溪湖区第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

溪湖区第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知点A （1，1），B （3，3），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）
A ．y=﹣x+4
B ．y=x
C ．y=x+4
D ．y=﹣x
2． 设函数()()()21ln 31f x g x ax x ==-+，，若对任意1[0)x ∈+∞，，都存在2x ∈R ，使得()()12f x f x =，则实数的最大值为（
）
A ．
9
4
B ．
C.
9
2
D ．4
3． 若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，有()()
2121
0f x f x x x -<-，则
（
）
A ．()()()213f f f -<<
B ．()()()123f f f <-<
C ．()()()312f f f <<
D ．()()()
321f f f <-<4． 为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批108套住房，已知三个社区分别有低收入家C B A ,,庭360户，270户，180户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从社C 区抽取低收入家庭的户数为（ ）
A ．48
B ．36
C ．24
D ．18
【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用，属于容易题．5． 已知，，则“”是“”的（ ）
α[,]βππ∈-||||βα>βαβαcos cos ||||->-A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力.6． 已知数列{a n }是等比数列前n 项和是S n ，若a 2=2，a 3=﹣4，则S 5等于（ ）
A ．8
B ．﹣8
C ．11
D ．﹣11
7． 已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点， 111ABC A B C -1A ABC BC 则异面直线与所成的角的余弦值为（
）
AB 1CC
A B D ．
34
8． 已知圆C ：x 2+y 2﹣2x=1，直线l ：y=k （x ﹣1）+1，则l 与C 的位置关系是（ ）A ．一定相离B ．一定相切
C ．相交且一定不过圆心
D ．相交且可能过圆心9． 设P 是椭圆+
=1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于（ ）
A ．22
B ．21
C ．20
D ．13
10．设a 是函数
x 的零点，若x 0＞a ，则f （x 0）的值满足（
）
A ．f （x 0）=0
B ．f （x 0）＜0
C ．f （x 0）＞0
D ．f （x 0）的符号不确定
11．设定义域为（0，+∞）的单调函数f （x ），对任意的x ∈（0，+∞），都有f[f （x ）﹣lnx]=e+1，若x 0是方程f （x ）﹣f ′（x ）=e 的一个解，则x 0可能存在的区间是（ ）
A ．（0，1）
B ．（e ﹣1，1）
C ．（0，e ﹣1）
D ．（1，e ）
12．设1m >，在约束条件,,1.y x y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为
（
）
A
．(1,1+
B
．(1)++∞
C. (1,3)
D ．(3,)
+∞二、填空题
102所示的框图，输入
，则输出的数等于
15．设x ，y 满足约束条件，则目标函数z=2x ﹣3y 的最小值是 ．
16．三角形中，，则三角形的面积为 .
ABC 2,60AB BC C ==∠=
ABC 17．已知函数
为定义在区间[﹣2a ，3a ﹣1]上的奇函数，则a+b= ．
18．数列{a n }是等差数列，a 4=7，S 7= ．
三、解答题
19．数列中，，，且满足.{}n a 18a =42a =*
2120()n n n a a a n N ++-+=∈（1）求数列的通项公式；
{}n a （2）设，求.
12||||||n n S a a a =++ n S 20．（本小题满分12分）
已知顶点在单位圆上的中，角、、的对边分别为、、，且
ABC ∆A B C a b c
．
C b B c A a cos cos cos 2+=（1）的值；
A cos （2）若，求的面积．
42
2
=+c b ABC ∆21．已知数列{a n }的首项a 1=2，且满足a n+1=2a n +3•2n+1，（n ∈N *）．（1）设b n =
，证明数列{b n }是等差数列；
（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．
22．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD 绕AD
旋转一周所成几何体的表面积．
23．如图所示，已知+=1（a ＞＞0）点A （1，）是离心率为的椭圆C ：上的一点，斜率为的直
线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求△ABD 面积的最大值；
（Ⅲ）设直线AB 、AD 的斜率分别为k 1，k 2，试问：是否存在实数λ，使得k 1+λk 2=0成立？若存在，求出λ的值；否则说明理由．
24．（本小题满分13分）
在四棱锥中，底面是梯形，，，，
P ABCD -ABCD //AB DC 2
ABD π
∠=
AD =22AB DC ==为的中点．
F PA （Ⅰ）在棱上确定一点，使得平面；PB E //CE PAD
（Ⅱ）若的体积．
PA PB PD ===
P BDF -
A
B
C
D
P
F
溪湖区第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：∵点A （1，1），B （3，3），∴AB 的中点C （2，2），
k AB =
=1，
∴线段AB 的垂直平分线的斜率k=﹣1，∴线段AB 的垂直平分线的方程为：y ﹣2=﹣（x ﹣2），整理，得：y=﹣x+4．故选：A ．　
2． 【答案】]【解析】
试题分析：设()()2ln 31g x ax x =-+的值域为A ，因为函数()1f x =-在[0)+∞，上的值域为(0]-∞，，所以(0]A -∞⊆，，因此()231h x ax x =-+至少要取遍(01]，中的每一个数，又()01h =，于是，实数需要满足0a ≤或0940
a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得94a ≤．
考点：函数的性质.
