八年级数学上册全册全套试卷(提升篇)(Word版 含解析)

八年级数学上册全册全套试卷（提升篇）（Word 版 含解析）
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．如图1所示，已知点D 在AC 上，ADE ∆和ABC ∆都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点.
（1）求证：BMD ∆为等腰直角三角形；
（2）将ADE ∆绕点A 逆时针旋转45︒，如图2所示，（1）中的“BMD ∆为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由；
（3）将ADE ∆绕点A 逆时针旋转一定的角度，如图3所示，（1）中的“BMD ∆为等腰直角三角形”成立吗？请说明理由.
【答案】（1）详见解析；（2）是，证明详见解析；（3）成立，证明详见解析.
【解析】
【分析】
()1根据等腰直角三角形的性质得出45ACB BAC ∠∠==，
90ADE EBC EDC ∠∠∠===，推出BM DM =，BM CM =，DM CM =，推出BCM MBC ∠∠=，ACM MDC ∠∠=，求出
22290BMD BCM ACM BCA ∠∠∠∠=+==即可．
()2延长ED 交AC 于F ，求出12
DM FC =，//DM FC ，DEM NCM ∠=，根据ASA 推出EDM ≌CNM ，推出DM BM =即可．
()3过点C 作//CF ED ，与DM 的延长线交于点F ，连接BF ，推出MDE ≌MFC ，求出DM FM =，DE FC =，作AN EC ⊥于点N ，证BCF ≌BAD ，推出
BF BD =，DBA CBF ∠∠=，求出90DBF ∠=，即可得出答案．
【详解】
()1证明：ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，
45ACB BAC ∠∠∴==，90ADE EBC EDC ∠∠∠===
点M 为EC 的中点，
12BM EC ∴=，12
DM EC =， BM DM ∴=，BM CM =，DM CM =，
BCM MBC ∠∠∴=，DCM MDC ∠∠=，
2BME BCM MBC BCE ∠∠∠∠∴=+=，
同理2
DME ACM
∠∠
=，
22224590 BMD BCM ACM BCA
∠∠∠∠
∴=+==⨯= BMD
∴是等腰直角三角形．
()2解：如图2，BDM是等腰直角三角形，
理由是：延长ED交AC于F，
ADE和ABC
△是等腰直角三角形，
45
BAC EAD
∠∠
∴==，
AD ED
⊥，
ED DF
∴=，
M为EC中点，
EM MC
∴=，
1
2
DM FC
∴=，//
DM FC，
45
BDN BND BAC
∠∠∠
∴===，
ED AB
⊥，BC AB
⊥，
//
ED BC
∴，
DEM NCM
∠
∴=，
在EDM和CNM中
DEM NCM
EM CM
EMD CMN
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
EDM
∴≌()
CNM ASA，
DM MN
∴=，
BM DN
∴⊥，
BMD
∴是等腰直角三角形．
()3BDM是等腰直角三角形，
理由是：过点C作//
CF ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，
可证得MDE ≌MFC ，
DM FM ∴=，DE FC =，
AD ED FC ∴==，
作AN EC ⊥于点N ，
由已知90ADE ∠=，90ABC ∠=，
可证得DEN DAN ∠∠=，NAB BCM ∠∠=，
//CF ED ，
DEN FCM ∠∠∴=，
BCF BCM FCM NAB DEN NAB DAN BAD ∠∠∠∠∠∠∠∠∴=+=+=+=， BCF ∴≌BAD ，
BF BD ∴=，DBA CBF ∠∠=，
90DBF DBA ABF CBF ABF ABC ∠∠∠∠∠∠∴=+=+==，
DBF ∴是等腰直角三角形，
点M 是DF 的中点，
则BMD 是等腰直角三角形，
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，在本题中需要作辅助线来证明，难度较大．
2．如图，在ABC ∆中，ACB ∠为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连接AD .以AD 为直角边且在AD 的上方作等腰直角三角形ADF .
