陕西省西安市铁一中学2019届高三12月模拟考试数学(理)试题Word版含答案

陕西省西安市铁一中学2019届高三12月模拟考试
数学（理）试题
（满分：150分，考试时间：120分钟）
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合{}{}0,2,3,|,,,A B x x ab a b A a b ===∈≠，则B 的子集的个数是（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 15
2.已知复数i
z -=
11
，则z z -对应的点所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象
3.下列命题错误的是( )
A. 命题“若02
2
=+y x ，则0==y x ”的逆否命题为“若y x ,中至少
有一个不为0则02
2≠+y x ”
B. 若命题01,:02
00≤+-∈∃x x R x p ，则01,:2
>+-∈∀⌝x x R x p
C. ABC ∆中，B A sin sin >是B A >的充要条件
D. 若向量,a b 满足0a b ⋅<，则a
与b 的夹角为钝角.
4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.83
π B.
16
3
π C.8π D.16π 5.函数2
cos (2)3y x π=-的图象向左平移6
π个单位，所得的图象对应的函数是（ ）
A.值域为［0,2］的奇函数
B.值域为［0,1］的奇函数
C.值域为［0,2］的偶函数
D.值域为［0,1］的偶函数
6.已知()23()f x x x R =+∈，若()1f x a -<的必要条件是1(,0)x b a b +<>，则,a b 之间的关系是( )
A.2
a b ≥
B.2
a b <
C.2b a ≤
D.2
b a > 7.如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论错误的是( )
A ．DC 1⊥D 1P
B ．平面D 1A 1P⊥平面A 1AP
C ．∠AP
D 1的最大值为90° D ．AP+PD 1
8.在6
4
(1)(1)x y ++的展开式中，记m n
x y 项的系数为(,)f m n ,则(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++ 的值
为（ ） A ． 45
B ． 60
C ． 120
D ． 210
（第4题图）
（第7题图）
9.某宾馆安排A 、 B 、 C 、 D 、 E 五人入住3个房间, 每个房间至少住1人, 且A 、 B 不能住同一房间, 则不同的安排方法有（ ）种
A. 24
B. 48
C. 96
D. 114 10.在直角坐标系中，点A ，B ，C
的坐标分别为2)-，O 为坐标原点，动点P 满足1CP =，则OA OB OP ++的最小值是( ) A
．4-
B
1+ C
1- D
11.若两个正实数,x y 满足
141x y +=，且不等式234
y
x m m +<-有解，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1,4)- B ．(,1)(4,)-∞-⋃+∞ C ．(4,1)- D ．(,0)(3,)-∞⋃+∞
12.对于三次函数3
2
()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设'
()f x 是函数()y f x = 的导数，''
()f x 是'
()f x 的导数，若方程''
()0f x =有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数
32115()3,3212g x x x x =-+-则12
2014
()()(
)20152015
2015
g g g ++
+=( ) A .2013
B.2 014
C.2 015
D.2 016
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 的取值范围是_______.
14.已知椭圆
2214x y m +=的离心率11[,)3
2
e ∈，则m 的取值范围为 __________． 15.若△ABC 的内角满足sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是________．
16.若函数2
2
()(1)()f x x x ax b =-++的图像关于直线3x =对称，则()f x 的最大值为___．
三．解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题满分12分)已知各项均不相等的等差数列错误！未找到引用源。

