2.5 介质中的高斯定理

的介质球带电荷为q 例1：已知半径为a，介电常数为 ε 的介质球带电荷为q， 已知半径为a 球外为空气， 球外为空气，分别在下列情况下求空间各点的电场和介 质中的极化电荷分布： 质中的极化电荷分布： 电荷q均匀分布在球体内； 1）电荷q均匀分布在球体内； 电荷q集中在球心； 2）电荷q集中在球心； 电荷q均匀分布在球面上。 3）电荷q均匀分布在球面上。 解：1）电荷q均匀分布在球体内时，电场分布为 电荷q均匀分布在球体内时，
εK ∇⋅ P = − ρ = ∇⋅ D = ρP = (ε − ε 0 )r 2 ε − ε0 ε −ε0 ε ε
即
由此得到介质球内的自由电荷体密度为
总的自由电荷量
εK q = ∫ ρdV = V ε − ε0
∫
a
0
1 4πεaK 4πr 2 dr = ε − ε0 r2
14
3）介质球内、外的电场强度分别为 介质球内、
P K E1 = = er ε − ε0 ε 0 (ε − ε 0 )r 2 (r < a )
(r > a)
εaK E 2 = er = er 2 4πε 0 r ε 0 (ε − ε 0 )r 2
q
介质球内、 介质球内、外的电位分别为
ϕ1 = ∫ E ⋅ d l = ∫ E1dr + ∫ E2 dr = ∫
1 d 2 K K ρ P = −∇ ⋅ P = − 2 (r ⋅ ) = − 2 r r dr r 的球面上， 在 r = a 的球面上，束缚电荷面密度为 K σ P = n ⋅ P |r =a = e r ⋅ P r =a = a
13
2)由于 2)由于 D = ε 0 E + P ，所以
ε0 ∇ ⋅ D = ε 0∇ ⋅ E + ∇ ⋅ P = ∇ ⋅ D + ∇ ⋅ P ε ε0 (1 − )∇ ⋅ D = ∇ ⋅ P ε
εr
3.3 6.0 5.3~6.5 81 3.3 2.6
2.3 1.3~4.0 2.6~3.5 2.1 2.3
D =εE
P = (ε − ε 0 ) E
在真空中， 在真空中， P = 0
，
εr = 1
D = ε0 E
6
3.高斯定律的应用 高斯定律的应用 高斯定律适用于任何情况，但仅具有一定对 称性的场才有解析解。 计算技巧： 计算技巧： a） 分析场分布的对称性，判断能否用高斯定律 求解。 b）选择适当的闭合面作为高斯面，使 中的 D 可作为常数提出积分号外。
(r ≥ a )
15
=
ε aK ε 0 (ε − ε 0 )r
三、静电场的边界条件
介质特性突变 场突变 边界条件：揭示介质两边电场之间的联系。 边界条件：揭示介质两边电场之间的联系。 n 1、 的边界条件 D D
如图， 柱形面上、 如图 ， 柱形面上 、 下底面积 ε1媒媒1 ∆S ∆S很小，故穿过截面 的电 很小， 很小 故穿过截面∆S的电 通量密度可视为常数， 通量密度可视为常数 ， 假设 h 0 柱形面的高h→0， 柱形面的高 h→0 ， 则其侧面 ε2媒媒2 θ2 积可以忽略不计。 积可以忽略不计。 D2 设分界面上存在的自由面电荷密度为 σ，由高斯定理
2.5
介质中的高斯定律
边界条件
一、介质中的高斯定理
介质的极化过程包括两个方面： 介质的极化过程包括两个方面： 1)外加电场的作用使介质极化，产生极化电荷； 1)外加电场的作用使介质极化，产生极化电荷； 外加电场的作用使介质极化 2)极化电荷反过来激发电场，两者相互制约， 2)极化电荷反过来激发电场，两者相互制约，并达到 极化电荷反过来激发电场 平衡状态。 平衡状态。 3)无论是自由电荷 还是极化电荷，它们都激发电场， 无论是自由电荷， 3)无论是自由电荷，还是极化电荷，它们都激发电场， 服从同样的库仑定律和高斯定理。 服从同样的库仑定律和高斯定理。 1.介质中静电场的基本方程 1.介质中静电场的基本方程
θ1
1
分分分
∫ D⋅ dS = q
S
∫
S
D ⋅ dS = D1 ⋅ n ∆S − D2 ⋅ n ∆S = σ∆S
⇒ (D − D2 ) ⋅ n = σ 1
16