（1）若AB AC =，90BAC ∠=︒
①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），试探讨CF 与BD 的数量关系和位置关系； ②当点D 在线段C 的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中面出相应的图形并说明理由；
（2）如图3，若AB AC ≠，90BAC ∠≠︒，45BCA ∠=︒，点D 在线段BC 上运动，试探究CF 与BD 的位置关系.
【答案】（1）①CF ⊥BD ，证明见解析；②成立，理由见解析；（2）CF ⊥BD ，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）①根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△ABD 全
等，②先求出∠CAF=∠BAD，然后与①的思路相同求解即可；
（2）过点A作AE⊥AC交BC于E，可得△ACE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE，∠AED=45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△AED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED，然后求出
∠BCF=90°，从而得到CF⊥BD．
【详解】
解：（1）①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，
∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，
∴∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，
∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，
∴△ACF≌△ABD(SAS)，
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠FCB=90°，
∴CF⊥BD；
②成立，理由如下：如图2：
∵∠CAB=∠DAF=90°，
∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，
∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，
∴△ACF≌△ABD(SAS)，
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD；
（2）如图3，过点A作AE⊥AC交BC于E，
∵∠BCA=45°，
∴△ACE 是等腰直角三角形，
∴AC=AE ，∠AED=45°，
∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，
∴∠CAF=∠EAD ，
在△ACF 和△AED 中，
∵AC=AE ，∠CAF=∠EAD ，AD=AF ，
∴△ACF ≌△AED(SAS)，
∴∠ACF=∠AED=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，
∴CF ⊥BD ．
【点睛】
本题考查全等三角形的动点问题，综合性较强，有一定难度，需要熟练掌握全等三角形的判定和性质进行综合运用.
3．如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．
（1）求出AFC ∠的度数；
（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连接FG ．）
（3）如图2，在△ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）∠AFC ＝120°；（2）FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由见解析；（3）AC ＝AE+CD ．理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC，∠ACF即可解决问题;
（2）根据在图2的 AC上截取CG=CD，证得△CFG≌△CFD (SAS),得出DF= GF；再根据ASA 证明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；
（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC上截取AG=AE，证得△EAF≌△GAF (SAS)得出
∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解决问题．
【详解】
（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，
∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°
（2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．
理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，
∵CE是∠BCA的平分线，
∴∠DCF＝∠GCF，
在△CFG和△CFD中，
CG CD
DCF GCF
CF CF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△CFG≌△CFD（SAS），
∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG
由（1）∠AFC＝120°得，
∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°，
∴∠AFG＝60°，
又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，
∴∠AFE＝∠AFG，
在△AFG和△AFE中，
AFE AFG
AF AF
EAF GAF
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△AFG≌△AFE（ASA），
∴EF＝GF，
∴DF＝EF；
（3）结论：AC＝AE+CD．
理由：如图3，在AC上截取AG＝AE，
同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），
∴∠EFA＝∠GFA，AG＝AE
∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°
∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-1
2
(∠BAC+∠BCA)=180°-
1
2
×120°=120°，
∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，
∴∠CFG＝∠CFD＝60°，
同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），
∴CD＝CG，
∴AC＝AG+CG＝AE+CD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．
4．（1）如图（a）所示点D是等边ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明．
