2024年中考数学专题复习—二次函数面积定值比例问题以及米勒角

2024年中考数学专题复习—⼆次函数⾯积定值、比例问题以及米勒⾓⼀、⾯积定值与等值问题
1 .定值问题
【问题描述】
如图，抛物线
223
y x x
与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛
物线在线段BC上⽅部分取⼀点P，连接PB、PC，若△PBC⾯积为3，求点P
坐标．思路1：铅垂法列⽅程解．
根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=-x+3，设点P坐标为
2
,23
m m m
，
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，则点Q坐标为（m，-m+3），
22
2333
PQ m m m m m 
，
2
1
333
2
PBC
S m m
V
，分类讨论去绝对值解⽅
程即可得m的值．
思路2：构造等积变形
P Q
A
B
C
同底等⾼三⾓形⾯积相等．
取BC 作⽔平宽可知⽔平宽为3，根据△PBC ⾯积为3，可知铅垂⾼为2，在y 轴上取点Q 使得CQ =2，过点Q 作BC 的平⾏线，交点即为满⾜条件的P 点．
当点Q 坐标为（0,5）时，PQ 解析式为：y =-x +5，联⽴⽅程：2
235x x x
，解之即可．当点Q 坐标为（0,1）时，PQ 解析式为：y =-x +1，联⽴⽅程：2
231x x x
，解之即可．2 . 等值问题【问题描述】
如图，抛物线
2
23y x x 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点
C ，连接BC ，抛物线上存在⼀点P 使得△PBC 的⾯积等于△BOC 的⾯积，求点P 坐标．
思路1：铅垂法
计算出△BOC ⾯积，将“等积问题”转化为“定积问题”，⽤铅垂法可解．思路2：构造等积变形
过点O 作BC 的平⾏线，与抛物线交点即为所求P 点，
另外作点O 关于点C 的对称点M ，过点M 作BC 平⾏线与抛物线的交点亦为所求P 点．先求直线解析式，再联⽴⽅程即可求得P
点坐标．
⼆、⾯积比例问题
1、⽅法突破
除了三⾓形、四边形⾯积计算之外，⾯积⽐例也是中考题中常见的条件或结论，对⾯积⽐例的分析，往往⽐求⾯积要复杂得多，这也算是⾯积问题中最难的⼀类．⼤部分题⽬的处理⽅法可以总结为两种：（1）计算；（2）转化．策略⼀：运⽤比例计算类
策略⼆：转化⾯积比
如图，B 、D 、C 三点共线，考虑△ABD 和△ACD ⾯积之⽐．
C
B
A
转化为底：共⾼，⾯积之⽐化为底边之⽐：则::ABD ACD S S BD CD V V ．
B
更⼀般地，对于共边的两三⾓形△ABD 和△ACD ，连接BC ，与AD 交于点E ，则
:::ABD ACD S S BM CN BE CE V V
．
策略三：进阶版转化
在有些问题中，⾼或底边并不容易表⽰，所以还需在此基础上进⼀步转化为其他线段⽐值，⽐如常见有：“A ”字型线段⽐、“8”字型线段⽐．
“A ”字型线段⽐：:::ABD ACD S S BD CD BA AM V V ．“8”字型线段⽐：:::ABD ACD S S BD CD AB CM V V
．
转化为垂线：共底，⾯积之⽐化为⾼之⽐：:::ABD ACD S S BD CD BM CN V V ．
B
总结：⾯积能算那就算，算不出来就转换；底边不⾏就作⾼，还有垂线和平⾏．三、米勒⾓问题（最⼤张⾓）
【问题描述】
1471年，德国数学家⽶勒向诺德尔提出这样⼀个问题：
如图，点A、B直线l的同⼀侧，在直线l上取⼀点P，使得∠APB最⼤，求P点位置．
l
【问题铺垫】
这样顶点在圆外，两边和圆相交的⾓叫圆外⾓．
圆外⾓：如图，像∠APB
相关结论：圆外⾓等于这个⾓所夹两条弧的度数差（⼤减⼩）的⼀半．
如图，»»2AB CD
P ACB PBC
．换句话说，对同⼀个圆⽽⾔，圆周⾓>圆外⾓．【问题解决】
结论：当点P 不与A 、B 共线时，作△P AB 的外接圆，当圆与直线l 相切时，∠APB 最⼤．
l
证明：在直线l 上任取⼀点M （不与点P 重合），连接AM 、BM ，∠AMB 即为圆O 的圆外⾓，
∴∠APB >∠AMB ，∠APB 最⼤．
∴当圆与直线l 相切时，∠APB 最⼤．
特别地，若点A 、B 与P 分别在⼀个⾓的两边，如下图，则有2
OP OA OB
．（切割线定理）证明：∵∠POA =∠BOP ，∠OP A =∠OBP （弦切⾓定理）
∴△AOP ∽△POB ，∴
OA OP
OP OB ，∴2OP OA OB ．
即可通过OA 、OB 线段长确定OP 长，便知P
点位置．
【题型1】作铅垂⾼解决⾯积定值问题
例1－1湖北武汉市·中考真题
1．抛物线L ：
2
y x bx c 经过点A （0，1），与它的对称轴直线x ＝1交于点B ．（1）直接写出抛物线L 的解析式；（2）如图1，过定点的直线 40y kx k k 与抛物线L 交于点M 、N ．若△BMN 的⾯积等于1，
求k
的值．
【分析】
（1）解析式：221y x x
；（2）考虑到直线过定点Q （1，4），且M 、N 均为动点，故考虑⽤割补法．
BMN QBN QBM
S S S V V V ，分别过M 、N 作对称轴的垂线，垂⾜分别记为G 、H ，
1111
2222BMN N M S QB NH QB MG QB NH MG QB x x V ，
考虑N M x x ：联⽴⽅程：2214x x kx k ，化简得 2230x k x k ，
N M x x
，∴1212BMN S V ，
解得：13k
，23k （舍）．故k 的值为－3
．
2023·齐齐哈尔·中考真题（删减）
2．如图，抛物线27
22y x x 上的点A ，C 坐标分别为 0,2， 4,0，抛物线与x 轴负半轴交于点