说明： 为分界面上自由电荷面密度 自由电荷面密度， 说明：1) σ为分界面上自由电荷面密度，不包括自 由极化电荷。 由极化电荷。 2）若媒质为理想媒质，则 若媒质为理想媒质，
10
r=a的球面上， r=a的球面上， 的球面上
σ P |r = a = P ⋅ n |r = a 1
2）电荷q集中在球心时，电场分布为 电荷q集中在球心时，
4πε r q E2 = e 2 r 4πε 0 r
2
E1 =
q
er
(r < a)
(r > a)
在r=a的球面上， r=a的球面上， 的球面上
ρ P = −∇ ⋅ P1 = −(ε − ε 0 )∇ ⋅ E1
极化点电荷为q 根据高斯定理， 极化点电荷为qP，根据高斯定理，有
11
∫ ε E ⋅ dS = q + q
0 1 S
P
取S为以介质球心为中心，r(r<a) 为半径的球面， 为以介质球心为中心， 为半径的球面， qε 0 2 4π r ⋅ = q + qP 2 4πε r
∇⋅D = ρ
电位移矢量
根据散度定理， 根据散度定理，有
∫ D ⋅ d S = ∫ ∇ ⋅ DdV
S V
∫ D ⋅ d S = ∫ ρ dV = Q
S V
介质中的高斯定理
结论：穿过任意封闭曲面的电通量，只与曲面中包围的自由 3 电荷有关，而与介质的极化状况无关。
介质中静电场的基本方程为： 介质中静电场的基本方程为： 微分形式 积分形式
(D − D2 ) ⋅ n = σ 1 ⇔ D n − D2n = σ 1
σ =0
D n − D2n = 0 1
结论：若边界面上不存在自由电荷， 法向连续。 结论：若边界面上不存在自由电荷，则 D法向连续。
ε ε r = = 1 + χe ε0
可见，任何介质的相对介电常数总是大于 大于1 可见，任何介质的相对介电常数总是大于1。下表给出 了几种介质的相对介电常数的近似值。 了几种介质的相对介电常数的近似值。 5
介 质 空 气 油 纸 有机玻璃 石 腊 聚乙烯
εr
1.0
介 质 石 英 云 母 陶 瓷 纯 水 树 脂 聚苯乙烯
σ P |r = a = P ⋅ n |r = a 1
r ≠ 0处，
(ε − ε 0 ) q = (ε − ε 0 ) E1 ⋅ e r |r = a = 2 4πε 0 a
1 d 2 q = −(ε − ε 0 ) 2 (r )=0 2 r dr 4πε r r=0处为电场的奇异点 该处应有一极化点电荷， 处为电场的奇异点， r=0处为电场的奇异点，该处应有一极化点电荷，设此
P = χ e ε0 E
4
P = ε0χe E
D = ε 0 E + P = ε 0 (1 + χ e ) E = ε 0ε r E = ε E
ε = ε 0ε r
称为介质的介电常数
为正实数， 因此， 已知电极化率 χ e 为正实数 ， 因此 ， 一切介质的介电常 数均大于真空的介电常数。 大于真空的介电常数 数均大于真空的介电常数。 实际中经常使用介电常数的相对值， 实际中经常使用介电常数的相对值 ，这种相对值 称为相对介电常数， 表示， 称为相对介电常数，以εr表示，其定义为
∇× E = 0
∫ E ⋅ dl = 0
L
故可引入标量电位 ϕ
E = −∇ϕ
2
2)介质极化后，介质中的静电场是自由电荷与 2)介质极化后，介质中的静电场是自由电荷与极化电 介质极化后 自由电荷 共同激发的，根据高斯定律， 荷共同激发的，根据高斯定律，有： ρ + ρP ∇⋅E = ε0 将 ρ P = −∇ ⋅ P 代入上式可得： ∇ ⋅ (ε 0 E + P ) = ρ 代入上式可得： 定义一个新矢量： 定义一个新矢量： D = ε 0 E + P
E'
E0
介质空间外加电场 E0 ，实际电场为 E ，变化与介质性 质有关。 质有关。 1)介质中，极化电荷只是静电场的散度源， 1)介质中，极化电荷只是静电场的散度源，对其旋度 介质中 没有影响。 没有影响。极化电荷激发的场 E′ 仍满足 ∇ × E ' = 0 根据叠加原理，介质中的总场仍是无旋 无旋的 根据叠加原理，介质中的总场仍是无旋的。即