（2）如图（b）所示当动点D运动至等边ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（直接写出结论）
（3）①如图（c）所示，当动点D在等边ABC边BA上运动时（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边DCF和等边DCF'，连接AF、
BF'，探究AF、BF'与AB有何数量关系？并证明．
②如图（d）所示，当动点D在等边ABC边BA的延长线上运动时，其他作法与（3）①相同，①中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明．
【答案】（1）AF=BD ，理由见解析；（2）AF=BD ，成立；（3）①AF BF AB '+=，证明见解析；②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS 可证得BCD ACF △≌△，然后由全等三角形的对应边相等知AF BD = ．
（2）通过证明BCD ACF △≌△，即可证明AF BD =．
（3）①'AF BF AB += ，利用全等三角形BCD ACF △≌△的对应边BD AF = ，同理'BCF ACD △≌△ ，则'BF AD = ，所以'AF BF AB +=；
②①中的结论不成立，新的结论是'AF AB BF =+ ，通过证明BCF ACD △≌△，则'BF AD =（全等三角形的对应边相等），再结合（2）中的结论即可证得
'AF AB BF =+ ．
【详解】
（1）AF BD = 证明如下：ABC 是等边三角形，
BC AC ∴=，60BCA ︒∠=．
同理可得：DC CF =，60DCF ︒∠=．
BCA DCA DCF DCA ∴∠-∠=∠-∠．
即BCD ACF ∠=∠．
BCD ACF ∴△≌△．
AF BD ∴=．
（2）证明过程同（1），证得BCD ACF △≌△，则AF BD =（全等三角形的对应边相等），所以当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF BD =依然成立．
（3）①AF BF AB '+=
证明：由（1）知，BCD ACF △≌△．
BD AF ∴=．
同理BCF ACD '△≌△．
BF AD '∴=．
AF BF BD AD AB '∴+=+=．
②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+；
BC AC =，BCF ACD '∠=∠，F C DC '=，
BCF ACD '∴△≌△．
BF AD '∴=．
又由（2）知，AF BD =．
AF BD AB AD AB BF '∴==+=+．
即AF AB BF '=+．
【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，掌握等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质、全等三角形的判定定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．
5．如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在边AC 上（ “点D 不与,A C 重合），点E 是射线BC 上的一个动点（点E 不与点,B C 重合），连接DE ，以DE 为边作作等边三角形DEF ∆，连接CF .
（1）如图1，当DE 的延长线与AB 的延长线相交，且,C F 在直线DE 的同侧时，过点D 作//DG AB ，DG 交BC 于点G ，求证：CF EG =；
（2）如图2，当DE 反向延长线与AB 的反向延长线相交，且,C F 在直线DE 的同侧时，求证：CD CE CF =+；
（3）如图3， 当DE 反向延长线与线段AB 相交，且,C F 在直线DE 的异侧时，猜想CD 、CE 、CF 之间的等量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）CF =CD +CE ，理由见详解.
【解析】
【分析】
(1)由ABC ∆是等边三角形，//DG AB ，得∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，CDG ∆是等边三角形，易证∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，即可得到结论；
(2)过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，易证∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，即可得到结论；
(3)过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，易证∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，即可得到结论.
【详解】
（1）∵ABC ∆是等边三角形，//DG AB ，
∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，
∴CDG ∆是等边三角形，
∴DG=DC.
∵DEF ∆是等边三角形，
∴DE=DF ，∠EDF=60°，
∴∠CDG-∠GDF=∠EDF-∠GDF ，即：∠GDE=∠CDF ， 在∆ GDE 和∆ CDF 中，
∵DE DF GDE CDF DG DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，
∴CF EG =；
（2）过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，如图2， ∵ABC ∆是等边三角形，//DG AB ，
∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，
∴CDG ∆是等边三角形，
∴DG=DC.
∵DEF ∆是等边三角形，
∴DE=DF ，∠EDF=60°，
∴∠CDG-∠CDE=∠EDF-∠CDE ，即：∠GDE=∠CDF ， 在∆ GDE 和∆ CDF 中，
∵DE DF GDE CDF DG DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴∆ GDE ≅ ∆ CDF(SAS)，
∴CF GE =，
∴CD CG CE GE CE CF ==+=+
（3）CF =CD +CE ，理由如下：
过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，如图3，
∵ABC ∆是等边三角形，//DG AB ，
∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，
∴CDG ∆是等边三角形，
∴DG=DC=GC.
∵DEF ∆是等边三角形，
∴DE=DF ，∠EDF=60°，
∴∠CDG+∠CDE=∠EDF+∠CDE ，即：∠GDE=∠CDF ， 在∆ GDE 和∆ CDF 中，
∵
DE DF
GDE CDF
DG DC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴∆ GDE≅∆ CDF(SAS)，
∴CF GE
==GC+CE=CD+CE.
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.
