用双线性变换法设计原型低通为切比雪夫I型的数字IIR高通滤波器

课程设计
课程设计名称：数字信号处理课程设计
专业班级：
学生姓名：
学号：
指导教师：
课程设计时间：2014-6-16至2014-6-20
电子信息工程专业课程设计任务书
说明：本表由指导教师填写，由教研室主任审核后下达给选题学生，装订在设计（论文）首页
一、需求分析
用双线性变换法设计原型低通为切比雪夫I 型的数字IIR 高通滤波器，要求通带边界频率为500Hz ，阻带边界频率分别为400Hz ，通带最大衰减1dB ，阻带最小衰减40dB ，抽样频率为2000Hz ，用MATLAB 画出幅频特性，画出并分析滤波器传输函数的零极点；
信号)2s i n ()2s i n ()()()(2121t f t f t x t x t x ππ+=+=经过该滤波器，其中=1f 300Hz ，=2f 600Hz ，滤波器的输出)(t y 是什么？用Matlab 验证你的结论并给出)(),(),(),(21t y t x t x t x 的图形。

二、设计内容
IIR 数字滤波器的设计通常采用脉冲响应不变法和双线性变换法进行设计。

而我选择的课程设计是采用双线性变换法设计切比雪夫I 型的数字IIR 高通滤波器。

三、设计原理
1.双线性变换法
脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从S 平面到Z 平面的标准变换z=e 的多值对应关系导致的。

为了克服冲激响应法可能产生的频率响应的混叠失真，这是因为从S 平面到Ｚ平面是多值的映射关系所造成的。

为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-π/T ～π/T 之间，再用z =e sT 转换到Z 平面上。

也就是说，第一步先将整个S 平面压缩映射到S 1平面的-π/T ～π/T 一条横带里；第二步再通过标准变换关系
z =e s 1T 将此横带变换到整个Z 平面上去。

这样就使S 平面与Z 平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图1所示：
Z 平面S 1平面S 平面
图1 双线性变换的映射关系
稳定性分析： （1.1） 令s =σ+j ω，则有 （1.2） 为了将S 平面的整个虚轴j Ω压缩到S1平面j Ω1轴上的-π/T 到π/T 段上，可以通过以下的正切变换实现 ： 式中,T 仍是采样间隔。

优点
与脉冲响应不变法相比，双线性变换的主要优点：靠频率的严重非线性关系得到S 平面与Z 平面的单值一一对应关系，整个j Ω轴单值对应于单位圆一周，这个关系就是式 所表示的，其中ω和Ω为非线性关系。

如图图中看到，在零频率附近，Ω～ω接近于线性关系，Ω进一步增加时，ω增长变得缓慢，(ω终止于折叠频率处)，所以双线性变换不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象。

缺点
双线性变换法的缺点：Ω与ω的非线性关系，导致数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变)。

例如，一个模拟微分器，它的幅度与频率是线性关系，但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器。

1
1112--+-=z z T s s T s T z -+=⇒222
22
2)/2()/2(ωσωσ+-++=T T z ⎪⎭
⎫ ⎝⎛Ω=Ω2tan 21T T
为有效通带截止频率，表示与通带波纹有关的参量，值越大通带不动切比雪夫滤波器的振幅平方特性如图所示：
图2 切比雪夫滤波器的振幅平方特性
N为偶数，cos2()=1，得到min，
，（1.5）
N为奇数，cos2(，得到max，
（1.6）
有关参数的确定:
a、通带截止频率：
预先给定;
b、与通带波纹有关的参数,通带波纹表示成
（1.7）
所以,
,
给定通带波纹值
分贝数后，可求得。

c、阶数N:由阻带的边界条件确定。

、A2为事先给定的边界条件,即在阻带中的频率点处
,要求滤波器频响衰
减到1/A2以上。

(1-8)
(1-9)
(1-10)
（1-11）3.数字滤波器
数字滤波器由数字乘法器、加法器和延时单元组成的一种算法或装置。

数字滤波器的功能是对输入离散信号的数字代码进行运算处理，以达到改变信号频谱
的目的。

图3 数字滤波器的方框图
数字滤波器是一个离散时间系统（按预定的算法，将输入离散时间信号(对应数字频率)转换为所要求的输出离散时间信号的特定功能装置）。

应用数字滤波器处理模拟信号（对应模拟频率）时，首先须对输入模拟信号进行限带、抽样和模数转换。

数字滤波器输入信号的数字频率（2π*f/fs,f 为模拟信号的频率，fs 为采样频率，注意区别于模拟频率),按照奈奎斯特抽样定理，要使抽样信号的频谱不产生重叠，应小于折叠频率（ws/2=π)，其频率响应具有以2π为间隔的周期重复特性，且以折叠频率即ω=π点对称。