B ，点M 为y 轴负半轴上⼀点，且2OM
，连接AC ，CM ，点P 是抛物线位于第⼀象限图象上的动点，连接AP ，CP ，当PAC
ACM S S △△时，求点P 的坐标
【答案】
2,5P
【分析】过点P 作PF x 轴于点F ，交线段AC 于点E ，⽤待定系数法求得直线AC 的解析式为
1
22y x 
，设点P 的横坐标为 04p p ，则27,22P p p p
，1,22E p p ，故2
4(04)PE p p p ，先求得8ACM
S △，从⽽得到2
12882PAC S PE OC p p △，解出p 的
值，从⽽得出点P 的坐标；
【详解】解：过点P 作PF x 轴于点F ，交线段AC 于点E ，
设直线AC 的解析式为 0y kx m k ，
将
0,2A ， 4,0C 代⼊y kx m
，得
240m k m ，解得122k m
，∴直线AC 的解析式为122y x 
设点P 的横坐标为
04p p
则27,22P p p p
，1,22E p p
，∴2271224(04)
22PE p p p p p p
∵8ACM
S △，∴2
12882PAC S PE OC p p △，解得1
22p p ，∴ 2,5P 南通·中考真题
3．定义：若⼀个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例
如，点(1,1)是函数
1122y x
的图象的“等值点”．（1）分别判断函数2y x ，
2
y x x 的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数3
(0)
y x x ，y x b
的图象的“等值点”分别为点A ，B ，过点B 作BC x 轴，垂⾜为C ．当ABC 的⾯积为3时，求b 的值；
解：（1）在2y x
中，令2x x ，得02 不成⽴， 函数2y x
的图象上不存在“等值点”；在
2
y x x 中，令2x x x ，解得：10x
，22x ， 函数2
y x x 的图象上有两个“等值点” (0,0)或(2,2)；
（2）在函数3(0)y x x 中，令
3x x
，
解得：x
A ，
在函数y x b 中，令x x b ，解得：
1
2x b
，1(2B b ，1
)
2b ，BC x Q 轴，
1(2C b
，0)，
1
||
2BC b ，ABC Q 的⾯积为3，
111
|||3
222b b ，
当0b
时，2240b ，
解得b
当0b
2240b ，
Q △2(4124840
，
⽅程2
240b
没有实数根，
当b 时，2
240b
，
解得：b
b 的值为 2023·⼭东泰安·中考真题
4．如图1，⼆次函数24y ax bx
的图象经过点(4,0),(1,0)A B ．
(1)求⼆次函数的表达式；
(2)若点P 在⼆次函数对称轴上，当BCP V ⾯积为5时，求P 坐标；
(3)⼩明认为，在第三象限抛物线上有⼀点D ，使90DAB ACB ∠∠
；请判断⼩明的说法是否正
确，如果正确，请求出D 的坐标；如果不正确，请说明理由．
【答案】(1)2
54y x x
(2)5,42 或5,162
【分析】（1）直接运⽤待定系数法求解即可；
（2）⾸先求出直线BC 解析式，然后通过设P 点坐标，并表⽰对应Q 点坐标，从⽽利⽤“割补法”计算BCP V 的⾯积表达式并建⽴⽅程求解即可；
【详解】（1）解：将(4,0),(1,0)A B 代⼊
2
4y ax bx 得：1644040a b a b ，解得：15a b
，∴抛物线解析式为：
2
54y x x ；（2）解：由抛物线2
54y x x
可知，其对称轴为直线5
2x
， 0,4C ，
设直线BC 解析式为：y kx c ，将 1,0B ， 0,4C 代⼊解得：44k c
，∴直线BC 解析式为：44y x
，此时，如图所⽰，作PQ x ∥轴，交BC 于点Q
，
∵点P 在⼆次函数对称轴上，∴设5,2P m ，则
4,4m Q m
，∴
456424m m PQ ，∴ 1166
42242BCP C B m m S PQ y y
V ，∵要使得BCP V ⾯积为5，∴6
52m ，解得：4m 或16m ，∴P 的坐标为5,42 或5,162
【题型2】作平⾏线解决⾯积问题
例2－1⼭东省临沂市·中考真题
5．在平⾯直⾓坐标系中，直线2y x
与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2(0)y ax bx c a 经过点A 、B ．（1）求a 、b 满⾜的关系式及c 的值．
（2）如图，当1a
时，在抛物线上是否存在点P ，使PAB 的⾯积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）点A 坐标为（－2，0），点B 坐标为（0，2），代⼊解析式可得：c ＝2，4a －2b +2＝0
（2）考虑A 、B ⽔平距离为2，△P AB 的⾯积为1，故对应的铅垂⾼为1．当a ＝－1时，可得b ＝－1，抛物线解析式为y ＝－x ²－x +2．取点C （0，3）作AB 的平⾏线，其解析式为：y ＝x +3，
联⽴⽅程－x ²－x +2＝x +3，解得x ＝－1，故点1P
坐标为（－1，2）取点D （0，1）作AB 的平⾏线，其解析式为：y ＝x +1，
联⽴⽅程－x ²－x +2＝x +1
，解得11x
，21x ．
点2P
坐标为
1 、点3
P
坐标为
1 ．
2023·四川⽢孜·中考真题
6．已知抛物线2y x bx c
与x 轴相交于 10A ，，B 两点，与y 轴相交于点 03C ，．
(1)求b ，c 的值；
(2)P 为第⼀象限抛物线上⼀点，PBC V 的⾯积与ABC V 的⾯积相等，求直线AP 的解析式【答案】(1)2,3.