二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）
6．如图，ABC中，A
ABC CB
=∠
∠，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC 上，且AD AE
=，连接DE．
（1）如图①，若35
B C
∠=∠=︒，80
BAD
∠=︒，求CDE
∠的度数；
（2）如图②，若75
ABC ACB
∠=∠
=︒，18
CDE
∠=︒，求BAD
∠的度数；
（3）当点D在直线BC上(不与点B、C重合)运动时，试探究BAD
∠与CDE
∠的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)40°；（2）36°；（3）∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；
（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，分3种情况：①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°-α，②如图2，当点D在线段BC上时，
∠ADC=y°+α，③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°-α，根据这3种情况分别列方程组即，解方程组即可得到结论．
【详解】
(1)∵∠B=∠C=35°，
∴∠BAC=110°，
∵∠BAD=80°,
∴∠DAE=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED-∠C=75°−35°=40°；
(2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18°，
∴∠E=75°−18°=57°，
∴∠ADE=∠AED=57°，
∴∠ADC=39°,
∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75°，
∴∠BAD=36°.
（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β
①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°﹣α
∴
y x a
y x aβ
⎧=+
⎨
=-+
⎩
①
②
，①-②得，2α﹣β=0，
∴2α=β；
②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α
∴
y x a
y a xβ
⎧=+
⎨
+=+
⎩
①
②
，②-①得，α=β﹣α，
∴2α=β；
③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°﹣α
∴
180
180
y a x
x y a
β︒
︒
⎧-++=
⎨
++=
⎩
①
②
，②-①得，2α﹣β=0，
∴2α=β．
综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD．【点睛】
考核知识点：等腰三角形性质综合运用.熟练运用等腰三角形性质和三角形外角性质，分类讨论分析问题是关键．
7．已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点
E、F．
①求证：∠1＝∠2；
②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；
（2）如图3，点E
为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，
求ABF
ACF
S
S的值．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）2
【解析】
【分析】
（1）①只要证明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解决问题；
②只要证明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；
（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再证明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解决问题；
【详解】
（1）①证明：如图1中，
∵AB＝AC，∠ABC＝60°
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD⊥BN，
∴∠ADB＝90°，
∵∠MBN＝30°，
∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，
∴∠1＝∠2
②证明：如图2中，
在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，
∴BF＝2DF，
∵BF＝2AF，
∴BF＝AD，
∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，
∴△BFC≌△ADB，
∴∠BFC＝∠ADB＝90°，
∴BF⊥CF
（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．
∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，
∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，
∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，
∴∠1+∠4＝∠2+∠4
∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，
∴△ABK≌CAF，
∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，
∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，
∴AF＝FK＝BK，
∴S△ABK＝S△AFK，
∴ABF
AFC
S
2
S
∆
∆
=．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
8．问题探究：
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）证明：AD=BE；
（2）求∠AEB的度数．
问题变式：
（3）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．（Ⅰ）请求出∠AEB的度数；（Ⅱ）判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）60°；（3）（Ⅰ）90°；（Ⅱ）AE=BE+2CM，理由见详解.【解析】