的前四项和414S =，且137,,a a a
成等比数列．
（I ）求数列错误！未找到引用源。

的通项公式；
（II ）设n T 错误！未找到引用源。

为数列错误！未找到引用源。

的前错误！未找到引用源。

项和，若n T λ≥ 错误！未找到引用源。

对任意的正整数n 恒成立，求实数λ的最大值．
18.(本小题满分12分)已知正棱锥S-ABC 的侧棱SA,SB,SC 两两互相垂直，D,E,F 分别是它们的中点，SA=SB=SC=2，现从A,B,C,D,E,F 六个点中任取三个点，加上点S ，把这四个点两两相连后得到一个“空间体”，记这个“空间体”的体积为X （若点S 与所取三点在同一平面内，则规定X=0）. （I ）求事件“X=0”的概率；
（II ）求随机变量X 的分布列及数学期望.
（第13题图）
19.(本小题满分12分)在如图所示的空间几何体中，平面⊥ACD 平面ABC ，ACD ∆与ACB ∆都是边长为2的等边三角形，2=BE ，BE 和平面ABC 所成的角为︒60，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上．
（I ）求证：//DE 平面ABC ；
（II ）求二面角A BC E --的余弦值.
20. (本小题满分12分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 的右焦点为F ，离心率为22
，过点F 且与x 轴垂
直的直线被椭圆截得的线段长为2，O 为坐标原点．
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）如图所示，设直线l 与圆)21(2
22<
<=+r r y x 、椭圆C 同时相切，切点分别为A ，B ，求|AB|的
最大值．
21. (本小题满分12分) 设函数()2
1ln 2
f x x ax bx =--，a 、b R ∈ （I ）当2
1
=
=b a 时，求函数()x f 的单调区间； （II ）令()()(2103)2a
F x f x ax bx x x =+++<≤，其图像上任意一点()00,P x y 处切线的斜率
为k ，若1
2
k ≤ 恒成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）当1,0-==b a 时，方程()mx x f =在区间[2
1,e ]内有唯一实数解，求实数m 的取值范围.
（第19题图） （第20题）
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的
参数方程为⎩⎨⎧=+=α
αsin cos 1t y t x (t 为参数，πα<<0)，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2
=．
（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求AB 的最小值．
22.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数|32||12|)(-++=x x x f ． （Ⅰ）求不等式6)(≤x f 的解集；
（Ⅱ）若关于x 的不等式2)3(log )(2
2>--a a x f 恒成立，求实数a 的取值范围．
陕西省西安市铁一中学2019届高三12月模拟考试
数学（理）试题参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. [－3,4] 14.
32916
(3,][,)
923
15.
6－2
416．36.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）
18.（本小题满分12分）
……5分
19.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意知，ABC ∆，ACD ∆都是边长为2的等边三角形，取AC 中点O ，连接DO BO ,，则
AC BO ⊥，AC DO ⊥，……………………2分
又∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴DO ⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ， 那么DO EF //，根据题意，点F 落在BO 上，
∴︒=∠60EBF ，易求得3==DO EF ，…………4分
∴四边形DEFO 是平行四边形，∴OF DE //，∴//DE 平面ABC (6)
分
（Ⅱ）解法一：作BC FG ⊥，垂足为G ，连接EG ， ∵EF ⊥平面ABC ，∴BC EF ⊥，又F FG EF = ，
∴⊥BC 平面EFG ，∴BC EG ⊥，∴EGF ∠就是二面角A BC E --的平面角．…………9分
EFG Rt ∆中，2
1
30sin =
︒⋅=FB FG ，3=EF ，213=EG ．
∴1313cos ==
∠EG FG EGF ．即二面角A BC E --的余弦值为13
13
.………12分 解法二：建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -，可知平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(1=n 设平面BCE 的一个法向量为),,(
2z y x n =
则，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
022BE n n 可求得)1,3,3(2-=n ．………………9分
所以13
13
||||,cos 212121=
⋅>=
<n n n n ， 又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角A BC E --的余弦值为13
13
．…12分 20．(本题满分12分) 解：（Ⅰ）设F （C ，0）
，则
2
c a =，知
，过点F 且与x 轴垂直的直线方程为x=c
，代入椭圆方程有22221,c y y a b +===解得，解得b ＝1，
又2
2
2
,1a b c c -==从而，所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=……4分 （Ⅱ）依题意直线l 的斜线存在，设直线l ：y ＝kx ＋m 将22222
(12)422022
y kx m
k x kmx m x y =+⎧+++-=⎨
+=⎩联立得，令△＝0，
22222222164(22)(12)0,2(1)(12)0k m m k k m m k --+=--+=
22222222120k m m k m k --++=
2212m k ∴=+ …………………6分
222
222222
2(14)14B 1212(12)12km m k m k OB k k k k
-++∴∴==++++切点（,）,
222
222(1)l x y r r m r k +===+直线与圆相切，即
由222
2
2
2
2
2
222122(1)11
1212(1)2111
k k m k k r k r k k k ++-=+∴+=+∴===-+++…………8分
又2
2
(1,2),0r k ∈∴>
22222222
2
2
2
222222
4
21412(14)(1)(12)121(12)(1)(12)(1)231
k k k k k k k AB OB r k k k k k k k k ++++-+∴=-=-===++++++++
＝
2
2
1
3
1
23
k
k
=-
++
当且仅当42
21,
k k
==
即时取等号
1
AB
∴的最大值为…………………12分21．(本题满分
12分)
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 22．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由θθρcos 4sin 2
=，得θρθρcos 4)sin (2
= 所以曲线C 的直角坐标方程为x y 42
=.……………………5分
（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入x y 42=，得04cos 4sin 2
2=--ααt t .
设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则=
+21t t αα2sin cos 4，=21t t α
2
sin 4
-， ∴=-+=-=212
21214)(t t t t t t AB α
ααα2
242sin 4
sin 16sin cos 16=+， 当2
π
α=时，AB 的最小值为4. ……………………10分
23．（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）原不等式等价于
⎪⎩⎪⎨⎧≤--+≤≤-⎪⎩⎪⎨
⎧≤-++>6)32()12(23216)32()12(23x x x x x x 或或⎪⎩⎪⎨⎧≤--+--
<6)32()12(21x x x 解得：2
112321223-<≤-≤≤-≤<x x x 或或.
即不等式的解集为}21|{≤≤-x x ． ……………………5分
（Ⅱ）不等式2)3(l o g )(22>--a a x f 等价于<+-2)3(log 2
2a a |32||12|-++x x ，因为4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x ，所以)(x f 的最小值为4，
于是42)3(log 2
2<+-a a 即⎪⎩⎪⎨⎧<-->-0
430
322a a a a 所以01<<-a 或43<<a ．…10分。