b c
，(2)1y x (3)存在，点P
的坐标为
12 或
12 【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）
PBC ABC
S S △△得到AP BC ∥，即可求解；
（3）由题意的：,AEP AEP P E PE
，即可求解．【详解】（1）由题意，得10,3.b c c
2,3.b c
（2）由（1）得抛物线的解析式为2
=23y x x ．令0y ，则2230x x ，得1213x x -=，．
∴B 点的坐标为
30，．
PBC ABC S S Q △△，
∴AP BC ∥．
∵ 3003B C ，，，-，
∴直线BC 的解析式为3y x ．∵AP BC ∥，
∴可设直线AP 的解析式为y x m
．∵10A
（-，）
在直线AP 上，∴01m
．∴1m
．∴直线AP 的解析式为1y x
．
四川凉⼭州·中考真题
7．如图，抛物线2y ax bx c
的图象过点(1,0)A 、(3,0)B 、(0,3)C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在⼀点P ，使得PAC 的周长最⼩，若存在，请求出点P 的坐标及PAC 的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在x 轴上⽅的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得PAM PAC S S 若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）抛物线解析式为：y ＝－x ²+2x +3；
（2）将军饮马问题，作点C 关于对称轴的对称点C ’（2，3），连接AC ’，与对称轴交点即为所求P 点，可得P 点坐标为（1，2），△P AC 的周长亦可求．
（3）过点C 作AP 平⾏线与抛物线交点即为M 点，联⽴⽅程得解；记AP 与y 轴交点为Q 点，作点C 关于Q 点的对称点点D ，
过点D 作AP 的平⾏线，与抛物线在x 轴上⽅部分的交点即为所求M 点，联⽴⽅程得解．
连云港·中考真题
8．如图，抛物线
22(3)(69)
y mx m x m 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，已知
(3,0)B ．
（
1）求m 的值和直线BC 对应的函数表达式；
（2）P 为抛物线上⼀点，若PBC ABC
S S ，请直接写出点P 的坐标；
解：（1）将(3,0)B 代⼊22(3)(69)y mx m x m ，化简得，20m m
，则0m （舍)或1m ，1m ，243y x x ．(0,3)C ，设直线BC 的函数表达式为y kx b ，
将(3,0)B ，(0,3)C 代⼊表达式，可得，033k b b ，解得，13k b
，
直线BC 的函数表达式为3y x ．
（2）如图，过点A 作1//AP BC
，设直线
1
AP 交y 轴于点G ，将直线BC 向下平移GC 个单位，得
到直线
23
P P
．
由（1）得直线BC 的表达式为3y x ，(1,0)A ， 直线AG 的表达式为1y x ，
联⽴2143y x y x x ，解得10x y ，或21x y
，1(2,1)
P 或(1,0)，
由直线AG 的表达式可得(0,1)G ，2GC ，2CH ，
直线23P P 的表达式为：5y x ，
联⽴2543y x y x x
，
解得，3272x y
，或，3272x y
，23(
2P
，72
，33(2P
，7)
2 ，；
综上可得，符合题意的点P 的坐标为：(2,1)，(1,0)，3(
2，7)2 ，3(
2，
72
2023·⿊龙江·中考真题
9．如图，抛物线23y ax bx 与x 轴交于 3,0,1,0A B 两点，交y 轴于点C ．
(1)求抛物线的解析式．
(2)拋物线上是否存在⼀点P ，使得1
2PBC ABC
S S V V ，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)
2
23y x x (2)存在，点P 的坐标为
2,3 或
3,12 【分析】（1）采⽤待定系数法，将点A 和点B 坐标直接代⼊抛物线2
3y ax bx
，即可求得抛物线的解析式．
（2）过线段AB 的中点D ，且与BC 平⾏的直线上的点与点B ，点C 连线组成的三⾓形的⾯积都等
于1
2ABC S V ，则此直线与抛物线的交点即为所求；求出此直线的解析式，与抛物线解析式联⽴，即可
求得答案．
【详解】（1）解：因为抛物线23y ax bx 经过点 30A ,和点 10B ,两点，所以
933030a b a b
，解得12a b
，所以抛物线解析式为：223y x x
．（2）解：如图，设线段AB 的中点为D ，可知点D 的坐标为
1,0 ，过点D 作与BC 平⾏的直线l
，假设与抛物线交于点1P
， 2P （1P 在2P
的左边），（2P
在图中未能显⽰）．设直线BC 的函数解析式为 10y kx b k ．
因为直线BC 经过点
10B ,和 0,3C ，所以
1103k b b
，解得133k b
，
所以，直线BC 的函数解析式为：33y x
． ⼜
12//PP BC ，
可设直线12PP
的函数解析式为23y x b ，因为直线12PP
经过点D 1,0 ，所以
230b ．
解得
23b ．
所以，直线12PP
的函数解析式为33y x ．根据题意可知，
1
2DBC ABC
S S V V ．
⼜
12//PP BC ，
所以，直线12PP 上任意⼀点P 与点B ，点C 连线组成的P BC
V 的⾯积都满⾜1
2P BC ABC
S S V V ．
所以，直线12PP 与抛物线
223y x x 的交点1P ，2P 即为所求，可得23323x x x ，