【分析】
（1）由条件△ACB和△DCE均为等边三角形，易证△ACD≌△BCE，从而得到对应边相等，即AD=BE；
（2）根据△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，由点A，D，E在同一直线上，可求出
∠ADC=120°，从而可以求出∠AEB的度数；
（3）（Ⅰ）首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，
∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°；（Ⅱ）根据DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM．
【详解】
解：（1）如图1，
∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
AC BC
ACD BCE CD CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120°，
∴∠BEC=120°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°；
（3）（Ⅰ）如图
2，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC BC
ACD BCE CD CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=180-45=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°，
故答案为：90°；
（Ⅱ）如图2，∵∠DCE=90°，CD=CE ，CM ⊥DE ，
∴CM=DM=EM ，
∴DE=DM+EM=2CM ，
∵△ACD ≌△BCE （已证），
∴BE=AD ，
∴AE=AD+DE=BE+2CM ，
故答案为：AE=BE+2CM ．
【点睛】
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等边三角形的性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
9．已知：等边ABC ∆中．
（1）如图1，点M 是BC 的中点，点N 在AB 边上，满足60AMN ∠=︒，求
AN BN
的值． （2）如图2，点M 在AB 边上（M 为非中点，不与A 、B 重合），点N 在CB 的延长线上且MNB MCB ∠=∠，求证：AM BN =．
（3）如图3，点P 为AC 边的中点，点E 在AB 的延长线上，点F 在BC 的延长线上，满
足AEP PFC ∠=∠，求BF BE BC
-的值． 【答案】（1）3；（2）见解析；（3）32
． 【解析】
【分析】
（1）先证明AMB ∆，MBN ∆与MAN ∆均为直角三角形，再根据直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半，证明BM=2BN ，AB=2BM ，最后转化结论可得出BN 与AN 之间的数量关系即得；
（2）过点M作ME∥BC交AC于E，先证明AM=ME，再证明MEC
∆与NBM
∆全等，最后转化边即得；
（3）过点P作PM∥BC交AB于M，先证明M是AB的中点，再证明EMP
∆与FCP
∆全等，最后转化边即得．
【详解】
（1）∵ABC
∆为等边三角形，点M是BC的中点
∴AM平分∠BAC，AM BC
⊥，60
B BAC
∠=∠=︒
∴30
BAM
∠=︒，90
AMB
∠=︒
∵60
AMN
∠=︒
∴90
AMN
BAM∠
+=︒
∠，30
∠=︒
BMN
∴90
ANM
∠=︒
∴18090
BNM ANM
=︒-=︒
∠∠
∴在Rt BNM
∆中，2
BM BN
=
在Rt ABM
∆中，2
AB BM
=
∴24
AB AN BN BM BN
=+==
∴3
AN BN
=即3
AN
BN
=．
（2）如下图：
过点M作ME∥BC交AC于E
∴∠CME=∠MCB，∠AEM=∠ACB
∵ABC
∆是等边三角形
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60︒
∴60
AEM ACB
∠=∠=︒，120
MBN=︒
∠
∴120
CEM MBN
∠==︒
∠，60
AEM A
∠=∠=︒
∴AM=ME
∵MNB MCB
∠=∠
∴∠CME=∠MNB，MN=MC
∴在MEC
∆与NBM
∆中
CME MNB
CEM MBN
MC MN
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴()
MEC NBM AAS
∆∆
≌
∴ME BN
=
∴AM BN
=
（3）如下图：
过点P作PM∥BC交AB于M
∴AMP ABC
=
∠∠
∵ABC
∆是等边三角形
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60︒，AB AC BC
==
∴60
AMP A
==︒
∠∠
∴AP MP
=，180120
EMP AMP
=︒-=︒
∠∠，180120
FCP ACB
=︒-=︒
∠∠
∴AMP
∆是等边三角形，120
EMP FCP
==︒
∠∠
∴AP MP AM
==
∵P点是AC的中点
∴
111
222
AP PC MP AM AC AB BC
======
∴
1
2
AM MB AB
==
在EMP
∆与FCP
∆中
EMP FCP
AEP PFC
MP PC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴()
EMP FCP AAS
∆∆
≌
∴ME FC
=
∴
13
22
BF BE FC BC BE ME BC BE MB BC BC BC BC -=+-=+-=+=+=
∴
3
3
2
2
BC
BF BE
BC BC
-
==．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，等边三角形的性质及判定，通过作等边三角形第三边的平行线构造等边三角形和全等三角形是解题关键，将多个量转化为同一个量是求比值的常用方法．
=. 10．已知ABC为等边三角形，E为射线AC上一点，D为射线CB上一点，AD DE
=时，AD是ABC的中线吗？请说明（1）如图1，当点E在AC的延长线上且CD CE
理由；
AB BD AE之间的数量关系，请说明理（2）如图2，当点E在AC的延长线上时，写出,,
由；
（3）如图3，当点D在线段CB的延长线上，点E在线段AC上时，请直接写出,,
AB BD AE的数量关系.
+=，理由详见【答案】（1）AD是ABC的中线，理由详见解析；（2）AB BD AE
=+.
