人教版高中数学选修4-2课件：2.4逆变换与逆矩阵

解：(1)设矩阵 A 的逆矩阵为 B＝ca db，
则13
2 a 4 c
b d
a＋2c＝1， ＝10 01，得b3＋ a＋2d4＝ c＝00，，
3b＋4d＝1，
a＝－2， b＝1， 解得c＝32， d＝－12，
－2 1
所以 B＝3 2
－12.
(2)设直线 l 上任一点 P(x，y)经过 B 对应变换变为点 P(x′，y′)，
2.4 逆变 换与 逆矩 阵
2.4.1 逆矩 阵的 概念
理解教材 新知
把握热点 考向
应用创新 演练
考点一 考点二
2.4
逆变换与逆矩阵
2．4.1 逆矩阵的概念
1．逆矩阵的定义 对于二阶矩阵A、B，若有_A_B__＝__B_A_＝ ___E_，则称A是可逆 的，B称为A的逆矩阵，记为A－1.
2．逆矩阵的性质 (1)若二阶矩阵 A、B 均可逆，则_A__B_也可逆，且_(_A_B_)_－_1_＝__B_ _－_1A__－_1_. (2)已知 A、B、C 为二阶矩阵且 AB＝AC，若 A 存在逆矩阵， 则_B__＝__C_.
求满足 AXB＝C 的矩阵 X.
[思路点拨] 由 AXB＝C 得 X＝A－1CB－1，从而求解．
[精解详析] ∵A－1＝－23 －12，
B－1＝－21 －32，
∴X＝A－1CB－1＝－23
－2 0 1 1
1
2
0 －1
＝－12
－3
2
2 －1
－23＝－10
01.
－3 2
此种题型要特别注意左乘还是右乘相应的逆矩 阵，若位置错误，则得不到正确结果，原因是矩阵 乘法并不满足交换律．
11＝－223
2 1－
3.
2
6．若矩阵 A＝01 10，B＝01 －1 变换下的曲线方程．
12，求曲线 x2＋y2＝1 在矩阵(AB)
解：(AB)－1＝B－1A－1＝10
－2 1 1 0
01＝10
－21.
设 P(x，y)是圆 x2＋y2＝1 上任意一点，P 点在(AB)－1 对应
变换下变成 Q(x′，y′)
a＋c＝1， 故2ba＋＋d3＝c＝0，0，
2b＋3d＝1.
解得 a＝3，c＝－2，b＝－1，d＝1. 从而 A－1＝－23 －11.
(2)设矩阵 B 的逆矩阵为xz wy ，
则24
3 x 5 z
wy ＝10
01，
即24xx＋ ＋35zz 24yy＋ ＋35ww＝01 10.
2x＋3z＝1， 故42xy＋＋35wz＝＝00，，
3 A－1＝－121
－111＝－23 1
－11.
(2)注意到 2×5－4×3＝－2≠0，故 B 存在逆矩阵 B－1，且
B－1＝－ －524 －2
－－－2223＝－252
3 －21.
法二：利用待定系数法．
(1)设矩阵 A 的逆矩阵为ca db，
则12
1 a 3 c
db＝10
01，
即a2＋ a＋c3c 2bb＋＋3dd＝10 01.
1 2 0
0＝12 1 0
0. 2
∴xy′′＝120
0
2
xy＝122xy
即x′＝12x， y′＝2y.
x＝2x′， ∴y＝12y′.
代入 y＝cos x 得12y′＝cos 2x′ 故曲线 y＝cos x 在矩阵 M－1N 对应的变换作用下解析式为 y＝
2cos 2x.
7．已知矩阵 A＝13 24. (1)求矩阵 A 的逆矩阵 B； (2)若直线 l 经过矩阵 B 变换后的方程为 y＝x，求直线 l 的方程．
所以 A－1＝0
1. 5
逆矩阵的概念与性质的应用
[例 3] 若矩阵 A＝20 05，B＝10 31，求矩阵 AB 的逆矩阵． [思路点拨] 根据公式(AB)－1＝B－1A－1，先求出 B－1、A－1， 再利用矩阵乘法求解．
[精解详析] 因为矩阵 A 所对应的变换为伸缩变换，
1 所以 A－1＝2
0
4．求矩阵乘积 AB 的逆矩阵．
(1)A＝02 10，B＝01 40； (2)A＝－01 －10，B＝31 42.
解：(1)(AB)－1＝B－1A－1
1 ＝0
0 1 1 2 4 0
01＝120
0 1. 4
(2)(AB)－1＝B－1A－1
－2 1
＝3 2
－12
－1
0
0 －1
2 －1
＝－32
ab－14＝1， 所以7b－21＝0，
－14＋3a＝1，
解得 a＝5，b＝3.