【方法点晴】本题主要考查函数的性质用，涉及数形结合思想、函数与方程思想、转和化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型。

首先求出A ，再利用转化思想将命题条件转化为(0]A -∞⊆，，进而转化为()231h x ax x =-+至少要取遍(01]，
中的每一个数，再利用数形结合思想建立不等式组：0a ≤或0940
a a >⎧⎨∆=-≥⎩，从而解得9
4a ≤．
3． 【答案】D 4． 【答案】C
【解析】根据分层抽样的要求可知在社区抽取户数为．
C 249
2
108180270360180108=⨯=++⨯5． 【答案】A.
【解析】，设，，||||cos cos ||cos ||cos αβαβααββ->-⇔->-()||cos f x x x =-[,]x ππ∈-显然是偶函数，且在上单调递增，故在上单调递减，∴，()f x [0,]π()f x [,0]π-()()||||f f αβαβ>⇔>故是充分必要条件，故选A.6． 【答案】D
【解析】解：设{a n}是等比数列的公比为q，
因为a2=2，a3=﹣4，
所以q===﹣2，
所以a1=﹣1，
根据S5==﹣11．
故选：D．
【点评】本题主要考查学生运用等比数列的前n项的求和公式的能力，本题较易，属于基础题．
7．【答案】D
【解析】
考点：异面直线所成的角.
8．【答案】C
【解析】
【分析】将圆C方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，与r比较大小即可得到结果．
【解答】解：圆C方程化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=2，
∴圆心C（1，0），半径r=，
∵≥＞1，
∴圆心到直线l的距离d=＜=r，且圆心（1，0）不在直线l上，
∴直线l与圆相交且一定不过圆心．
故选C
9．【答案】A
【解析】解：∵P是椭圆+=1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，|PF1|等于4，
∴|PF2|=2×13﹣|PF1|=26﹣4=22．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆定义的应用．　
10．【答案】C
【解析】解：作出y=2x和y=log x的函数图象，如图：
由图象可知当x0＞a时，2＞log x0，
∴f（x0）=2﹣log x0＞0．
故选：C．
11．【答案】D
【解析】解：由题意知：f（x）﹣lnx为常数，令f（x）﹣lnx=k（常数），则f（x）=lnx+k．由f[f（x）﹣lnx]=e+1，得f（k）=e+1，又f（k）=lnk+k=e+1，
所以f（x）=lnx+e，
f′（x）=，x＞0．
∴f（x）﹣f′（x）=lnx﹣+e，
令g（x）=lnx﹣+﹣e=lnx﹣，x∈（0，+∞）
可判断：g（x）=lnx﹣，x∈（0，+∞）上单调递增，
g（1）=﹣1，g（e）=1﹣＞0，
∴x0∈（1，e），g（x0）=0，
∴x 0是方程f （x ）﹣f ′（x ）=e 的一个解，则x 0可能存在的区间是（1，e ）故选：D ．
【点评】本题考查了函数的单调性，零点的判断，构造思想，属于中档题．　
12．【答案】A 【解析】
考点：线性规划.
