2018年度5-2018年度8全国高考理科解析汇报几何高考题总汇编

2015-2017高考解析几何汇编
017（一）10 •已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l i, I2，直线l i 与C交于A、B两点，直线12与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A . 16 B. 14 C. 12 D . 10
2 2
2017（一）20 . （12 分）已知椭圆C:笃爲=1 （a>b>0 ），四点P1 （1,1 ），P2 （0,1 ），
P3 a b
（-1，—），P4 （1，—）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；
2 2
（2）设直线I不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为T，证明：I过定点.
2 2
2017（二）9 .若双曲线C:仔与1 （a 0，b 0）的一条渐近线被圆x 2 2 y2 4所截得a b 的弦长为2，则C的离心率为
A. 2 B . 、- 3 C .、2 D .公
3
2
2017（二）20 . （12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C : y2 1上，过M作x轴的垂
ULU .-ULUin
线，垂足为N，点P满足NP 2NM .
（1）求点P的轨迹方程；
UUU UHT
（2）设点Q在直线x 3上，且OP PQ 1 .证明：过点P且垂直于OQ的直线I过C 的左焦点F.
2 2017（三）10 .已知椭圆C:务
a
2
占1，（a>b>0 ）的左、右顶点分别为A1, A2，且以线段b
C .
2017(三)20 . (12分)已知抛物线C : y 2=2x ，过点(2,0)的直线I 交C 与A,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.(1 )证明：坐标原点O 在圆M 上；
(2)设圆M 过点P (4, -2 )，求直线I 与圆M 的方程.
2 2 _
2017(天津)(5)已知双曲线 务 笃1(a 0,b 0)的左焦点为F ,离心率为2.若经过F 和 a b
P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
2 2
2017(天津)(19)(本小题满分14分)设椭圆 笃 每1(a b 0)的左焦点为F ,右顶点为A ， a b
1 2 1
离心率为丄•已知A 是抛物线y 2px(p 0)的焦点，F 到抛物线的准线的距离为-.
2 2
(I )求椭圆的方程和抛物线的方程； AP 与椭圆相交于点B ( B 异于点A )，直线BQ 与轴
相交于点D -若厶APD 的面积为于，求直线AP 的方程.
2016(二)(11)已知F 1，F 2是双曲线E 的左，右焦点，点 M 在E 上, M F 1与疋轴
垂直，sin ',则E 的离心率为)A ) ( B ) (C ) (D ) 2
2016(二)(20)(本小题满分12分)
A 1A 2为直径的圆与直线bx ay 2ab
0相切，则C 的离心率为
2 2
1( C ) X
2
x
(D)—
8
2 y_
4
(II )设上两点P ，Q 关于轴对称，直线
2 2
4
4
已知椭圆E: $ 3 的焦点在苴轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于
A,M两点，点N在E上, MA丄NA.
(I)当t=4 ,亠丄一丄'时，求△ AMN的面积；(II)当―一一山‘时，求k的取值范围.
2016(北京)19.(本小题14分)已知椭圆C:笃占1 ( a b 0 )的离心率为仝，A(a,0)，
a b 2
B(0,b)，0(0,0)，OAB 的面积为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.
求证：AN| |BM|为定值.
2016( 一)(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=4、2，|DE|= 2 5，则C的焦点到准线的距离为
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
2016( 一)20.(本小题满分12分)
设圆x2y22x 15 0的圆心为A，直线I过点B (1,0)且与x轴不重合，I交圆A于C，D 两点，过B 作AC的平行线交AD于点E.
(I)证明|EA||EB为定值，并写出点E的轨迹方程；
(II)设点E的轨迹为曲线C1,直线I交C1于M ,N两点，过B且与I垂直的直线与圆A交于
P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
2 2
X y
2016( 三) (11)已知O为坐标原点，F是椭圆C: 2 1(a b 0)的左焦点，A, B分别
a b
为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF丄x轴.过点A的直线I与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，贝U C的离心率为
11 2 3
(A) - (B) - (C) - (D)-
3 2 3 4
2016(三)(20)(本小题满分12分)
已知抛物线C : y2 2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线hh分别交C于A，B两点，交C
的准线于P，Q两点•
(I)若F在线段AB 上, R是PQ的中点，证明AR //FQ;
(II)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.