解析；（3）AB AE BD
【解析】
【分析】
（1）利用△ABC是等边三角形及CD=CE可得∠CDE=∠E=30°，利用AD=DE，证明
∠CAD=∠E =30°，即可解决问题．
（2）在AB上取BH=BD，连接DH，证明AHD≌△DCE得出DH=CE，得出AE=AB+BD，（3）在AB上取AF=AE，连接DF，利用△AFD≌△EFD得出角的关系，得出△BDF是等腰三角形，根据边的关系得出结论AB=BD+AE．
【详解】
（1）解：如图1，结论：AD是△ABC的中线．理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACD=∠CDE+∠E=60°，
∴∠E=30°，
∵DA=DE，
∴∠DAC=∠E=30°，
∵∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠CAD，
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∴AD是△ABC的中线．
（2）结论：AB+BD=AE，理由如下：
如图2，在AB上取BH=BD，连接DH，
∵BH=BD，∠B=60°，
∴△BDH为等边三角形，AB-BH=BC-BD，∴∠BHD=60°，BD=DH，AH=DC，
∵AD=DE，
∴∠E=∠CAD，
∴∠BAC-∠CAD=∠ACB-∠E
∴∠BAD=∠CDE，
∵∠BHD=60°，∠ACB=60°，
∴180°-∠BHD=180°-∠ACB,
∴∠AHD=∠DCE，
∴在△AHD和△DCE，
BAD CDE
AHD DCE
AD DE
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪
=
⎩
∴△AHD≌△DCE（AAS），
∴DH=CE，
∴BD=CE，
∴AE=AC+CE=AB+BD．
（3）结论：AB=BD+AE，理由如下：
如图3，在AB上取AF=AE，连接DF，∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∴△AFE 是等边三角形，
∴∠FAE=∠FEA=∠AFE=60°，
∴EF ∥BC ，
∴∠EDB=∠DEF ，
∵AD=DE ，
∴∠DEA=∠DAE ，
∴∠DEF=∠DAF ，
∵DF=DF ，AF=EF ，
在△AFD 和△EFD 中，
AD DE DF DF AF EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩
, ∴△AFD ≌△EFD （SSS ）
∴∠ADF=∠EDF ，∠DAF=∠DEF ，
∴∠FDB=∠EDF+∠EDB ，∠DFB=∠DAF+∠ADF ，
∵∠EDB=∠DEF ，
∴∠FDB=∠DFB ，
∴DB=BF ，
∵AB=AF+FB ，
∴AB=BD+AE ．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形全等找出对应的线段．
三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
11．利用我们学过的知识，可以导出下面这个等式：
()()()12222222a b c ab bc ac a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-⎣
⎦． 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． （1）请你展开右边检验这个等式的正确性；
（2）利用上面的式子计算：
222201820192020201820192019202020182020++-⨯-⨯-⨯．
【答案】（1）见解析；（2）3．
【解析】
【分析】
（1）根据完全平方公式和合并同类项的方法可以将等式右边的式子进行化简，从而可以得出结论；
（2）根据题目中的等式可以求得所求式子的值． 【详解】 解：（1）
12[（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2] =
12（a 2-2ab+b 2+b 2-2bc+c 2+a 2-2ac+c 2） =12
×（2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac ） =a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac ，
故a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=12
[（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2]正确； （2）20182+20192+20202-2018×2019-2019×2020-2018×2020
=
12×[（2018-2019）2+（2019-2020）2+（2020-2018）2] =
12×（1+1+4） =12
×6 =3．
【点睛】
本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握完全平方公式并能灵活运用．
12．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等等，其中十字相乘法在高中应用较多．
十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），如：将式子232x x ++和223x x +-分解因式，如图：
()()23212x x x x ++=++；
()()223123x x x x +-=-+．
请你仿照以上方法，探索解决下列问题：
（1）分解因式：2712y y ；
（2）分解因式：2321x x --．
【答案】（1）（x ﹣3）（x ﹣4）；（2）（x ﹣1）（3x+1）．
【解析】
【分析】
（1）将1分成1乘以1，12分成-3乘以-4，交叉相乘的结果为-7，即可得到答案； （2）将3分成1乘以3，-1分成-1乘以1，由此得到分解因式的结果.
