(整理)落球法测重力加速度

基础物理设计性实验
实验名称：落球法测重力加速度
指导老师：李老师
实验组员：王金秋
落球法测重力加速度
实验仪器和用具：
圆玻璃筒、秒表、螺旋测微计、游标卡尺、物理天平、温度计密度计、小钢球、镊子、米尺、细线、蓖麻油。

实验原理：
在基础物理实验中，根据斯托克斯公式，用落球法测定液体的粘度，此实验中重力加速度g是作为已知量。

在这个实验的基础上，我们做了改进，用以下两种方法测重力加速度。

方法一：
当液体各部分之间有相对运动时，接触面之间有内摩擦力，阻碍液体的相对运动，这种摩擦力称为粘滞力，液体的这种性质称为粘滞性。

粘滞力的大小与接触面处的速度梯度成正比，比例系数为液体的粘滞系数。

当半径为r的光滑圆球，以速度ν在均匀的无限宽广的液体中运动时，若速度不大，球也很小，在液体中不产生涡流的情况下，斯托克斯指出，球在液体中所受到的阻力F为
r
Fπην
6
=（1）
式中η为液体的粘度，此式称为斯托克斯公式。

当质量为
m、体积为V的小球在密度为ρ的蓖麻油中下落时，作用
在小球上有三个力，即①重力g
m
0，②液体的浮力Vg
ρ，③液体的粘
性阻尼力r
6πην。

这三个力在一条直线上，重力向下，浮力和阻力向上（如图1）。

球刚开始下落时，速度ν很小，阻尼力不大，小球加速下降。

随着速度的增加，阻力逐渐增大，速度达到一定值时，阻尼力
和浮力之和等于重力，此时物体运动的加速度等于零，
小球匀速下落，即
r 6V
g g m 0πηνρ+= （2）
此时的速度ν称为终极速度，由此式可得:
V
m r 6g 0ρνη
π-=
（3）
将3r 3
4
V π=
代入上式，得: ρ
πνη
π3
03
46g r m r -= （4）
由于蓖麻油在容器中，而不满足无限宽广的条件，这时实际测得的速度0ν和上述式中的理想条件下的速度ν之间存在如下关系：
）
）（（h
r
3.31R r 4
.210++=νν (5) 式中R 为盛蓖麻油圆筒的内半径，h 为蓖麻油的高度，将(5)式代入（4）式，得:
)
3
4
()3.31)(4
.21(6g 300ρπηνπr m h
r
R r r -++=
（6）
又由于此实验不是在理想状态下，存在涡流，因此需要进行修正，此实验雷诺系数10r 2Re 0＜η
ρ
ν=
，斯托克斯公式修正为
）
2Re 1280
19
Re 1631(r 6F -+
=νηπ （7） 则考虑此项修正后的重力加速度测得值0g 等于 ）（23000Re 128019e 1631)3
4()
3.31)(4
.21(6g -+-++=
R r m h r R r r ρπηνπ （8）
实验时，由η
ρ
ν0r 2Re =
求出Re ，代入（8）式，计算出0g 的最佳值。

方法二：
实验原理和1的原理基本一样，在1的原理推导中我们得到了（6）式，即： )
3
4
()3.31)(4
.21(6g 300ρπηνπr m h r
R r r -++=
此式为对速度（ν）修正后的公式，R 为盛蓖麻油圆筒的内半径，h 为蓖麻油的高度，0ν是小钢球在蓖麻油中匀速下落时的速度（即
T L
=
0ν,L 为测量时小钢球下落的高度，T 为对应测量高度L 的时间）。

将T
L
=0ν代入上式得：
)
3
4
()
3.31)(
4.21(6g 30ρπηπr m T h r
R r rL -++=
（9）
现在令 ρ
πηπ303
4
)3.31)(4
.21(6a r m h r R r r -++=
（10） 于是(9)式变为：
T a
L g
=
(11) 上式还可以写为：T L b = 其中(a
g
=b ) (12)
测出不同L 的值和对应的时间T ，可以通过最小二乘法求出L —T 拟合直线，求出b 值,进而求出g 。

实验内容：
1． 用修正后的公式：
)
3
4(e 128019e 1631)3.31)(4.21(6g 3
020ρπηπr m T R R h r R r rL --+++=
）（
计算。

实验装置如图2所示，在圆筒上分别设置标
记1N 和2N ,对1N 、2N 间距离L ，油筒内半径R ，
油的深度h,温度及密度，选取适当的仪器去测量。

① 用密度计测量蓖麻油的密度ρ，温度计测量蓖麻油的温度t;
② 用米尺测出1N 、2N 间的距离L 和油筒内蓖麻油的高度h ；
③ 用游标卡尺从不同方向多次测量油筒外直径D
④ 用螺旋测微计测量油筒厚度d ';
⑤ 选取50颗大小均匀的小刚球，用物理天平称量其质量m ; ⑥ 用螺旋测微计测量小钢球的直径d ，用镊子取一小钢球在油筒中心处无初速度释放，用秒表测量小钢球在蓖麻油中通过1N 和2N 间的时间T ；
⑦ 不改变L 的长度，重复步骤⑥分别测出10颗小钢球的直径d 和对应的时间T ； 2．方法2
①用螺旋测微计选取10颗直径相等的小钢球，并记录直径。