2015 (二) (11)已知A ,B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，？ ABM为等腰三角形，且顶角为120。

，贝归的离心率为
(A)^5 (B) 2 (C)心(D)^2
2015 (二) 20 .(本小题满分12分)
已知椭圆C: 9x2 y2 m2(m 0)，直线I不过原点O且不平行于坐标轴，I与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。

(1)证明：直线OM的斜率与I的斜率的乘积为定值；
(2)若l过点(m,m)，延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形？
3
若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。

2
2015 (一) (5)已知M (x o, y o)是双曲线C: y2
LLULT UJUir
点，若MF〔? MF2 v 0，则y o的取值范围是
1上的一点，F i、F2是C上的两个焦
(B)(-乎，乎)(C)(
6 6 2.2 2「2、
T，〒)
(D)(
2015 (一) (20)(本小题满分12分)
一x2
在直角坐标系xoy中，曲线C: y= 与直线y kx a (a >0)交与M ,N两点,
4
(I)当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程;
(n) y轴上是否存在点P,使得当k变动时，总有/ OPM = ZOPN ?说明理由
2015 (陕西) 2
14.若抛物线y 2px(p 0)的准线经过双曲线
2 2
x y 1的一个焦点，则 2015 (陕西)
(本小题满分 12分)已知椭圆
2 2 x
y 2
,2
a
b
1 ( a b 0)的半焦距为
c ，原点 到
0,b 的直线的距离为
. (I )求椭圆 2
的离心率；(II )如图, 是圆
经过， 两点,
求椭圆 的方
2
c,0 经过两点
2017（一）10.【答案】A
【解析】
试題分析:设心斯』）/厲心）卫3」"氏冷刃）,直线4的方程为＞=A（x-i）,联立方程
f e3得岸分—2吊—牡+附=o…：两+出一竺二=哙^,同理直粗与抛物
2jt:—
线的交点满足两*毛=^y~ ,由抛物线定义可細血| + 两+花+为+岭+2p
畧+Q亠丄諾+心r+8 = 16J当且仅当冏=—妬=1 （或—1）叭取尊号.
2017（一）20 •试题分析：（1）根据P3,巳两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过卩3，P4两点.另外由-2—2—2 3^知，C不经过点P1，所以点P2在C上•因此P2,P3,P4
a b a 4b
在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1, k2，再设直线I的方程，当I与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设I:
2
y kx m （m 1），将y kx m代入—y2 1，写出判别式，利用根与系数的关系表示出
4
X 1+X 2, X 1X 2,进而表示出k k 2，根据k k 2 1列出等式表示出k 和m 的关系，从而判断
出直线恒过定点•
2
故C 的方程为—y 2 1.
4
（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，
[4 t ^
如果I 与x 轴垂直，设l:x=t ，由题设知t 0，且|t | 2，可得A ,B 的坐标分别为（t ，一2—），
而& k 2心注
X 1
X 2 kx 1 m 1
kx 2 m 1
X 1
X 2
2kx 1x 2 (m 1)(x 1
x 2)
X 1X 2
试题解析：（1）由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P s ，P 4两点. 又由丄丄」2 2知，C 不经过点P i ,所以点P 2在C 上.
a b a 4b 1
因此X
1
-2
a
1,
4b 2
1,
解得
b 2 4, 1.
(t ，
4 t 2 2
则k k 2
4 t 2
2
4 t 2 2
2t
2t
从而可设 l : y kx m ( m 1 )
2 2
2
(4 k 1)x 8kmx 4m 4
0.
1) 0.
设 A (X 1，y 1)，B (X 2, y 2 )，贝
U X 1 + X 2 = 8km
1
，
4 k 2
X 1X 2= 4 m 2 4
4k 2
由题设
即(2 k 解得k
k k 2 1,故(2 k 1)X 1 X 2
2
八 4m 4 ,八
8km
1) 2 (m 1)
— 4k 2 1 4k 2 1
m 1 2 .