r r a ∞ a ∞ a r ∞ K ε aK dr + ∫ dr 2 a ε (ε − ε )r (ε − ε 0 )r 0 0
=
εK K a ln + (ε − ε 0 ) r ε 0 (ε − ε 0 )
(r ≤ a )∞
∞
r
ε aK dr 2 ε 0 (ε − ε 0 )r
∇× E = 0
∇⋅D = ρ
∫ E ⋅ dl = 0
L
∫ D ⋅ d S = ∫ ρ dV = Q
S V
介质中静电场仍为有源无旋场。 介质中静电场仍为有源无旋场。 有源无旋场 2．D, E, P 的关系
极化强度 P 与电场强度 E 之间的关系由介质的性质决
P 定。对于线性各向同性介质， 和 E有简单的线性关系 对于线性各向同性介质，
∫
S
D⋅ dS
7
4.介质中的电位方程 4.介质中的电位方程
在均匀、各向同性、线性媒质中（ 为常数） 在均匀、各向同性、线性媒质中（ ε为常数）
ρ ⇒∇⋅ E = ε ρ 2 ∇ ϕ =− ε 在ρ = 0的区域，则有 ∇2ϕ = 0
∇⋅ D = ρ ⇒∇⋅ (ε E) = ε∇⋅ E= ρ
(E = −∇ϕ)
(r < a)
(r < a )
(r > a)
介质球内， 介质球内，极化电荷分布为 ρ P = −∇ ⋅ P1 = −∇ ⋅ [(ε − ε 0 ) E1 ] = −(ε − ε 0 )∇ ⋅ E1 球坐标中， 球坐标中，
1 ∂ 2 ∇⋅ A = 2 (r ⋅ Ar ) r ∂r 3(ε − ε 0 ) q 1 d 2 qr ρ P = −(ε − ε 0 ) 2 (r ) =− 3 r dr 4πε a 4πε a 3 (ε − ε 0 ) q = (ε − ε 0 ) E1 ⋅ e r |r = a = 2 4πε a
介质中的泊松方程
介质中的拉普拉斯方程
线性媒质：媒质参数不随电场的值而变化，反之， 线性媒质：媒质参数不随电场的值而变化，反之，称为 非线性媒质； 媒 非线性媒质； 均匀媒质：媒质参数不随空间坐标而变化，反之，称为 均匀媒质：媒质参数不随空间坐标而变化，反之， 质 非均匀媒质； 非均匀媒质； 各向同性媒质：媒质特性不随电场的方向改变,反之，称 各向同性媒质：媒质特性不随电场的方向改变,反之， 为各向异性媒质。 8 为各向异性媒质。
∫ D⋅dS = q
S
2
ρ=
q 4 3 πa 3
D=
(r < a)
4 3 q 3 D ⋅ 4π r = ρ ⋅ π r = 3 r 3 a
qr D= e 3 r 4π a
qr 4π a 3
9
qr D= e 3 r 4π a qr E1 = e 3 r 4πε a q E2 = e 2 r 4πε 0 r
∇× E = 0 真空中， 真空中， 自由电荷是激发静电场的源 ρ ⇒ 自由电荷是激发静电场的源 ∇⋅E = 1 ε0
ρ 自由电荷： 自由电荷： , E0
ρ 介质被极化－ 极化电荷： 介质被极化－>极化电荷： P , E '
介质空间中电场： 介质空间中电场：
E = E0 + E '
ρP
12
在r=a的球面上， r=a的球面上， 的球面上
例2:一个半径为 a 、介电常数为 ε 的均匀介质球内的极 2:一个半径为 化强度为 K
P=
r
er
为一常数。 其中 K为一常数。 1)计算束缚电荷体密度和面密度 计算束缚电荷体密度和面密度； 1)计算束缚电荷体密度和面密度； 2)计算自由电荷体密度 计算自由电荷体密度； 2)计算自由电荷体密度； 3)计算球内 外的电场和电位分布。 计算球内、 3)计算球内、外的电场和电位分布。 解：1)介质球内的束缚电荷体密度为 1)介质球内的束缚电荷体密度为
ε − ε0 qP = − q ε
3）电荷q均匀分布在球面上时，电场分布为 电荷q均匀分布在球面上时， q E1 = 0 (r < a) E2 = e (r > a) 2 r 4πε 0 r 介质球内， 介质球内，
ρ P = −∇ ⋅ P1 = −∇ ⋅ [(ε − ε 0 ) E1 ] = 0 σ P |r =a = P ⋅ n |r =a = 0 1