化简，得260x x ，
解得
1232
x x ，，
所以，点1P
的坐标为 2,3 ，点2P 的坐标为 3,12 ．
故答案为：存在，点P 的坐标为
2,3 或 3,12 ．
江苏徐州·中考真题
10．如图，点A 、B 在
2
1
4y x 的图象上．已知A 、B 的横坐标分别为2 、4，直线AB 与y 轴交于点C ，连接OA 、OB ．
（1）求直线AB 的函数表达式；（2）求AOB 的⾯积；
（3）若函数
2
14y x 的图象上存在点P ，使PAB 的⾯积等于AOB 的⾯积的⼀半，则这样的点P 共有
个．
解：（1）Q 点A 、B 在
2
1
4y x 的图象上，A 、B 的横坐标分别为2 、4，(2,1)A ，(4,4)B ，
设直线AB 的解析式为y kx b
， 2144k b k b ，解得122k b
， 直线AB 为1
2
2y x ；
（2）在1
2
2y x 中，令0x ，则2y ，C 的坐标为(0,2)，2OC ，
11
22246
22AOB AOC BOC S S S ．
（3）过OC 的中点，作AB 的平⾏线交抛物线两个交点1P
、2P ，此时△1P AB 的⾯积和△2P AB 的⾯积等于AOB 的⾯积的⼀半，
作直线12P
P 关于直线AB 的对称直线，交抛物线两个交点3P 、4P ，此时△3P AB 的⾯积和△4P AB 的⾯积等于AOB 的⾯积的⼀半，
所以这样的点P 共有4个，故答案为4．
【题型3】⾯积比例问题的转化定值问题或函数表达式
例3－1内蒙古通辽市·中考真题
11．已知，如图，抛物线
2
(0)y ax bx c a 的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A 和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．
（2）在抛物线上A 、M 两点之间的部分（不包含A 、M 两点），是否存在点D ，使得
2DAC DCM S S 若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）设顶点式，代⼊A 点坐标，可得解析式为：228y x x
．当x ＝3时，y ＝5，故点B 坐标为（3，5），∴直线AB 的解析式为：y ＝2x －1．（2）铅垂法表⽰△ACD 的⾯积： 设点D 坐标为
2
,28m m m ，过点D 作DP ⊥x 轴交AB 于P 点，
则P 点坐标为 ,21m m ，线段DP ＝－m ²+9，
221
49218
2ACD S m m V ，
⾯积公式表⽰△MCD 的⾯积：
过点D 作DQ ⊥MC 交MC 于点Q ，则DQ ＝1－m ，
11
8144
22
MCD S MC DQ m m V 2DAC DCM S S V V ， 2
218244m m
解得：m ＝5或－1．考虑D 点在A 、M 之间的抛物线上，故m ＝－1．D 点坐标为（－1，5）．
2023·辽宁盘锦·中考真题
12．如图，抛物线23y ax bx 与x 轴交于点 10A ，， 30B ，，与y 轴交于点C ．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，点E 是第⼀象限内⼀点，连接AE 交y 轴于点D ，AE 的延长线交抛物线于点P ，点F 在线段CD 上，且CF OD
，连接FA FE BE BP ，，
，，若AFE ABE S S △△，求PAB V ⾯积．
【答案】(1)2
23y x x ，(2) 23Q ，，(3)7
2
【分析】（1）将点 10A ，， 30B ，代⼊抛物线23y ax bx 得到309330a b a b
，解⽅程组即可得到答案；
（2）设4MN m
，3BN m ，则5BM QM m ，则9QN m ，33ON m ，从⽽表⽰出点Q 的坐标为
339m m ，，代⼊抛物线解析式，求出m 的值即可得到答案；
（3）求出直线AP 的表达式，利⽤
AFE
ABE S S △△
，得到 11
22A E E DF x x AB y ，求出点P 的坐
标，再根据1
2PAB P
S AB y V 进⾏计算即可得到答案．
【详解】（1）解：Q 抛物线23y ax bx 与x 轴交于点 10A ，， 30B ，，
309330a b a b
，解得：12a b
， 抛物线的解析式为：223y x x ；（2）解：设点 223m m P m ，，直线AP 的解析式为y kx b ，Q 10A ，，2023k b km b m m
，解得： 33k m b m ，
直线AP 的解析式为 33y m x m ，当0x 时， 33y m m ， 03m ，，
3OD m ，3CF OD m ，
在抛物线223y x x 中，当0x 时，3y ， 03C ，，
3OC ，  33323
DF OC OD CF m m m ，
设点E 的坐标为 33t m t m ，，Q 10A ，， 30B ，，
4AB ，Q AFE ABE S S △△， 1122A E E DF x x AB y ， 11
23143322m t m t m ，
解得：
5
2m ， 点P 的坐标为5724
，，1177
42242PAB P S AB y
V ．
13．在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx
经过A （4，0），B （1，4）两点．P 是抛物线上⼀点，且在直线AB 的上⽅．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB ⾯积是△P AB ⾯积的2倍，求点P 的坐标【答案】(1)
241633y x x
，(2)存在，162,3 或（3，4）【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）待定系数法求得直线AB 的解析式为416
