备战中考数学一元二次方程的综合复习及详细答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．
（1）求k 的取值范围；
（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．
【答案】（1）12
k ≤
；（2）3k = 【解析】
试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值． 试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤
12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，
∴k 1＝1，k 2＝－3.
∵k ≤12
，∴k ＝－3.
2．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元.
（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？
（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了
1%2a ，B 种品牌的建材的销售量减少了
2%3a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23
a ，求a 的值.
【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30.
【解析】
【分析】
（1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；
（2）根据题意列出方程求解即可.
【详解】
（1）设销售A 品牌的建材x 件.
根据题意，得()60009000126966000x x +-≥，
解这个不等式，得56x ≤，
答：至多销售A 品牌的建材56件.
（2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件，
根据题意，得
()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2323a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
令%a y =，整理这个方程，得21030y y -=， 解这个方程，得1230,10
y y ==， ∴10a =（舍去），230a =，
即a 的值是30.
【点睛】
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
3．由图看出，用水量在m 吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过m 吨，需要加收．
4．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0有两根α，β．
（1）求m 的取值范围；
（2）若1
1
1αβ+=-，则m 的值为多少？
【答案】（1）14m ≥
；（2）m 的值为3． 【解析】
【分析】
（1）根据△≥0即可求解,
（2）化简
11αβ+,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可. 【详解】
解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m 2≥0，
解得：m≥-34
； （2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m 2， ∵
111αβ+=-，即αβαβ+=-1, ∴2m 3m2
+﹣（）=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0 解得：m 1=﹣1，m 1=3，
由（1）知m≥-
34
， ∴m 1=﹣1应舍去，
∴m 的值为3．
【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.
5．观察下列一组方程：20x x -=①；2320x x -+=②；2560x x -+=③；27120x x -+=④；⋯它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．
()1若2560x kx ++=也是“连根一元二次方程”，写出k 的值，并解这个一元二次方程； ()2请写出第n 个方程和它的根．
【答案】（1）x 1＝7，x 2＝8.（2）x 1＝n －1，x 2＝n .
【解析】
【分析】
（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k 值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解.
【详解】
解：(1)由题意可得k ＝－15，则原方程为x 2－15x ＋56＝0，则(x －7)·
(x －8)＝0，解得x 1＝7，x 2＝8.
(2)第n 个方程为x 2－(2n －1)x ＋n(n －1)＝0，(x －n)(x －n ＋1)＝0，解得x 1＝n －1，x 2＝n.
【点睛】
本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.
6．已知关于x 的一元二次方程()2
204
m mx m x -++=. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根； （2）当4m =时，求方程的解.
【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）1x =，
2x =. 【解析】
【分析】
（1）方程有两个不相等的实数根，>0∆，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；
（2）将4m =代入原方程，求解即可.
【详解】
（1）由题意得：24b ac ∆=- =()2
2404m m m +->，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根.
（2）把4m =带入得24610x x -+=，解得1x =
，2x =. 【点睛】 本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.
7．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．
(1) 试说明：此方程总有两个实数根．
(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.
【答案】(1)()2243b ac m -=+≥0；(2)m=-1,-3.
【解析】
分析: （1）先计算判别式得到△=（m -3）2-4m •（-3）=（m +3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）利用公式法可求出x 1=
3m ，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值． 详解: （1）证明：∵m ≠0，
∴方程mx 2+（m -3）x -3=0（m ≠0）是关于x 的一元二次方程，
∴△=（m -3）2-4m ×（-3）
=（m +3）2，
∵（m +3）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x =
()()332m m m --±+ ， ∴x 1=-3m
，x 2=1， ∵m 为正整数，且方程的两个根均为整数，
∴m =-1或-3．
点睛: 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．
8．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【解析】
【分析】
（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．
【详解】
（1）设每个月生产成本的下降率为x ，
根据题意得：400（1﹣x ）2=361，
解得：x 1=0.05=5%，x 2=1.95（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为5%；
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
9．已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x +a ﹣1＝0．
（1）若该方程有一根为2，求a 的值及方程的另一根；
（2）当a 为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a 的值及方程的根．
【答案】（1）a=
15，方程的另一根为12
；（2）答案见解析. 【解析】
【分析】
（1）把x=2代入方程，求出a 的值，再把a 代入原方程，进一步解方程即可；
（2）分两种情况探讨：①当a=1时，为一元一次方程；②当a≠1时，利用b 2－4ac ＝0求出a 的值，再代入解方程即可．
【详解】
（1）将x ＝2代入方程2(a 1)x 2x a 10-++-=，得4(a 1)4a 10-++-=，解得：a ＝15
． 将a ＝
15代入原方程得24x 2054x 5-+-=，解得：x 1＝12，x 2＝2． ∴a ＝15，方程的另一根为12
； （2）①当a ＝1时，方程为2x ＝0，解得：x ＝0.
②当a≠1时，由b2－4ac＝0得4－4(a－1)2＝0，解得：a＝2或0．
当a＝2时，原方程为：x2＋2x＋1＝0，解得：x1＝x2＝－1；
当a＝0时，原方程为：－x2＋2x－1＝0，解得：x1＝x2＝1．
综上所述，当a＝1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，－1.
考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.
10．若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”．
（1）一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，则a＝；
（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0的两根，求它们的“x牵手点”．
【答案】（1）（1，0），a＝﹣2；（2）“x牵手点”为（
1
2
-，0）或（
1
2
，0）.
【解析】
【分析】
（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；
（2）根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-
4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点”．
【详解】
解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，
所以x＝1，即一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），
由于一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，
所以0＝a+2，
解得a＝﹣2；
（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”
∴11
a b
-=，
∴a+b＝0．
∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0的两根
∴a+b＝k＝0，
∴x2﹣4＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣2．
①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1的“x牵手点”为
1
,0
2
⎛⎫- ⎪⎝⎭
；
②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1的“x牵手点”为（1
2
，0 ）
∴综上所述，“x牵手点”为
1
,0
2
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
或（
1
2
，0）
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．。