为得到模拟信号，数字滤波器处理的输出数字信号须经数模转换、平滑。

数字滤波器具有高精度、高可靠性、可程控改变特性或复用、便于集成等优点。

数字滤波器在语言信号处理、图像信号处理、医学生物信号处理以及其他应用领域都得到了广泛应用。

四、设计思路
根据以上IIR 数字滤波器设计方法，下面运用双线性变换法基于MATLAB 设计一个IIR 高通滤波器。

1.在设计高通滤波器之前，首先要根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标ωp 和ωs ；
2.将数字高通滤波器的技术指标转换成模拟高通滤波器的技术指标Ωp ，Ωs ，转
换公式为 ； 3.利用频率变换λ=1/η将模拟高通滤波器技术指标转换成归一化模拟低通滤波器G （p ）的技术指标；
⎪⎭
⎫ ⎝⎛Ω=Ω2tan 21T T
4.设计模拟低通滤波器G （P ）,并去归一化得：H （s ）=G （p ）
5.采用双线性变换将模拟低通滤波器H （s ）转换成数字低通滤波器H （z ）：
（1.12） 6.采用频带变换，将数字低通滤波器转换成所需类型的数字高通滤波器。

五、程序流程图
↓
↓
↓
↓
↓
↓
11
112)
()(--+-==z z T s s H z H
六、程序源代码
clc ；
clear all;
Fp=500;%通带截止频率
Fs=400;%组带截止频率
Ap=1;%通带最大衰减
As=40;%
阻带最小衰减
Ft=2000;%抽样频率
Wp=2*pi*Fp/Ft;
Ws=2*pi*Fs/Ft;
wp=tan(Wp/2);
ws=tan(Ws/2);
ws1=1 %归一化
wp1=wp/ws %估计滤波器的阶数
[N,Wn]=cheb1ord(ws1,wp1,Ap,As,'s'); %设计滤波器[B,A]=cheby1(N,1,Wn,'s');
[BT,AT]=lp2hp(B,A,wp);
[num,den]=bilinear(BT,AT,0.5)
[z,p,k]=tf2zp(num,den) %显示传输函数
disp('分子系数:');disp(num);
disp('分母系数:');disp(den); %计算增益响应
w = 0:pi/255:pi;
h = freqz(num,den,w);
g = 20*log10(abs(h)); %绘制增益响应
figure;
plot(w/pi,g);grid;%绘制切比雪夫高通滤波器幅频特性axis([0 1 -100 1]);
xlabel('omega/\pi');
ylabel('增益/dB');
title(‘切比雪夫高通滤波器');
figure;
zplane(z,p); %绘制传输函数零极点
title(‘传输函数的零极点');
f1=300;f2=6000;
t=0:0.0001:1
x1=sin(2*pi*f1*t);
x2=sin(2*pi*f2*t);
x=x1+x2;
figure;
subplot(2,2,1)%绘制x1的波形plot(x1);grid on;
axis([0,50*pi,-3,3]);
xlabel('t');ylabel('x1(t)'); title('x1的波形');
subplot(2,2,2) %绘制x1的波形plot(x2);grid on;
axis([0,50*pi,-3,3]);
xlabel('t');ylabel('x2(t)'); title('x2的波形');
subplot(2,2,3)%绘制输入x的波形plot(x);grid on;
axis([0,50*pi,-3,3]);
xlabel('t');ylabel('x(t)');
title(‘输入信号x的波形')
%X=fft(x);
y=filter(num,den,x);%数字滤波器输出
subplot(2,2,4);%绘制输出y的波形
plot(real(y));
grid on;
axis([0,50*pi,-3,3]);
xlabel(‘t');ylabel(‘y');
title(‘滤波器输出y的波形');
七、仿真结果图
八、参考资料
[1] 程佩青.数字信号处理教程[M]，北京：清华大学出版社，2001
[2] Sanjit K. Mitra.孙洪，余翔宇译，数字信号处理实验指导书（MATLAB版）[M]，北京：电子工业出版社，2005年1月
[3] 郭仕剑等.MATLAB 7.x数字信号处理[M]，北京：人民邮电出版社，2006年
[4] 胡广书.数字信号处理理论算法与实现[M]，北京：清华大学出版社，2003年
[5] 杨毅明.数字信号处理[M]，北京：机械工业出版社，2012年
九、设计心得
经过上学期数字信号处理课程的学习，我对DSP有了初步的了解。

数字信号处理是研究用数字方法对信号进行分析、变换、滤波、检测、调制、解调以及快速算法的一门技术学科。

数字滤波器的实用型式很多，大略可分为有限冲激响应型和无限冲激响应型两类，可用硬件和软件两种方式实现。

在硬件实现方式中，它由加法器、乘法器等单元所组成，这与电阻器、电感器和电容器所构成的模拟滤波器完全不同。

数字信号处理系统很容易用数字集成电路制成，显示出体积小、稳定性高、可程控等优点。

数字滤波器也可以用软件实现。

软件实现方法是借助于通用数字计算机按滤波器的设计算法编出程序进行数字滤波计算。

由于上学期的DSP课程是双语教学，加之课程难度也不小，因此，学起来十分的吃力。

这次的课程设计让我有一次地接触到了数字信号处理和MATLAB 软件。

刚开始的时候还是感觉无从下手，因为之前的基本功不扎实，但是随着老师的讲解和自己私下查找的资料，渐渐掌握到了门路。

这次的课设加深了我对课堂抽象概念的理解,巩固了课堂上所学的理论知识,并能很好地理解与掌握数字信号处理中的基本概念、基本原理、基本分析方法。

同时掌握编程方法和解决实际问题的技巧。