【详解】
（1）y 2﹣7y+12=（x ﹣3）（x ﹣4）；
（2）3x 2﹣2x ﹣1=（x ﹣1）（3x+1）.
【点睛】
此题考查十字相乘法分解因式，将二次项系数及常数项分解成两个因数相乘，交叉相乘的结果相加得到一次项的系数，能准确分解因数是解题的关键.
13．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
()()()()()()()223111111111x x x x x x x x x x x x +++++=++++=++=⎤⎣+⎡⎦. （1）上述分解因式的方法是______________法.
（2）分解220191(1)(1)(1)x x x x x x x ++++++++的结果应为___________.
（3）分解因式：21(1)(1)(1)n x x x x x x x ++++++++.
【答案】（1）提公因式 ; （2）()
20201x + ；（3）()11n x ++
【解析】
【分析】
（1）用的是提公因式法； （2）按照（1）中的方法再分解几个，找了其中的规律，即可推测出结果；.
（3）由（2）中得到的规律即可推广到一般情况.
【详解】
解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法．
（2）()()()()()2333111111x x x x x x x x x x +++++++=+++=()4
1x + ()()()()()()234441111111x x x x x x x x x x x x +++++++++=+++=()51x + ……
由此可知()2201911(1)(1)x x x x x x x ++++++++=()20201x +
（3）原式=（1+x ）[1+x+x （x+1）]+x （x+1）3+…+x （x+1）n ，
=（1+x ）2（1+x ）+x （x+1）3+…+x （x+1）n ，
=（1+x ）3+x （1+x ）3+…+x （1+x ）n ，
=（1+x ）n +x （x+1）n ，
=（1+x ）n+1．
【点睛】
本题考查了提公因式法分解因式，找出整式的结构规律是关键，体现了由特殊到一般的数
学思想．
14．阅读下列解题过程，再解答后面的题目.
例题：已知22
4250x y y x ++-+=，求x y +的值. 解：由已知得22(21)(44)0x x y y -++++=
即22
(1)(2)0x y -++=
∵2(1)0x -≥，2(2)0y +≥ ∴有1020x y -=⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩
∴1x y +=-.
题目：已知22
464100x y x y +-++=，求xy 的值. 【答案】-
32
【解析】
【分析】 先将左边的式子写成两个完全平方的和的形式，根据非负数的性质求出x 、y 的值，再代入求出xy 的值．
【详解】
解：将22464100x y x y +-++=，
化简得22694410x x y y -++++=，
即()()223210x y -++=．
∵()230x -≥，()2210y +≥，且它们的和为0，
∴3x = ，12y
， ∴12233xy ⎛⎫=⨯-
=- ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查的是完全平方公式的应用，解题的关键是将左边的式子写成两个完全平方的和的形式．
15．阅读以下文字并解决问题：
对于形如222x ax a ++这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成()2x a +的形式，但对于二次三项式2627x x +-，就不能直接用公式法分解了。

此时，我们可以在2627x x +-中间先加上一项9，使它与26x x +的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变。

即：
()2262769927x x x x +-=++--()()()2
2363636x x x =+-=+++-()()93x x =+-，像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法.
（1）利用“配方法”因式分解：2245x xy y +-.
（2）若6a b +=，5ab =，求：①22a b +，②44a b +的值.
（3）如果2222264130a b c ab b c ++---+=，求a b c ++的值.