(m 0.
1)(N X ，) 0. 当且仅当m 1时， 0，于是 m ，即y
m 1
—(X 2),
)
1 ,得t 2，不符合题设.
2
将y kx m 代入—y 2 1得
4
2
2
m 由题设可知 =16（4k
2017（二）20 . （12 分）
【解析】
试题分析：（1）设岀点.P 的坐标，剎用丽=运直？得到点P 与点M 坐标之佝的关系良呵求得轨迹方 程为* +戸=2；⑵ 利用丽应=冋得坐标之间的关系：—珈―屛+打—结合中 的结论整理可得而-两=5即宛d 両’据此即可得出结论・ 试题解析：（1） i 殳P ⑴必M （咼』设押（心0）,帀=（无-嘉刃,而 =（0化）.
劭M （心曲在C 上：删扌+牛』
£ £
因此旦P 的轨迹方程为X 2十屮=2・
⑵ 由题意知戸（-“）-设g （-M ）屮（碍算‘
则 OQ =
= （— 1—附—M ）, OQ - P7*1 = 3 + 3JW —fw f
由 OP-P0 = 1得—Sim —JW 1 +/FJ —w a =1 j 又由（1）知曲"+用*=2,故3+3加一fn = 0 . 所以元-雨=（b 即元丄示.又过点P 存在唯一直线垂直于00,所以过点P 且垂直于OO 的直 线/过C 的左焦点贰
2017（三）10.A 2017（三）20.解
（1 ）设 A ,B X 2，y 2 ,l : x my 2
所以I 过定点（2 , 1）
2017（二）9试题分析：由几何关系可得，双曲线
2 2
笃爲1 a 0,b 0的渐近线方程为
a b
bx ay 0，圆心2,0到渐近线距离为d ■. 22 12
3，则点2,0到直线bx ay 0的距
离为d
|2b a 0 2b .a 2 b 2 7
3，整理可得c 2
4a 2，双曲线的离心率e
.4 2 •故选A .
x my 2 2
…
由 2
可得y 2my 4 0,则yy 4
y 2 2x
2 2
2
又 X \ = 'y
—,X 2='y ^,故X i X 2= y "2
=4 2 2
4
因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为上岸=上=-1
x 1 x 2
4
所以OA 丄OB 故坐标原点O 在圆M 上.
2
（2）由（1）可得 ％+y 2=2m,X i +X 2=m w+y ? +4=2m 4
故圆心M 的坐标为 m 3+2, m ，圆M 的半径r . m 2 2
m 2
uuu uuu
由于圆 M 过点 P （4，-2），因此 APgBP 0，故 X ! 4 X 2 4
% 2 y ? 2
即 NX 2 4 X 1+X 2
%y 2 2 y y 2 20 0
2017（天津）（5）【答案】B
P 2
，于是b2『J 3
2 2
的方程为X 3 y 1
10
当m=1时，直线I 的方程为x-y-2=0
，圆心M 的坐标为
（3,1），
圆M 的半径为.10，圆M
1
当m -时，直线l 的方程为2x
4 0，圆心M 的坐标为
1
-，圆M 的半径为
.85
圆M 的方程为x 9 + Y+1 4
，2
85 16
由（1）
可得 y i y 2=-4，X i X 2=4， 4
【解析】由题意得a b,—
c
c 4, a
2
y_
8
1, B.
2017（天津）（19）【答案】（1）
x 2
4x.（2） 3x 0，或 3x . 6y 0.
【解析】（I ）解：设F 的坐标为（ c,0）.依题意,
1 1，解得
a 1
，c
所以，椭圆的方程为X 2 竺 1，抛物线的方程为y 2
4x.
