湖北省武汉市第十七中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

湖北省武汉市第十七中学2024-2025学年高二上学期10月月考
数学试卷
一、单选题
1．从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球,下列情况中互斥而不对立的两
个事件是
A ．至少有一个红球，至少有一个白球
B ．恰有一个红球，都是白球
C ．至少有一个红球，都是白球
D ．至多有一个红球，都是红球
2．对空间任意一点O 和不共线三点A ，B ，C ，能得到A ，B ，C ，D 四点共面的是（ ）
A ．23OD OA O
B O
C =+-u u u r u u u r u u u r u u u r
B ．111236
OD OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r
C ．22O
D OA OB OC =--u u u r u u u r u u u r u u u r
D ．1344
OD OA OB OC =+-u u u r u u u r u u u r u u u r
3．向量{}
,,a b c r r r 是空间的一个单位正交基底，向量p r 在基底a r ，b r ，c r
下的坐标为(1,2,3)-，
则p r
在基底{}
,,a b a b c +-r r r r r 的坐标为（ ）
A ．13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．13,,322⎛⎫-- ⎪⎝⎭
C ．13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．13,,322⎛⎫-- ⎪⎝⎭
4．如图，四面体OABC 中，点E 为OA 中点，F 为BE 中点，G 为CF 中点，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u
r r ，
OC c
=u u u r r ，若OG u u u r
可用a r ，b r ，c r 表示为（ ）
A ．111442a b c ++r r r
B ．111842a b c ++r r
r
C ．111844a b c ++r r r
D ．111882
a b c ++r r r
5．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且ABC V 的面积ABC S V
)
222
ABC
S a c b =+-V ，则AB BC ⋅=u u u r u u u r （ ）
A
B ．
C ．2
D ．2-
6．如图，某电子元件由A ，B ，C 三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A ，B ，C 三种部件不能正常工作的概率分别为15，14，1
3
，各个部件是否
正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（ ）
A ．
1825
B ．
725
C ．
6475
D ．
1175
7．已知二面角l αβ--的棱上两点A ，C ，线段AB 与CD 分别在这个二面角内的两个半平面内，并且都垂直于棱l .若6AB =，8CD =，2AC =，12BD =.则这两个平面的夹角的余弦值为（ ） A ．
512 B ．45
C ．35
D ．34
8．在空间直角坐标系Oxyz 中，定义：经过点()000,,P x y z 且一个方向向量为
()(),,0m a b c abc =≠r 的直线l 方程为000x x y y z z a b c
---==，经过点()000,,P x y z 且法向量为
(),,n λμω=r
的平面方程为()()()0000x x y y z z λμω-+-+-=，已知：在空间直角坐标系
Oxyz 中，经过点()0,0,1P 的直线l 方程为
12
x
y z ==-，经过点P 的平面α的方程为220x y z ++-=，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（ ） A ．16
B ．15
C ．56
D ．
1114
二、多选题
9．设,A B 为古典概率模型中的两个随机事件，以下命题正确的为（ ） A ．若()1
3P A =，()12P B =，则当且仅当()56
P A B +=时，,A B 是互斥事件 B ．若()1
3P A =
，()23
P B =，则A B +是必然事件
C ．若()1
3P A =
，()23
P B =，则()79P A B +=时,A B 是独立事件 D ．若()()11,34
P A P B ==，且()1
4P AB =，则,A B 是独立事件
10．已知空间三点()1,3,2A ，()0,2,4B ，()3,4,5C ，则下列说法正确的是（ ）
A ．3A
B A
C ⋅=uu u r uu u r
B ．A
C u u u r 在AB u u u r 方向上的投影向量为11,,122⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．点C 到直线AB
D ．ABC V 11．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，N 为底面ABCD 的中心，P 为线段11A D 上的动点（不包括两个端点），M 为线段AP 的中点，则（ ）
A ．CM 与PN 是异面直线
B ．平面PAN ⊥平面11BDD B
C ．存在P 点使得PN AN ⊥
D ．当P 为线段11A D 中点时，过A 、M ，N 三点的平面截此正方体所得截面的面积为9
2
三、填空题
12．在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生09:的随机整数，并且04~代表男生，用59~代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了20组随机数：
由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为．
13．已知平面α内一点()8,9,5P ，点()1,2,2Q 在平面α外，若α的一个法向量为()4,3,12n =-r
，
则Q 到平面α的距离为．
14．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，222
s i n 2a b c
C a b b
----=，且ABC V 的
)a b c ++，则2a b +的最小值为.
四、解答题
15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,//ABCD AB AD AD BC ⊥，，1
2
BC AD =
， 2PA AB E ==，为棱PD 的中点．
(1)求证：EC //平面PAB ；
(2)当3PC = 时，求直线PC 与平面BCE 所成角的正弦值．
16．2023年，某省实行新高考，数学设有4个多选题，在给出的A ，B ，C ，D 四个选项中，有两项或三项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．现正在进行数学学科期中考试．
(1)根据以往经验，小李同学做对第一个多选的概率为
3
4，做对第二个多选题的概率为12
，对第三个多选题的概率为1
6
．求小李同学前三个多选题错一个的概率．
(2)若最后一道数学多选题有三个正确的选项，而小智和小博同学完全不会做，只能对这道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的，若小智打算从中随机选择一个选项，小博打算从中随机选择两个选项． （i ）求小博得2分的概率；
（ii ）求小博得分比小智得分高的概率．
17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中底面为正三角形，1114,2,120AA AB A AB A AC ==∠=∠=︒．
(1)证明：1AA BC ⊥；
(2)求异面直线1BC 与1AC 所成角的余弦值．
18．2023年10月26日，中国的神舟十七号载人飞船与“天宫”空间站成功对接，形成三舱三船组合体．某地区为了激发当地人民对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m 人，这m 人按年龄分成5组，其中第一组：[)20,25，第二组：[)25,30，第三组：[)30,35，第四组：[)35,40，第五组：[]40,45，得到如图所示的频率分布直方图．已知第一组有10人．
(1)根据频率分布直方图，估计这m 人的第60百分位数（精确到0.1）；
(2)现从第四组和第五组用分层随机抽样的方法抽取6人，担任“党章党史”宣传使者． ①有甲（年龄36），乙（年龄42），且甲、乙确定入选，从6人中要选择两个人担任组长，求甲、乙两人至少有一人被选上组长的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和5
2
，第五组宣传使者的年龄的平均
数与方差分别为42和1，估计这m 人中35－45岁所有人年龄的平均数和方差． 19．如图，在多面体ABCDEF 中，侧面BCDF 为菱形，侧面ACDE 为直角梯形，//,,AC DE AC CD N ⊥为AB 的中点，点M 为线段DF 上一动点，且
2,120BC AC DE DCB ==∠=︒．
(1)若点M为线段DF的中点，证明：//
MN平面ACDE；
(2)若平面BCDF⊥平面ACDE，且2
DE=，问：线段DF上是否存在点M，使得直线MN与
平面ABF所成角的正弦值为
3
10
?若存在，求出
DM
DF
的值；若不存在，请说明理由．。