33y x
，过点P 作PM ⊥x 轴，垂⾜为M ，PM 交AB 于
点N ．过点B 作BE ⊥PM ，垂⾜为E ．可得PAB PNB PNA
S S S
△△
△32PN
，设
2416,1433P m m m m ，则
416,33N m m ．由
2416416833333PN m m m ，解⽅程求得m 的值，进⽽即可求解；
【详解】（1）解：（1）将A （4，0），B （1，4）代⼊2y ax bx
，
得16404a b a b ，解得43163a b ．所以抛物线的解析式为241633y x x ．（2）设直线AB 的解析式为
0y kx t k ，
将A （4，0），B （1，4）代⼊y kx t
，得404k t k t
，解得43163k t ．所以直线AB 的解析式为41633y x
．过点P 作PM ⊥x 轴，垂⾜为M ，PM 交AB 于点N ．过点B 作BE ⊥PM ，垂⾜为E
．
所以PAB PNB PNA
S S S
△△
△1122PN BE PN AM 12PN BE AM 32
PN ．
因为A （4，0），B （1，4），所以1
448
2OAB S △．
因为△OAB 的⾯积是△P AB ⾯积的2倍，所以3282PN ，83PN
．设 2416,1433P m m m m ，则
416,33N m m ．所以
2416416833333PN m m m ，即24201683
333m m ，解得12m ，23m ．所以点P 的坐标为162,3
或（3，4）．zz
2022·福建·统考模拟预测
14．在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知抛物线
2
y ax bx 经过A （4，0），B （1，4）两点．P 是抛物线上⼀点，且在直线AB
的上⽅．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB ⾯积是△P AB ⾯积的2倍，求点P 的坐标；
【答案】(1)
241633y x x
(2)存在，162,3
或（3，4）
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）待定系数法求得直线AB 的解析式为41633y x
，过点P 作PM ⊥x 轴，垂⾜为M ，PM 交AB 于
点N ．过点B 作BE ⊥PM ，垂⾜为E ．可得PAB PNB PNA
S S
S
△△
△32PN
，设
2416,1433P m m m m ，则
416,33N m m ．由
2416416833333PN m m m ，解⽅程求得m 的值，进⽽即可求解；
【详解】（1）解：（1）将A （4，0），B （1，4）代⼊2y ax bx
，得16404a b a b ，解得43163a b
．所以抛物线的解析式为241633y x x ．（2）设直线AB 的解析式为
0y kx t k ，
将A （4，0），B （1，4）代⼊y kx t
，得404k t k t
，解得43163k t
．所以直线AB 的解析式为
416
33y x
．过点P 作PM ⊥x 轴，垂⾜为M ，PM 交AB 于点N ．过点B 作BE ⊥PM ，垂⾜为E
．
所以PAB PNB PNA
S S S
△△
△1122PN BE PN AM 12PN BE AM 32
PN ．
因为A （4，0），B （1，4），所以1
448
2OAB S △．
因为△OAB 的⾯积是△P AB ⾯积的2倍，所以3282PN ，
8
3PN
．设 2416,1433P m m m m ，则
416,33N m m ．所以
2416416833333PN m m m
，即24201683
333m m ，解得
12m ，23m ．
所以点P 的坐标为162,3
或（3，4）．
【题型4】⾯积比例问题的转化为线段比
例4－1
15．如图，抛物线
2
2(0)y ax x c a 与x 轴交于点A 和点B （点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧），与y 轴交于点C ，3OB OC
．（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）如图，连接BC ，点D 是直线BC 上⽅抛物线上的点，连接OD ，CD ．OD 交BC 于点F ，
当:3:2COF CDF S S
时，求点D
的坐标．【分析】
（1）解析式：
223y x x （2）显然△COF 和△CDF 共⾼，可将⾯积之⽐化为底边之⽐．
::3:2COF CDF OF DF S S V V ，
思路1：转化底边之⽐为“A ”字型线段⽐
在y 轴上取点E （0，5），（为何是这个点？因此此时OC ：CE ＝3：2）过点E 作BC 的平⾏线交x 轴于G 点，
EG 与抛物线交点即为所求D 点，
根据平⾏线分线段成⽐例，OF ：FD ＝OC ：CE ＝3：2．直线EG 解析式为：y ＝－x +5，
与抛物线联⽴⽅程，得：2
235x x x
，解得：11x
，22x ．故D 点坐标为（1，4）或（2，3）．思路2：转化底边之⽐为“8”字型线段⽐
过点D 作DG ∥y 轴交BC 边于点G ，则
OF OC
FD DG ，⼜OC ＝3，故点G 满⾜DG ＝2即可．这个问题设D 点坐标即可求解．
也可以构造⽔平“8”字，过点D 作DG ∥x 轴交BC 于点G ，则OF OB
FD DG
，⼜OB ＝3，∴DG ＝2即可．但
此处问题在于⽔平线段不如竖直线段易求，⽅法可⾏但不建议．
其实本题分析点的位置也能解：思路3：设点D 坐标为
2
,23m m m ，
根据OF ：DF ＝3：2，可得F 点坐标为
23