3
01）解：设直线曲的力理內丸—吋十“2对，口直线｛的方阻—7他，可故 m
iK-L-）.将工=阳+ 1与便 =1联立，涓去心 整理得（沏？+牡『十如砂=业，解得》=0,或 *n 3
厂
2
y 二冷-•由点丘异于点M ，可得点巩器¥・咅勺，由0（—^2〉，叵得直结砂的方程为 3JH +-4 3m + + j/fi +4 m
(-^---Xx +1+ ,4+iKv --) = 0 专尸山 feWx=2_3fli 3/» +4 m j/w +4 m
|血＞|=1—与*=乌匚展因为△丿妙 的面浜为 还
3脚工十2 3#? I 2 2
Sn 2-2^|»i|4-2 = 0,解得|m|=^ , W.«=± —
2016 （二） （11）【答案】
VH
【答案】（I ）阳；（U ） 【解析】 仙的方程，再求点酬的纵坐标，最后求恥宓的面积；（U ）设
"山小丿，，将直线册的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用上表示円，从而表示I 皿1， 同理用上表示〕再由，护.
/ 12 12
孑"得小宀〜解得『°或厂了，所以叮丁
2xlx —X —-—
因此MW 的面积 2
7
7
49
IT
也齢“嬲
曲 2
£?樂理得
所以，直线AP 的方程为3x 〔y 3 0,或3x
,6y 3 0.
2016（二）20.（本小题满分 12 分)
试题分析：（I ）先求直线
试题解析：（I ）设卅（％小），则由题意知兀川，
d
3
当 时，电的方程为°
3
观 2.0）
由已知及椭圆的对称性知，直线皿 的倾斜角为
K
弓.因此直线4卅的方程为$门'
（II ）由题意3, "0,心W
由题设，直线洌的方程为
七 ，故同理可得
当人十2时上式不成立, 因此上的取值范围是3，）
2
2016（北京）【答案】（1） — y 2 1 ; （2 ）详见解析.
4
【解析】
试題分析:⑴根磁禺字叫二孕冉如的面积为4即存"腿中归宀湖
方程求解；（2）根將已扣条件分别求出|妙「|加/|的值，求其乘帜为定值_
a~~2' 1
丄 ab= 1,解得金= 2_b = l 一 ，2
所以椭凰C 的方程为疋I-
(2)由(1)知,A(2,0),B(0,1),
设尺辱片)，则盂+ 4元=4一
当花工0时尸直线打的方程为严卫2匕一2)一
将直线的方程1⑴代入 J 为 1 得I 2 jzi\ izV 3/ 0
由斗3）霊得1{3,故
舛k"l 任^兽1
由"阳/用得和讨
石，即Dfr
因/ ' 因此
^-av+t-a 仗-2)崔呵“
?
V-2 4-2>0
4
彳 •由此得^_2<0
，或・ i-2<0
訐7 't C ,解得、；—2
试题解析；（D 由题意得
花-2
弩k=° , W F M----- —^―.从而|flAf | = |1 一屮呂=1■十——r-
兀一2 ' 斗)_2|
直线P.B的方程为y =心兀+1.
令y=X得帝=_上「•从而|側=|2—如|=2十
为-1
所闵网卩砌=2 +上」|1 +冬
吒一斗|牝一幺
当忑=0时，片=一匚^1=2^ = ^
所以|側-昭| = 4.
综上，|4V|-羁⑷为定値一
2016 (一) (10) B 2016( —)20.(本小题满分12 分)
解：(1)因为|AD||AC| , EB//AC，故EBD ACD ADC , 所以|EB||ED|，故| EA| |EB||EA| | ED | | AD |.
又圆A的标准方程为(x 1)2寸16，从而| AD| 4，所以|EA| |EB| 4.
由题设得A( 1,0)，B(1,0)，|AB| 2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：
2 2
x y
1 (y 0 ).
4 3
(n)当l与x轴不垂直时，设1的方程为y k(x 1)(k 0)，M(X1,yJ，“化小).
y k(x 1)
由x2y2得(4k2 3)x2 8k2x 4k2 12 0.
1
4 3
1 2
过点B(1,0)且与I垂直的直线m ：y —(x 1) , A到m的距离为/ ?，所以
k J k2 1
I PQ | 2 '4 ( j 2~) 4、：——.故四边形MPNQ 的面积
S 1 |MN ||PQ | 12 1 —1一.
2 4k2 3
可得当I与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为［12,&.3).
