矩形的性质与判定、勾股定理及一次函数，关键是灵活运用知识点及函数的性质，求线段的长常用勾股定理这个方法．
22．（1）（3，2），12y x =
；（2）H （16，11）；（3）4415，证明见解析． 【分析】
（1）先根据A 的坐标为（3，3），正方形ABCD 的边长为1求出C 点的坐标，利用待定系数法即可求出直线ON 的解析式．
（2）点E 在直线OM 上，设点E 的坐标为（e ，e ），由题意F （e ，e ﹣3），G （e +5，e ﹣3），由点G 在直线ON 上，可得e ﹣3＝12
（e +5），解得e ＝11即可解决问题． （3）如图，连接EG ，延长EF 交x 轴于J ，延长HG 交x 轴于k ．设E （a ，a ），EF ＝3m ，FG ＝5m ，则G （a +5m ，a ﹣3m ），由点G 在直线y ＝12x 上，可得a ﹣3m ＝12
（a +5m ），推出a ＝11m ，推出E （11m ，11m ），H （16m ，11m ），F （11m ，8m ），G （16m ，8m ）J （11m ，0），K （16m ，0），求出S 1，S 2即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵A的坐标为（3，3），
∴直线OM的解析式为y＝x，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴B（3，2），
∴C（4，2）
设直线ON的解析式为y＝kx（k≠0），
把C的坐标代入得，2＝4k，解得k＝1
2
，
∴直线ON的解析式为：y＝1
2 x；
故答案是:（3，2），
1
2
y x ；
（2）∵EF＝3，EF：FG＝3：5．
∴FG＝5，
设矩形EFGH的宽为3a，则长为5a，
∵点E在直线OM上，设点E的坐标为（e，e），∴F（e，e﹣3），G（e+5，e﹣3），
∵点G在直线ON上，
∴e﹣3＝1
2
（e+5），
解得e＝11，
∴H（16，11）．
（3）s1：s2的值是一个常数，理由如下：
如图，连接EG，延长EF交x轴于J，延长HG交x轴于k．
设E（a，a），EF＝3m，FG＝5m，则G（a+5m，a﹣3m），
∵点G在直线y＝1
2
x上，
∴a﹣3m＝1
2
（a+5m），
∴a＝11m，
∴E（11m，11m），H（16m，11m），F（11m，8m），G（16m，8m）J（11m，0），K （16m，0），
∴S △OEG ＝S △OEJ +S 梯形EJKG ﹣S △OKG ＝12×11m ×11m +12（8m +11m ）•5m •12﹣12
×16m ×8m ＝44m 2，S 矩形EFGH ＝EF •FG ＝15m 2， ∴12S S ＝224415m m ＝4415
． ∴s 1：s 2的值是一个常数,这个常数是
4415
. 【点晴】
本题是一次函数的综合题,考查待定系数法，一次函数的性质，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
23．-1
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
去分母得：(x+2)2-4=x 2-4，
解得：x=-1，
经检验x=-1是分式方程的解．
【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
24．（1）见解析 （2）见解析
【分析】
（1）本题考查图形的旋转变换以及作图，根据网格结构找出点A 、B 、C 绕点A 逆时针旋转90°后的点1A 、1B 、1C 的位置，然后顺次连接即可．
（2）本题考查中心对称图形的作图，找出点1A 、1B 、1C 关于原点O 成中心对称的点2A 、2B 、2C 的位置，然后顺次连接即可． 【详解】
【点睛】
解答此类型题目首先要清楚旋转图形和中心对称图形的性质，按照图形定义进行作图，作图时先找点，继而由点连成线．
25．（1）（31-，
）；（2）t=9，6y x =；（3）点P 、Q 的坐标为：P （132，0）、Q （32
，4）或P （7，0）、Q （3，2）或P （-7，0）、Q （-3，-2）． 【分析】
（1）过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥x 轴于点F ，由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出△ADE ≌△BAF ，从而得出DE=AF ，AE=BF ，再结合点A 、D 的坐标即可求出点B 的坐标；
（2）设反比例函数为k y x
=
，根据平行的性质找出点B ′、D ′的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k 、t 的二元一次方程组，解方程组解得出结论；
（3）假设存在，设点P 的坐标为（m ，0），点Q 的坐标为（n ，6n ）．分B ′D ′为对角线或为边考虑，根据平行四边形的性质找出关于m 、n 的方程组，解方程组即可得出结论．
【详解】
解：（1）过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥x 轴于点F ，如图1所示．
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AD=AB ，∠BAD=90°，
∵∠EAD+∠ADE=90°，∠EAD+∠BAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF ．
在△ADE 和△BAF 中，有
90AED BFA ADE BAF AD BA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADE ≌△BAF （AAS ），