369,5555m m m ，点F 在直线BC 上，将点坐标代⼊直线BC 解析式：y ＝－x +3，
23693
+35555m m m ，
解得11m
，22m ，故D 点坐标为（1，4）或（2，3）．
这个计算的⽅法要求能理解⽐例与点坐标之间的关系，即由D 点坐标如何得到F 点坐标．
深圳市中考真题
16．如图抛物线经2y ax bx c
过点(1,0)A ，点(0,3)C ，且OB OC ．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点P 为抛物线上⼀点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的⾯积分为3:5两部分，求点P 的坐标．
【分析】
（1）解析式为223y x x
，对称轴为直线x ＝1．（2）连接CP ，可将四边形CBP A 分为△CAP 和△CBP ．
即:3:5CAP CBP S S
V V 或:5:3CAP CBP S S V V ．考虑△CAP 和△CBP 共底边CP ，记CP 与x 轴交于点M ，则::CAP CBP S S AM BM
V
V ①AM ：BM ＝5：3，点M 坐标为3,02
，
根据C 、M 坐标求解直线CM 解析式：23y x
，联⽴⽅程：22323x x x
，解得：10x （舍），24x ．故P 点坐标为（4，－5）．
②AM ：BM ＝3：5，点M 坐标为1,02
，
根据C 、M 坐标求解直线CM 解析式为：63y x
，联⽴⽅程：22363x x x
，解得：10x （舍），28x ．故P 点坐标为（8，－45）．
牡丹江中考真题
17．抛物线2y x bx c
经过点(3,0)A 和点(0,3)C ．（1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点D 的坐标；
（2）若过顶点D 的直线将ACD 的⾯积分为1:2两部分，并与x 轴交于点Q ，则点Q 的坐标为 ．
注：抛物线2
(0)y ax bx c a 的顶点坐标
2
4(,)24b ac b a a
解：（1）把点(3,0)A 和点(0,3)C 代⼊2
y x bx c 得：9303b c c
，
解得：23b c ，223y x x ，2223(1)4y x x x Q ， 顶点(1,4)D ．
（2）取线段AC 的三等分点E 、F ，连接DE 、DF 交x 轴于点1Q 、2Q ，则：:1:2DAE DEC S S ，:2:1DAF DFC S S ，Q 点(3,0)A ，点(0,3)C ，
(2,1)E ，(1,2)F ，DF x 轴于点2Q ，2(1,0)Q ，
设直线DE 的解析式为：(0)y kx b k
，把点(1,4)D ，(2,1)E 代⼊，得：
421k b k b
，解得：
37k b
，
直线DE 的表达式为：37y x
，当0y
时，73x
，17
(3Q ，0)．
故答案为：
17
(3Q
，0)，2(1,0)Q
．
2022·四川内江中考真题
18．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣4，0），B （2，0），与y 轴交于点C （0，2）．
(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；
(2)点P 为抛物线上⼀点，连接CP ，直线CP 把四边形CBP A 的⾯积分为1：5两部分，求点P 的坐标．
【答案】(1)
211242y x x
，(2)点P 的坐标为（6，﹣10）或（﹣143，﹣10
9）．
【分析】（1）运⽤待定系数法即可解决问题；
（2）过点D 作DH ⊥AB 于H ，交直线AC 于点G ，过点D 作DE ⊥AC 于E ，可⽤待定系数法求出直线AC 的解析式，设点D 的横坐标为m ，则点G 的横坐标也为m ，从⽽可以⽤m 的代数式表⽰出DG ，然后利
⽤cos cos EDG CAO
得到5DE DG
，可得出关于m 的⼆次函数，运⽤⼆次函数的最值即可解决问题
【详解】（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣4，0），B （2，0），与y 轴交于点C （0，2）．
∴16404202a b c a b c c
，解得：14122a b c
，∴抛物线的解析式为211242y x x ；（2）如图，设直线CP 交x 轴于点E
，
直线CP 把四边形CBP A 的⾯积分为1：5两部分，
⼜∵S△PCB：S△PCA＝
11
::
22
C P C P
EB y y AE y y EB AE
，
则EB：AE＝1：5或5：1
则AE＝5或1，
即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），
将点E的坐标代⼊直线CP的表达式：y＝nx+2，
解得：n＝﹣2或2 3，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝2
3x+2，
联⽴⽅程组
2
22
11
2
42
y x
y x x
或
2
2
2
3
11
2
42
y x
y x x
，
解得：x＝6或﹣14
3（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣14
3，﹣
10
9）．
2023·四川泸州中考真题
19．如图，在平⾯直⾓坐标系xOy中，已知抛物线
2
y ax2x c
与坐标轴分别相交于点A，B，
0,6
C
三点，其对称轴为2
x
．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点F是该抛物线上位于第⼀象限的⼀个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E．
①当CD CE