【方法点晴】本题是一道关于线性规划求最值的题目，采用线性规划的知识进行求解；关键是弄清楚的几何意义直线z x my =+截距为
z
m
，作0my x :L =+,向可行域内平移,越向上,则的值越大,从而可得当直线直线
z x my =+过点A 时取最大值，⎩⎨
⎧==+00001mx y y x 可求得点A 的坐标可求的最大值,然后由z 2,>解不等式可求m 的范围. 二、填空题
13．【答案】　180　
【解析】解：由二项式定理的通项公式T r+1=C n r a n ﹣r b r 可设含x 2项的项是T r+1=C 7r （2x ）r 可知r=2，所以系数为C 102×4=180，故答案为：180．
【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型，难度系数0.9．一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等．　
14．【答案】
【解析】由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，则。

15．【答案】　﹣6　．
【解析】解：由约束条件
，得可行域如图，
使目标函数z=2x ﹣3y 取得最小值的最优解为A （3，4），∴目标函数z=2x ﹣3y 的最小值为z=2×3﹣3×4=﹣6．故答案为：﹣6．　
16．【答案】【解析】
试题分析：因为中，，，又ABC ∆2,60AB BC C ===︒2
sin A
=
1sin 2A =
，即，所以，∴，，．BC AB <A C <30C =︒90B =︒AB BC ⊥1
2
ABC
S AB BC ∆=⨯⨯=考点：正弦定理，三角形的面积．
【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用，三角形的面积公式．在解三角形有关问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据，一般来说，当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正
ab 2
b 2
a 弦、余弦交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦，再结合和、差、倍角的正弦公式进行解答．解三角形时．三角形面积公式往往根据不同情况选用不同形式，，，等等．1sin 2a
b C 12ah 1()2a b
c r ++4abc R
17．【答案】　2　．
【解析】解：∵f （x ）是定义在[﹣2a ，3a ﹣1]上奇函数，∴定义域关于原点对称，即﹣2a+3a ﹣1=0，∴a=1，∵函数为奇函数，
∴f （﹣x ）==﹣
，
即b •2x ﹣1=﹣b+2x ，∴b=1．即a+b=2，故答案为：2．　
18．【答案】49【解析】解：
==7a 4=49．故答案：49．
【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．　
三、解答题
19．【答案】（1）；（2）．
102n a n =-2
29(5)
940(5)
n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩【解析】
试题分析：（1）由，所以是等差数列且，，即可求解数列的通2120n n n a a a ++-+={}n a 18a =42a ={}n a 项公式；（2）由（1）令，得，当时，；当时，；当时，，0n a =5n =5n >0n a <5n =0n a =5n <0n a >即可分类讨论求解数列．
n S
当时，5n ≤12||||||n n S a a a =++ 2
129n a a a n n
=+++=- ∴.1
2
29(5)940(5)
n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩考点：等差数列的通项公式；数列的求和．20．【答案】
【解析】（1）∵，2cos cos cos a A c B b C =+∴，2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ⋅=+∴，
2sin cos sin()A A B C ⋅=+∵，∴，A B C π++=sin()sin B C A +=∴．
2sin cos sin A A A ⋅=
∵，∴，0A π<<sin 0A ≠∴，∴．2cos 1A =1cos 2
A =
（2）由，得，
1
cos 2
A =sin A =
由
，得．2sin a
A =2sin a A ==∵，
222
2cos a b c bc A =+-∴，2
2
2
431bc b c a =+-=-=
∴11sin 22ABC S bc A ∆=
==21．【答案】
【解析】解：（1）∵=
，
∴数列{b n }是以为首项，3为公差的等差数列．
（2）由（1）可知，
∴
①
②
①﹣②得：
，
∴
．
【点评】本题主要考查数列通项公式和前n 项和的求解，利用定义法和错位相减法是解决本题的关键．
22．【答案】
【解析】解：四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成的几何体，如右图：
S 表面=S 圆台下底面+S 圆台侧面+S 圆锥侧面=
πr 22+π（r 1+r 2）l 2+πr 1l 1=
=
=
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵，∴a=c，
∴b2=c2
∴椭圆方程为+=1
又点A（1，）在椭圆上，
∴=1，
∴c2=2
∴a=2，b=，
∴椭圆方程为=1 …
（Ⅱ）设直线BD方程为y=x+b，D（x1，y1），B（x2，y2），
与椭圆方程联立，可得4x2+2bx+b2﹣4=0
△=﹣8b2+64＞0，∴﹣2＜b＜2
x1+x2=﹣b，x1x2=
∴|BD|==，
设d为点A到直线y=x+b的距离，∴d=
∴△ABD面积S=≤=
当且仅当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为…
（Ⅲ）当直线BD过椭圆左顶点（﹣，0）时，k1==2﹣，k2==﹣2此时k1+k2=0，猜想λ=1时成立．
证明如下：k1+k2=+=2+m=2﹣2=0当λ=1，k1+k2=0，故当且仅当λ=1时满足条件…
【点评】本题考查直线与椭圆方程的综合应用，考查存在性问题的处理方法，椭圆方程的求法，韦达定理的应用，考查分析问题解决问题的能力．　
24．【答案】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当为的中点时，平面． （1分）E PB //CE PAD 连结、，那么，． EF EC //EF AB 1
2
EF AB =∵，，∴，，∴． （3分）//DC AB 1
2
DC AB =
//EF DC EF DC =//EC FD 又∵平面， 平面，∴平面． （5分）
CE ⊄PAD FD ⊂PAD //CE PAD （Ⅱ）设为的中点，连结、，∵，∴， O AD OP OB PA PD =OP AD ⊥在直角三角形中，, 又∵，∴，∴,∴ABD 1
2
OB AD OA =
=PA PB =PAO PBO ∆≅∆POA POB ∠=∠，
OP OB ⊥∴平面． （10分）
OP ⊥ABD
，2PO ==
=2
BD ==∴三棱锥的体积． （13分）
P BDF -1112
222233
P BDF P ABD V V --==⨯⨯⨯=A
B
C
D
P
O
E F。