高一数学人教A版必修2试题：1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 含解析

第一章 1.3 1.3.1
A 级 基础巩固
一、选择题
1．若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的导学号 09024157( C ) A ．2倍
B ．3倍
C ．2倍
D ．5倍
[解析] 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则由题意知，l ＝2r ，于是S 侧＝πr ·2r ＝2πr 2，S 底＝πr 2.故选C ．
2．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是5，则长方体的侧面积等于导学号 09024158( C )
A ．27
B ．43
C ．6
D ．3
[解析] 设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ， 则c ＝1，ab ＝2，a 2＋b 2·c ＝5， ∴a ＝2，b ＝1，故S 侧＝2(ac ＋bc )＝6.
3．圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为导学号 09024159( C )
A ．288
π
cm 3
B ．192
π cm 3
C ．288π cm 3或192
π
cm 3
D ．192π cm 3
[解析] 圆柱的高为8 cm 时，V ＝π×(12)2×8＝288
cm 3，当圆柱的高为12 cm 时，V ＝
π×(82π)2×12＝192
π
cm 3.
4．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为导学号 09024160( A )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
[解析] 由题意，V ＝1
3
(π＋2π＋4π)h ＝7π，∴h ＝3.
5．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为导学号 09024161( D )
A ．1
B ．12
C ．
3
2
D ．34
[解析] 设圆柱底面半径为R ，圆锥底面半径r ，高都为h ，由已知得2Rh ＝rh ，∴r ＝2R ，
V 柱︰V 锥＝πR 2h ︰1
3
πr 2h ＝3︰4，故选D ．
6．(2015·山东文)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为导学号 09024162( B )
A ．22π3
B ．42π3
C ．22π
D ．42π
[解析] 绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示．每一个圆锥的底面半径和高都为2，故所求几何体的体积V ＝2×13×2π×2＝42π
3
.
二、填空题
7．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为__24
导学号 09024163
[解析] 该几何体是三棱柱，且两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，所以该几何体的表面积为2×(1
2
×2×3)＋3×(4×2)＝24＋2 3.
8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1、S 2，体积分别为V 1、V 2，若它们的的侧面积相等且S 1︰S 2＝9︰4，则V 1︰V 2＝__3︰2__.导学号 09024164
[解析] 设甲圆柱底面半径r 1，高h 1，乙圆柱底面半径r 2，高h 2，S 1S 2＝πr 21
πr 22＝94，∴r 1r 2＝32
，
又侧面积相等得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，∴h 1h 2＝23.因此V 1V 2＝πr 2
1h 1πr 22h 2＝3
2
.
三、解答题
9．如图所示的几何体是一棱长为4 cm 的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2 cm 、深为1 cm 的圆柱形的洞，求挖洞后几何体的表面积是多少？(π取3.14)
导学号 09024165
[解析] 正方体的表面积为4×4×6＝96(cm 2)， 圆柱的侧面积为2π×1×1≈6.28(cm 2)，
则挖洞后几何体的表面积约为96＋6.28＝102.28(cm 2)．
B 级 素养提升
一、选择题
1．(2017·浙江，3)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是导学号 09024166( A )
A ．π2＋1
B ．π2
＋3
C ．3π
2
＋1
D ．3π2
＋3
[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，
∴该几何体的体积
V ＝13×12π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1.
故选A ．
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为导学号 09024167( D )
A ．180
B ．200
C ．220
D ．240
[解析] 几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为1
2×(2＋8)×4×2＝40，四个侧面面积的和为(2＋8＋
5×2)×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S ＝40＋200＝240.
3．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为导学号 09024168( D )
A ．1
8
B ．17
C ．1
6
D ．15
[解析] 由三视图得，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截去四面体A －A 1B 1D 1，如图所示，设正方体棱长为a ，则VA －A 1B 1D 1＝13×12a 3＝16a 3，故剩余几何体体积为a 3－16a 3＝5
6a 3，
所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为1
5
.
4．(2017·全国卷Ⅰ理，7)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为导学号 09024169( B )
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
[解析] 观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角
三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2×1
2
×(2＋4)×2＝12.故选B ．
二、填空题
5．已知圆柱OO ′的母线l ＝4 cm ，全面积为42π cm 2，则圆柱OO ′的底面半径r ＝ __3__cm.导学号 09024170
[解析] 圆柱OO ′的侧面积为2πrl ＝8πr (cm 2)，两底面积为2×πr 2＝2πr 2(cm 2)， ∴2πr 2＋8πr ＝42π， 解得r ＝3或r ＝－7(舍去)， ∴圆柱的底面半径为3 cm.
6．已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为__2__.导学号 09024171
[解析] 由三视图可知，斜三棱柱的底面三角形的底边长为2，高为1，斜三棱柱的高为2，故斜三棱柱的体积为V ＝1
2
×2×1×2＝2.
C 级 能力拔高
1．如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积.
导学号 09024172
[解析] 设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，表面积为S .
则R ＝OC ＝2，AC ＝4， AO ＝42－22＝2 3.
如图所示易知△AEB ∽△AOC ， ∴
AE AO ＝EB OC ，即323＝r 2
，∴r ＝1， S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π. ∴S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.
2．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，截下一个棱锥C -A 1DD 1，求棱锥C -A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比.导学号 09024173
[解析] 设矩形ADD 1A 1的面积为S ，AB ＝h ， ∴VABCD －A 1B 1C 1D 1＝VADD 1A 1－BCC 1B 1＝Sh .
而棱锥C -A 1DD 1的底面积为12S ，高为h ，故三棱锥C -A 1DD 1的体积为：VC -A 1DD 1＝13×
12S ×h ＝1
6
Sh ，
余下部分体积为：Sh －16Sh ＝5
6Sh .所以棱锥C -A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比为1∶
5.。