时，求CD 的长；②若CAD V ，CDE V ，CEF △的⾯积分别为
1S ，2S ，3S ，且满⾜1322S S S ，求点F 的坐标．
【答案】(1)
2126
2y x x
(2)①8 ；②
4,6F 【分析】（1）根据抛物线对称轴为2x ，可得2
22a
，求得12a ，再将 0,6C 代⼊抛物线，
根据待定系数法求得c ，即可解答；
（2）①求出点B ，点A 的坐标，即可得到直线BC 的解析式为6y x
，设CD a ，则 0,6D a ，求得AD 的解析式，列⽅程求出点E 的坐标，最后根据CD CE
列⽅程，即可求出CD 的长；
②过,E F 分别作AB 的垂线段，交AB 于点,G H ，过点D 作EG 的垂线段，交EG 于点I ，根据
1322S S S ，可得2AD EF DE ，即13DE AF ，证明DEI AFB △∽△，设21,262F h h h ，得到直线AF 的解析式，求出点D 的坐标，即可得到点E 的坐标，将点E 的坐标代⼊6y x
解⽅程，即可解答．
【详解】（1）解：根据抛物线的对称轴为2x ，
得2
2
2a
，解得1
2a
，
将
0,6C 代⼊抛物线可得6c
， 抛物线的解析式为21
26
2y x x ；（2）解：当0y 时，得21
026
2 x x ，
解得
16x ，22
x ，
2,0A ， 6,0B ，
设CB 的解析式为y kx b
，将 0,6C ， 6,0B 代⼊
y kx b ，得606b k b
，解得16k b
，CB 的解析式为6y x
，设CD a
，则 0,6D a ，
设AD 的解析式为11y k x b
，将 0,6D a ， 2,0A 代⼊
11y k x b ，得111602a b k b
，解得11626a k b a
，
AB 的解析式为662a
y x a
，
联⽴⽅程6662y x a y x a
，解得284888a x a a y a
，根据CD CE
，得a
解得18a
28a ，
经检验，18a
28a 是⽅程的解，Q 点F 是该抛物线上位于第⼀象限的⼀个动点，
D 在y 轴正半轴，6a
，
8a
即CD
的长为8 ；
②解：如图，过,E F 分别作AB 的垂线段，交AB 于点,G H ，过点D 作EG 的垂线段，交EG 于点I
，
132
2S S S Q ，
2AD EF DE ，
1
3DE AF
，
设21,262F h h h
，则2AH h ，,EG AB FH AB Q ，
EG FH ∥，
DEI AFB  ，DI EG Q ，90DIE  ，
DEI AFB △∽
△，
112333DI AB h ，即点D 的横坐标为12
33h
，21122
363EI FH h h ，
设AF 的解析式为22y k x b ，将 2,0A ，21,262F h h h
，代⼊得222
22021262k b h h k h b
，
解得221326k h b h ，
AF 的解析式为1362y h x h ，
0,6D h ，即
6DO h ，90DOG Q ，
四边形DOGI 是矩形，
6IG DO h ，
211863EG EI IG h h ，即21211,83
363E h h h ，将21211,83
363E h h h 代⼊6y x ，得21112866333h h h ，
解得14h ，240h （舍去）， 4,6F ．
2022·四川内江中考真题
20．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣4，0），B （2，0），与y 轴交于点C （0，2
）．
(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；
(2)点P 为抛物线上⼀点，连接CP ，直线CP 把四边形CBP A 的⾯积分为1：5两部分，求点P 的坐标．
【答案】(1)211242
y x x
(2)点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣14
3，﹣
10
9）．
【分析】（1）运⽤待定系数法即可解决问题；
（2）根据S△PCB：S△PCA＝11
():():,
22
C P C P
EB y y AE y y BE AE
即可求解．
【详解】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
∴1640 420
2
a b c
a b c
c
，
解得：
1
4
1
2
2
a
b
c
，
∴抛物线的解析式为
2
11
2
42
y x x
；
（2）如图，设直线CP交x轴于点E
，
直线CP把四边形CBP A的⾯积分为1：5两部分，
⼜∵S△PCB：S△PCA＝
11
::
22
C P C P
EB y y AE y y EB AE
，
则EB：AE＝1：5或5：1
则AE＝5或1，
即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），
将点E的坐标代⼊直线CP的表达式：y＝nx+2，
解得：n＝﹣2或2 3，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝2
3x+2，
联⽴⽅程组
2
22
11
2
42
y x
y x x
或
2
2
2
3
11
2
42
y x
y x x
，
解得：x＝6或﹣14
3（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣14
3，﹣
10
9）．
【题型5】⽶勒⾓（最⼤张⾓问题）
例题5-1
21．如图，在平⾯直⾓坐标系中，A（1，0）、B（5，0）直线l经过点C（-1，2），点P是直线l上的动点，若∠APB的最⼤值为45°，求直线l的解析式．
【分析】
考虑到直线l未知但∠APB的最⼤值已知为45°，故构造圆．