3．已知 A＝11 21，B＝－12 －11，求证 B 是 A 的逆矩阵．
证明：因为 A＝11 12，B＝－21 －11，
所以 AB＝11
1
2
2 －1
－11＝10
01，
BA＝－12
－1 1 1 1
12＝01
10，
所以 B 是 A 的逆矩阵．
公式法求解． [精解详析]
法一：待定系数法：设A－1＝zx
wy ，
则32
2 x 1 z
wy ＝10
01.
即3x2＋ x＋2zz 23yy＋ ＋w2w＝01 10，
故32xx＋ ＋2z＝z＝01，，
3y＋2w＝0， 2y＋w＝1，
解得x＝－1，z＝2，y＝2，w＝－3，
从而A的逆矩阵为A－1＝－21 －32.
w＝－1.
故所求的逆矩阵 A－1＝73 － －21.
因为 AX＝31，
所以 A－1AX＝A－131，
所以 X＝A－131＝73
－2 －1
31＝198.
8．若点
A(2,2)在矩阵
M＝csions
α α
－sin cos α
α对应变换的作用下得
到的点为 B(－2,2)，求矩阵 M 的逆矩阵．
解：因为 M22＝－22，
从几何角度考虑矩阵对应的变换是否存在逆变换，就是观 察在变换下是否能“走过去又能走回来”，即对应的变换是一 一映射．
关键是熟练掌握反射变换、伸缩变换、旋转变换、切变变 换等常用变换对应的矩阵，根据矩阵对应的几何变换找出其逆 变换，再写出逆变换对应的矩阵，即为所求逆矩阵．
3．已知矩阵 A＝－ －1223
cos－90° sin－90°
－csoins－ －9900°°＝－01
10 .
法二：由 M＝01 －10，则 ad－bc＝1≠0.∴M－1＝－01 10.
1．求下列矩阵的逆矩阵． (1)A＝21 31；(2)B＝24 35.
解：法一：利用逆矩阵公式． (1)注意到 1×3－2×1＝1≠0，故 A 存在逆矩阵 A－1，且
解：由 M＝21 －－31，得 2×(－1)－(－3)×1＝1≠0， 故 M －1＝－ －11 32.
从而由21
－3 －1
xy＝153得
xy＝－－11
3 2
153＝－ －11× ×1133＋ ＋32× ×55＝－32，
故xy＝＝－2，3， 即 A(2，－3)为所求．
[例 2] 用几何变换的观点求下列矩阵的逆矩阵． (1)A＝02 10；(2)B＝－01 10. [思路点拨] A 为伸压变换矩阵，B 为旋转变换矩阵，只需 找到它们的逆变换，再写出逆变换对应的矩阵即为所求．
db，则－01
0 a 2 c
db＝
1 0
10，即－2ac －2db＝01
0 1
故 a＝－1，b＝0，c＝0，d＝12，从而 A 的逆矩阵为 A－1
－1 0
＝
0
1， 2
－1
所以 A－1B＝
0
0 1 2
1 0
62＝－01
－32 .
2．已知矩阵 M＝21 －－31所对应的线性变换把点 A(x，y)变成点 A′(13,5)，试求 M 的逆矩阵及点 A 的坐标．
0 1. 5
而矩阵 B 对应的变换为切变变换，
其逆矩阵 B－1＝10 －31， ∴(AB)－1＝B－1A－1
＝10
1
－3 1
2 0
015＝120
－35
1
.
5
(1)要避免犯如下错误(AB)－1＝A－1B－1. (2)此题也可以先求出 AB 再求其逆．
5．已知 A＝01
－1 1
1 2 3
－
[精解详析]
(1)矩阵 A 为伸压变换矩阵，它对应的几何变换为平面内点
的纵坐标保持不变，横坐标沿 x 轴方向拉伸为原来 2 倍的伸缩变
换，因此它存在逆变换 TA－1：将平面内点的纵坐标保持不变，
横坐标沿 x 轴方向压缩为原来的12，所对应的变换矩阵为 A－1＝
1 2
0.
0 1
(2)矩阵 B 为旋转变换矩阵，它对应的几何变换为将平面内 的点绕原点顺时针旋转 90°.它存在逆变换 TB－1：将平面内的点 绕原点逆时针旋转 90°，所对应的变换矩阵为 B－1＝01 －10.
3
2
，求
A－1.
1
2 2
解：设 M＝10
1 －11，N＝2
3
－
3
2
，则
1
A＝MN.
2 2
∵1×1－0×(－1)＝1≠0，
∴M－1＝10
1 3
11，同理
N－1＝
2
－
3 2
2 .