∴DE=AF ，AE=BF ．
∵点A （-6，0），D （-7，3），
∴DE=3，AE=1，
∴点B 的坐标为（-6+3，0+1），即（-3，1）．
故答案为：（-3，1）．
（2）设反比例函数为k y x
=， 由题意得：点B ′坐标为（-3+t ，1），点D ′坐标为（-7+t ，3），
∵点B ′和D ′在该比例函数图象上，
∴33(7)k t k t =-+⎧⎨=⨯-+⎩
， 解得：t=9，k=6，
∴反比例函数解析式为6y x
=． （3）假设存在，设点P 的坐标为（m ，0），点Q 的坐标为（n ，
6n
）． 以P 、Q 、B ′、D ′四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况：
①B ′D ′为对角线时，
∵四边形B ′PD ′Q 为平行四边形，
∴
6
31
62
n
m n
⎧
-=
⎪
⎨
⎪-=-
⎩
，解得：
13
2
3
2
m
n
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴P（13
2
，0），Q（
3
2
，4）；
②当B′D′为边时．
∵四边形PQB′D′为平行四边形，
∴
62
6
031
m n
n
-=-
⎧
⎪
⎨
-=-
⎪⎩
，解得：
7
3
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴P（7，0），Q（3，2）；
∵四边形B′QPD′为平行四边形，
∴
62
6
031
n m
n
-=-
⎧
⎪
⎨
-=-
⎪⎩
，解得：
7
3
m
n
=-
⎧
⎨
=-
⎩
．
综上可知：存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点
为顶点的四边形是平行四边形，符合题意的点P、Q的坐标为：P（13
2
，0）、Q（
3
2
，
4）或P（7，0）、Q（3，2）或P（-7，0）、Q（-3，-2）．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）证出△ADE≌△BAF；（2）找出关于k、t的二元一次方程组；（3）分类讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用反比例函数图形上点的坐标表示出来反比例函数系数k是关键．
26．2
x=.
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
去分母得：x2-2x+2=x2-x，
解得：x=2，
检验：当x=2时，方程左右两边相等，
所以x=2是原方程的解．
【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
27．（1）见解析（2）8（3）见解析
【分析】
（1）根据ASA 证明三角形全等即可．
（2）证明S 四边形ABFE ＝S △ABC 可得结论．
（3）利用中心对称图形的性质以及数形结合的思想解决问题即可（答案不唯一）．
【详解】
（1）【发现】证明：如图1中，∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AO ＝OC ，AD ∥BC ，
∴∠EAO ＝∠FCO ，
在△AOE 和△COF 中，
EAO FCO AO CO
AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AOE ≌△COF （ASA ）．
（2）【探究】解：如图2中，由（1）可知△AOE ≌△COF ，
∴S △AOE ＝S △COF ，
∴S 四边形ABFE ＝S △ABC ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴S △ABC ＝12
S 菱形ABCD ， ∵S 菱形ABCD ＝
12•AC •BD ＝12×4×8＝16， ∴S 四边形ABFE ＝12
×16＝8． （3）【应用】
①找出上面小正方形的对角线交点，以及下面四个小正方形组成的矩形的对角线交点，连接即可；
②连接下面左边数第二个小正方形右上角和左下角的顶点；
③分别找出第二列两个小正方形的对角线交点，并连接，与最上面的小正方形最上面的边交于一点，把这个点与图形底边中点连接即可．
如图3中，直线l 即为所求（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定、菱形的性质以及中心对称图形的性质，掌握数形结合的思想
是解决本题的关键．
28．（1）(),6AP tcm AQ t cm ==-；（2）存在，8163t s s =或；（3）存在， 3/a cm s =．
【分析】
（1）根据路程=时间×速度，即可表示出来
（2）要讨论PA AB ⊥，PQ AC ⊥两种情况，即可求出对应的时间
（3）根据BPQ ∆以BP 为底的等腰三角形，作QM BP ⊥于M ，用a ，t 的代数式表示出
AP ，CQ ，AQ ，BP 等边长，再根据ABC ∆是等边三角形，求出30AQM ︒∠＝，从而
得出2AQ AM ＝，讨论P 在线段AB 内运动和P 在AB 外运动两种情况，即可求出结果．
【详解】
解：()1由题意可知：(),,6AP tcm CQ tcm AQ t cm ===-
()2存在8163t s s
=
或时，使得APQ ∆为直角三角形，理由是 ①当PA AB ⊥时，由题意有28t t =-，解得83
t s = ②当PQ AC ⊥时，由题意有()8,2t t =-解得163t s = ∴综上所述，存在8163t s s
=或时，使得APQ ∆为直角三角形 ()3存在3/a cm s =时，BPQ ∆恒为以BP 为底的等腰三角形，理由是：
作QM BP ⊥于M ，如图2所示。