记△ABP外接圆圆⼼为M点，则∠AMB=2∠APB=90°，
故可确定M点位置．
根据A（1，0）、B（5，0），不难求得M点坐标为（3，2），
连接MC 、MP ，考虑到圆M 与直线CP 相切，故MP ⊥CP ，△CPM 是直⾓三⾓形．
∵MC =4，MP =MA
=，
∴CP
△CPM 是等腰直⾓三⾓形，易求P 点坐标为（1，4），
⼜C 点坐标为（-1，2），
可求直线l 的解析式为y =x +3．
⼭东烟台中考真题
22．如图，抛物线23y ax bx 与x 轴交于A （-1，0）、B 两点，与y 轴交于点C ，过点C 作CD ⊥y
轴交抛物线于另⼀点D ，作DE ⊥x 轴，垂⾜为点E ，双曲线 60y x x
经过点D ，BD ．（1）求抛物线的表达式；
（2）动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC ⽅向运动，运动时间为t 秒，当t 为何值
时，∠BPD
的度数最⼤？（请直接写出结果）
【分析】
（1）考虑到点D 纵坐标与点C 相同，为3，代⼊反⽐例解析式，可得D 点坐标为（2，3），
根据A 、D 坐标可得抛物线解析式：
223y x x ．（2）求t 即求P 点位置．
思路2：切割线定理
延长BD 交y 轴于M 点，则当2MP MD MB 时，∠BPD 最⼤．
考虑到B （3，0）、D （2，3），可得直线BD 解析式：39y x
，故直线BD 与y 轴交点M 点坐标为（0，9
），
MD
，MB ，
∴260MP MD MB
，
∴MP
∴P
点坐标为 0,9 ，
故t
的值为9 2023·四川宜宾中考真题
23．如图，抛物线2y ax bx c 与x 轴交于点 4,0A 、 2,0B ，且经过点 2,6C
．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在x 轴上⽅的抛物线上任取⼀点N ，射线AN 、BN 分别与抛物线的对称轴交于点P 、Q ，点Q 关于x 轴的对称点为Q ，求APQ △的⾯积；
(3)点M 是y 轴上⼀动点，当AMC 最⼤时，求M 的坐标．
【答案】(1)
233642y x x (2)
814APQ S V
(3) 0,12M 【分析】（1）设抛物线的解析式为
42y a x x ，代⼊点C 的坐标，确定a 值即可．（2）设233,642N m m m
，直线AN 的解析式为y kx b ，直线BN 的解析式为y px q ，表⽰出P ，Q ，Q 的坐标，进⽽计算即可．
（3）当M 是y 轴与经过A ，C ，M 三点的圆的切点是最⼤计算即可.
【详解】（1）∵抛物线2y ax bx c 与x 轴交于点 4,0A 、 2,0B ，
∴设抛物线的解析式为
42y a x x ，∵经过点 2,6C ，
∴ 62422a ，解得
3
4a ，∴ 3424y x x ，∴233642y x x ．
（2）如图，当点N 在对称轴的右侧时，∵
22333627+4+1424y x x x ，
∴对称轴为直线=1x
，
设233,642N m m m
，直线AN 的解析式为y kx b ，直线BN 的解析式为y px q ，∴
224020,3333664242k b p q mk b m m mp q m m 解得2222333366424224,33123624242m m m m p k m m m m m m b q m m ，
∴直线AN 的解析式为2243363624442y m m x m m m m ，直线BN 的解析式为
22233363124222y x m m m m m m ，
当=1x 时，  2223399618362912444444242m m m m m m y m m m m ，  22233399631218422914422224y m m m m m m m m m m ，
∴ 91,24P m ， 91,44Q m ，
91,44Q m ，∴
992724442PQ m m ，∴
127813224APQ S V ．如图，当点N 在对称轴的左侧时，∵
22333627+4+1424y x x x ，∴对称轴为直线=1x ，
设233,642N m m m ， 91,24P m ， 91,44Q m ，
91,44Q m ，∴
992724442PQ m m ，∴
127813224APQ S V ．综上所述，
814APQ S V ．（3）当AMC V 的外接圆与OM 相切，切点为M 时， AMC 最⼤，
设外接圆的圆⼼为E ，Q 是异于点M 的⼀点，连接QA ，QC ，QA 交圆于点T ，
则AMC ATC
，根据三⾓形外⾓性质，得ATC AQC ，故AMC AQC ，∴AMC 最⼤，
设OA 与圆交于点H ，连接MH ，ME ，根据切线性质，
∴90EMO MOA ，
作直径HN ，连接MN ，
∴90HMN ，MNH MAH
，∵EM EH ，
∴EMH EHM
，∴9090EMH EHM
，∴OMH MNH MAH
，∴OMH OAM V V ∽， ∴
OM OH OA OM ，∴2OM OA OH
g ，设,OM y OH x ，则AH 4x
，∴24y x
，
∴y
过点E 作EF OA ，垂⾜为F ，过点C 作CG OA ，垂⾜为G ，交EM 于点P ，根据垂径定理，得
42x AF FH ，四边形EMOF 是矩形，∴
4422x x EC EM OF x ，
根据 2,6C ，得
2CD PM OG ，6CG ∴
4222P x E EM PM x ，
∴6CP CG PG CG OM
在直⾓三⾓形PEC 中，
∴2224()(6(22x x ，
∴16x
∴22(16)x ，
∴21122560x x
，
解得156x 2564x （舍去），
∴ 2612y
故12OM ∴当AMC 最⼤时， 0,12M ．。