（理
V
论上认为小钢球直径完全相等，忽略其大小不一得细微影响。

） ②用米尺测量1N 和2N 间距L ，用镊子取其中一颗小钢球，在油筒的中心处无初速度释放，并用秒表测量小钢球在蓖麻油中通过1N 和
2N 间的时间T ；
③改变1N 和2N 间的距离L ，重复步骤②并测量不同L 值和其所对应的时间T （共10组）；
④计算重力加速度g 及其标准不确定度。

实验结果
方法1得到的实验数据为：
50颗小钢球的质量g 54.6m =； 1N 和2N 间距cm 9.14=L ； 圆玻璃筒壁厚度mm 082.2d ='； 油高cm h 80.30=； 圆玻璃筒外径mm 80.52=D 。

温度C 01.10t =.
方法2得到的实验数据为：
50颗小钢球的质量g 55.6m =； 小钢球的直径mm 179.3d = 圆玻璃筒壁厚度mm 082.2d ='； 油高cm h 80.30= 圆玻璃筒外径mm 80.52=D 。

温度C 01.10t =.
数据处理
1． 运用（8）式进行计算，即：
）
（2300Re 128019e 1631)3
4()
3.31)(4
.21(6g -+-++=
R r m h r R r r ρπηνπ 因为2r d =，T L =0ν,500m m =，雷诺系数ηρν0r 2Re =,d D
R '-=2
上式可变
为：
[]2
3)
(128019T Ld 1631)6
150()23
.31)(d 22.11(3g η
ρηρρπηπT Ld d m T h
d D
d
Ld -+
-+'-+=
将实验所得的各项数据代入上式中计算得各个g 值如下表（单位2/s m ）
此方法的实验误差有很多，但我们只考虑其中几个，即：仪器误差和计算误差（测量误差在这里不做处理）。

仪器误差有：螺旋测微计、游标卡尺、米尺误差；计算误差我们用10个i g 做近似处理，即：
)
1()()(2
1
--=
∑n n g g
g μ。

计算如下：
米尺误差：cm 06.03
1.03)(===△、L h μ
游标卡尺误差：mm 012.0302.03)(===
△D μ 螺旋测微计误差：m m 006.03
01.03d ==
='△）、（d μ
2/m 874.910
91
.902.1085.994.990.990.987.984.964.987.9s g =+++++++++=
将i g 、g 和10=n 代入)
1()()(2
1
--=∑n n g g
g μ得：2/048.0)(s m g =μ。

所以总的不确定度为：
222
22/049.0)(d d )()(s m g D L h g =+'++=μμμμμ）、（）（、
故实验结果为：
2/)049.0874.9(g s m ±=
2． 由表2画出散点的T L -图， T L -图如下：
可见测得的数据是一条近似过原点的直线。

于是可以设拟合直线为：
T L b =
将表2列表如下：
于是得正规方程组为：
⎢⎣⎡09.10010
⎥
⎦
⎤04.100009.100⎥⎦⎤
⎢⎣⎡b 0⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=42.142100.142 解方程组得：
s cm /42.1b =
由（12）式：即T L b = 其中(a g
=
b )可知ab =g ，其中 ρ
πηπ303
4
)
3.31)(
4.21(6a r m h r
R r r -++=
将2r d =、d 2'-=D R 和50
0m
m =代入上式得：
ρπηπ36
1
50)
23.31)(2.11(3a d m h d
R d d -++= 将实验所得的各项数据代入上式得： 149.693a -=s 于是：
22/cm 76.984/42.149.693g s s cm ab =⨯== 此方法的误差我们只考虑最小二乘法计算时的误差，即：
∑∑
∑----=2
i
2
·)())((r
ˆ）（L L T T L L T T i
i
i
, r
ˆb
·21s
2--=
n r 代入数据得：99.0r
ˆ= 2/cm 71.0s s = 故实验结果为：
2/)71.076.984(s cm g ±=
实验总结
贵阳市重力加速度的参考值是：2/75.9s m g =，通过两种不同方法的实验结果，我们可以看出，方法2比方法1更有优越性。

可能的优越性有：①数据处理方法要合理些（方法1是代值后取平均的结果，而方法2则是用最小二乘法对数据进行处理）；②实验本身的方法要合理些。

方法2虽然有其优越性，但与参考值还有一定的差距，还有需要改进的地方。

如果改用光电门测量时间，误差会减小。

蓖麻油的粘滞系数值与温度的关系见下表。