当l与x轴垂直时，其方程为x 1，|MN | 3，|PQ| 8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为［128.3).
1
2016 (三)(11)A 2016(三)(20)解：由题设F(-,0).设h : y at: y b，则ab 0,且
2
记过代B两点的直线为I，则I的方程为2x (a b)y ab 0 ........................... 3分(I)由于F在线段AB上，故1 ab 0.
记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，贝U
, a b a b 1 ab , ,
k1 22 b k2.
1 a a ab a a
所以AR // FQ................. 5分
(U)设I与x轴的交点为D(X1,0)，
则S ABF
111 a b
b a| FD b a X1,S PQF
222 1
2
则X i X2 8k2
X1X2
2
4k 12
4k2 3
所以| MN I d k2 |X1
2 X2II
2 b2 1 1
?a),Q( 1,b),R(
1 lab
由题设可得一b ax! _ ——，所以为0 （舍去），X! 1.
2 2 2
设满足条件的AB的中点为E（x, y）.
当AB与x轴不垂直时，由k AB k DE可得上L（x 1）.
a b x 1
而y，所以y2x 1（x 1）.
2
当AB与x轴垂直时，E与D重合.所以，所求轨迹方程为y2x 1 .................... 12分2015 （二）【答案】D
-―- T J .2= 设双弾蚣程为斗―冬=1（“0上>0）,如團所示，困| = |丘甘|,厶EW = 12代过皐直作胚V_討
<z' b"
I 轴，垂足背¥, S Rt^BMN中，困鬥二q |胚v| = J5m故戌时的坐标为M（2q丘），代入50晦| I I 方程得即芒=加・所*=妃故选D・-
：0> 15 ：
{ | 进f f找f: F =后十占（A A O,Z' x 0）►乂化-曲尼-> J * "（工■■儿】桁严打+ b代
人石*:-屛购植X. + JC* 一色
+ S
f jtfiiSaw 的料军左* = £二・了•即—'"6
*w
廉Ul j'tJS OM的斜军* j『胁斜41的玻号' 为企慣.
H、呜冲Jb OAPB K为甲荷【叫辺形
,m 、"片听丿斗过丽片片呱厂仃溥于空心的七狂条八圧讯为戏妙过点厲刖•肮決"“宀
I）得（7曲邯丄甘斡”、9_；
™Q5 A氐）開将削—啲銅W"即2十・3 .卄“卫出M仪当红投沖用对浅怒
两辺宓W闵为平打四边旳-
TU士m榊“円宀上
侗为& >0（ h U"
牢行四边羽.
2015 （二）
2015 （一）（5）2015 （一）（20）【答案】（I）. ax y a 0 或、ax y a 0 （U）存在
【解析】
试题分析：（I）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N. （U ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a代入曲线C的方程整理成关于x的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM , PN的斜率之和用a表示出来，利用直线PM , PN的斜率为0,即可求出a, b关系，从而找出适合条件的P点坐标.
试题解析：（I）由题设可得M（2；.a,a），N（ 2.2,a），或M（2、2,a），N（^. a,a）.
. 2
T y —x，故y —在x = 2 2a处的到数值为、-a，C在（2- 2a,a）处的切线方程为
2 4
y a a（x 2 a），即、、ax y a 0.
2
故y .在x=- 2,2a处的到数值为-a , C在（2 2a,a）处的切线方程为4
y a 、a（x 2 a），即、、ax y a 0.
故所求切线方程为.ax y a 0或、、ax y a 0. ••…5分
（U）存在符合题意的点，证明如下：
设P（0，b）为复合题意得点，M^,%），N（X
），直线PM，PN的斜率分别为人出.
2,y2
将y kx a代入C得方程整理得x2 4kx 4a 0.
x24k,x!x24a.
, y i b y2 b 2収必2 (a 力任x2) k(a b)
k2= = .
x1x2x-i x2a
当b a时，有k i k2=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，
故/OPM= /OPN，所以P（0, a）符合题意•……12分
考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力
2015 （s陕西）【答案】2-.2
所以2m2 m 1 0，解得m 1或m。