【答案】（1）（x+5y ）（x-y ）；（2）①26，②626；（3）8
【解析】
【分析】
（1）原式变形后，利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可；
（2）利用完全平方公式变形，代入计算即可；
（3）已知等式左边配方后，利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质求出a ，b ，c 的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】
解：（1）原式=x 2+4xy+4y 2-9y 2=（x+2y ）2-（3y ）2=（x+5y ）（x-y ）；
（2）①a 2+b 2=（a+b ）2-2ab=36-10=26，
②a 4+b 4=（a 2+b 2）2-2a 2b 2=626；
（3）∵a 2+2b 2+c 2-2ab-6b-4c+13=0．
∴a 2+b 2-2ab+b 2-6b+9+c 2-4c+4=0
∴（a-b ）2+（b-3）2+（c-2）2=0，
可得a=b=3，c=2，
则原式=3+3+2=8．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质：偶次幂，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
四、八年级数学分式解答题压轴题（难）
16．为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车.已知小王家距离上班地点27km ，他乘坐公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程的2倍还多9km .他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的
37. （1）小王用自驾车上班平均每小时行驶多少千米？
（2）上周五，小王上班时先步行了6km ，然后乘公交车前往，共用
43小时到达.求他步行的速度.
【答案】（1）小王用自驾车上班平均每小时行驶27km ；（2）小王步行的速度为每小时6km .
【解析】
【分析】
（1））设小王用自驾车上班平均每小时行驶xkm ，则他乘坐公交车上班平均每小时行驶()29x km +.再利用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾SS 式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米和乘公交车所用时间是自驾车方式所用时间的
37，列方程求解即可；
（2）设小王步行的速度为每小时ykm ，然后根据“步行时间+乘公交时间=小时”列方程解答即可.
【详解】
解（1）设小王用自驾车上班平均每小时行驶xkm ，则他乘坐公交车上班平均每小时行驶()29x km +.根据题意得：
27327297x x
=⋅+ 解得：27x =
经检验，27x =是原方程的解且符合题意.
所以小王用自驾车上班平均每小时行驶27km ；
（2）由（1）知：小王乘坐公交车上班平均每小时行驶29227963x +=⨯+=（km ）； 设小王步行的速度为每小时ykm ，根据题意得：
62764633
y -+= 解得：6y =.
经检验：6y =是原方程的解且符合题意
所以小王步行的速度为每小时6km .
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解答的关键在于弄清题意、找到等量关系、列出分式方程并解答.
17．一件工程，甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的23
；若由甲队先做 20 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 60天完成．
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为 8.6 万元，乙队每天的施工费用为 5.4 万元，工程预算的施工费用为 1000 万元，若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？
【答案】(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天、180天 (2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元
【解析】
试题分析：（1）首先表示出甲、乙两队需要的天数，进而利用由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成得出等式求出答案；
（2）首先求出两队合作需要的天数，进而求出答案．
试题解析：解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要2
3
x天．
根据题意，得2011
60()1
22
33
x x x
++=
，解得：x=180．
经检验，x=180是原方程的根，∴2
3
x
=
2
3
×180=120，答：甲、乙两队单独完成这项工程分
别需120天和180天；
（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，则有11
()1
120180
y+=，解得y=72．
需要施工费用：72×（8.6+5.4）=1008（万元）．
∵1008＞1000，∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元．
点睛：此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
18．某公司开发的960件新产品必须加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工48件产品的时间与乙工厂单独加工72件产品的时间相等，而且乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品，在加工过程中，公司需每天支付50元劳务费请工程师到厂进行技术指导.
(1)甲、乙两个工厂每天各能加工多少件产品？
(2)该公司要选择既省时又省钱的工厂加工产品，乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费用为每天800元，请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，有望加工这批产品？【答案】
(1)甲工厂每天加工16件产品，则乙工厂每天加工24件；(2)乙工厂向公司报加工费用每天最多为1225元时，有望加工这批产品.
【解析】
【分析】
(1)此题的等量关系为：乙工厂每天加工产品的件数=甲工厂每天加工产品的件数+8；甲工厂单独加工48件产品的时间=乙工厂单独加工72件产品的时间，设未知数，列方程求出方程的解即可；(2)先分别求出甲乙两工厂单独加工这批新产品所需时间，再求出甲工厂所需费用，然后根据乙工厂所需费用要小于甲工厂所需费用，设未知数，列不等式，再求出不等式的最大整数解即可.
【详解】
(1)设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工(x+8)件产品，
根据题意得：4872
8
x x
=
+
，。