1 2
由逆矩阵的性质，得
A－1＝(MN)－1＝N－1M－1
1 3
＝
2
－
3 2
2
1 2
1 0
1 1＋ 3
1 . 2
5．已知变换矩阵 A 把平面上的点 P(2，－1)，Q(－1,2)分别变 换成点 P1(3，－4)，Q1(0,5)． (1)求变换矩阵 A； (2)判断变换矩阵 A 是否可逆，如果可逆，求矩阵 A 的逆矩 阵 A－1；如果不可逆，请说明理由．
解：(1)设 A＝ac
db，依题意，得ca
b d
4y＋5w＝1.
解得 x＝－52，z＝2，y＝32，w＝－1.
从而 B－1＝－52 2
3 －21.
2．已知可逆矩阵 A＝a7 23的逆矩阵 A－1＝－b7 －2a，求 a，b 的值．
解：根据题意，得 AA－1＝E，
所以7a
2
b
3 －7
－a2＝01
10，
即ab－7b2－×271 －－ 2×2a7＋ ＋23aa＝01 10，
－21＝－43，ca
b －1 d 2
＝05，
2a－b＝3， 即2－c－a＋d＝2b－＝40，，
－c＋2d＝5.
a＝2， 解得bc＝＝－1，1，
d＝2.
所以 A＝－21 12.
(2)变换矩阵 A 是可逆的，理由如下：
设矩阵 A 的逆矩阵为＝10
2x＋z＝1， 01，得－2y＋x＋w2＝z＝0，0，
－y＋2w＝1.
x＝25， 解得yz＝＝15－，15，
w＝25.
2 故矩阵 A 的逆矩阵为 A－1＝51
5
－15 2. 5
1 0
1
6．已知矩阵 M＝0
1，N＝2
2
0
0，试求曲线 y＝cos x 在矩 1
阵 M－1N 对应的线性变换作用下的函数解析式．
解：M－1＝01 20，
∴M－1N＝10
0 2
－2 则3
3
2
，求 A－1.
－12
解：矩阵 A 对应的变换是旋转变换 R240°，它的逆变换
是 R－240°
∴A－1＝csions－－224400°°
－sin－240° cos－240°
＝－12
－
3 2
.
3 2
－12
1 4．已知矩阵 A＝2
0，求 A－1.
0 5
解：因矩阵 A 所对应的变换为伸缩变换，
2 0
则xy′′＝10
－2 1
xy＝x－y2y.
∴xy′′＝＝yx.－2y， 故xy＝＝yx.′′＋2y′， ∴P(x′＋2y′，y′)． 又 P 点在圆上，∴(x′＋2y′)2＋(y′)2＝1. 展开整理为(x′)2＋4x′y′＋5(y′)2＝1. 故所求曲线方程为 x2＋4xy＋5y2＝1.
[例 4] 已知矩阵 A＝－21 －32，B＝12 23，C＝10 01，
即22csions
α－2sin α＋2cos
αα＝－22，
所以cos sin
α－sin α＋cos
α＝－1， α＝1.
解得cos sin
α＝0， α＝1.
所以 M＝01 －10.
法一：由 M＝01
－10＝scions
90° 90°
－sin cos
9900°°，知
M
是绕原点
O
逆 时 针 旋 转 90°的 旋 转 变 换 矩 阵 ， 于 是 M － 1 ＝
7．已知矩阵 A＝13 － －27.
若矩阵 X 满足 AX＝13，试求矩阵 X.
解：设 A－1＝xz wy ，
则13
－2 x －7 z
wy ＝10
0， 1
即x3－ x－2z7z
3y－y－2w7w＝10
0， 1
x－2z＝1， 所以y3－x－2w7z＝＝00，，
3y－7w＝1，
x＝7， 解得yz＝＝3－，2，
法二：公式法：ad－bc＝3×1－2×2＝－1≠0，
∴A－1＝－21 －32.
用待定系数法求逆矩阵时，先设出矩阵A的逆矩阵 A－1，再由AA－1＝E得相等矩阵，最后利用相等矩阵的 概念求出A－1.
1．(江苏高考)已知矩阵A＝－10 02，B＝01 62，求矩阵A－1B.
解：设矩阵 A 的逆矩阵为ca
3．逆矩阵的求法
(1)公式法：对于二阶矩阵A＝ac
ad－d bc －ad－b bc
－c
a
可逆，且A－1＝__a_d_－__b_c____a_d_－__b_c__ .
db，若ad－bc≠0，则A必
(2)待定系数法．
(3)逆变换法．
逆矩阵的求法
[例1]
求矩阵A＝23 12的逆矩阵．
[思路点拨] 设出逆矩阵，利用待定系数法求解或直接利用