黑龙江省大庆市高三数学考前得分训练试题(二)文

黑龙江省大庆市2017届高三数学考前得分训练试题（二）文
一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合}03|{2
<-=x x x A ，},1{a B =，且B A I 有4个子集，则实数a 的取值范围是（ ） A.)3,0( B. )3,1()1,0(Y C.)1,0( D.),3()1,(+∞-∞Y 2. 已知实数,a b 满足()(1)3(a i i bi i +⋅-=+为虚数单位），记,z a bi =+则z 是（ ） A.3 B. 5 C. 5 D.25
3. 设,a b r r 是非零向量，则“,a b r r
共线”是“a b a b +=+r r r r ”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4. 设23
25
55
322,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=== ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a c b >> B. a b c >> C.c a b >> D.b c a >>
5.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(1,2),(3,4),A B C -为AB 中点，则AB OC ⋅u u u r u u u r
的值是（ ）
A. 10
B. -10
C.20
D.-20 6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知1丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为（ ）
A ．10000立方尺
B ．11000立方尺
C ．12000立方尺
D ．13000立方尺 7.函数()2sin 1
x
f x x =
+的图象大致为( )
主视图
侧视图
俯视图
8.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ） A.5 B.6 C.7 D.8
9. 若直线2y x =上存在点(),x y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+-++m x y x y x 08206φ
则实数m 的取值范围是（ ）
A ．﹙-2，+∞）
B ．[-2，+∞﹚
C ．﹙-∞，-2﹚
D ．﹙-∞，-2]
10. 若7
tan 3tan π
α=，则=--
)
14
5cos()7sin(παπ
α（ ） A.1 B.21 C.31 D.4
1
11. 已知椭圆22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上不存在点P ，使得
由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ） A.20,
2⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝ B.30,2⎛⎫
⎪ ⎪⎝ C.2[,1)2 D.3[,1)2 12. 设函数()f x 满足()()2
3
2'x
x f x x f x e +=，()228e f =，则[2,)x ∈+∞时，2
x ()f x （ ）
A.有最大值28e
B.有最小值
2
8e
C.有最大值2
2
e
D.有最小值2
2
e
二、填空题 (本题共4小题，每题5分,共20分）
13.已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为 _____________
14.在ABC ∆三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2
2
2
sin 5sin ,()16c A C a c b =+=+，则
ABC ∆的面积是______________
15定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －2)＝－f (x )，且在[0,1]上是增函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 ，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32的大小关系是_____________
16.过动点P 作圆：22
(3)(4)1x y -+-=的切线PQ ，其中Q 为切点，若PQ PO =（O 为坐标原点），
则PQ 的最小值是_____________
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分
12
分） 已知各项都为正数的数列
{}
n a 满足
21111,(21)20(2n n n n a a a a a n --=---=≥，
*)n N ∈，数列{}n b 满足*11231111
1,1()2
3
n n b b b b b b n N n
+=++++=-∈L
（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n T .
18.(本小题满分12分） 某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记为0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示.
（Ⅰ）求,,a b c 的值；
（Ⅱ）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中选取5人进行座谈．现再从这5人中任选2人，求这两人都合格的概率。

19.(本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，侧面PAD 是边长为2的正三角形，5,7.AB BD PB ===
（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）设Q 是棱PC 上的点，当//PA 平面BDQ 时，求QB 与面ABCD 成角的正弦值。

20. (本小题满分12分）已知抛物线E ：2
4y x =,设A 、B 是抛物线E 上分别位于x 轴两侧的两
等级 不合格
合格
得分 [)20,40 [)40,60 [)60,80 []80,100
频数
6
a
24 b
个动点，且9
4
OA OB =uu r uu u r g （其中O 为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：直线AB 必过定点，并求出该定点Q 的坐标；
（Ⅱ）过点Q 作AB 的垂线与抛物线交于G 、D 两点，求四边形AGBD 面积的最小值. 21.(本小题满分12分）设函数2
()ln (2)f x x a x a x =--- （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()f x 有两个零点12,x x ,求满足条件的最小正整数a 的值；．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，直线l ：2cos (0)2sin x t t y t πα
αα⎧=-+⎪≤<⎨=⎪⎩为参数，，在以原点O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：223
(02)12sin ρθπθ
=
≤<+，若直线与y 轴正半轴
交于点M ，与曲线C 交于A 、B 两点，其中点A 在第一象限。

（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程及点M 对应的参数M t （用α表示）；
（Ⅱ）设曲线C 的左焦点为1F ，若1F B AM =，求直线l 的倾斜角
α的值. 23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()24f x x x m =++--的定义域为R ．
（Ⅰ）求实数m 的范围；
（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数b a ,满足
41
532n a b a b
+=++时，求47a b +的最小值．
数学试题（文科）参考答案
一、选择题
1．B 2．B 3．B 4．A 5．A 6．A 7．A 8．C 9．A 10．B 11．A 12．D 二、填空题
13
62 14．2 15．)41(-f ＜)41(f ＜ )23(f 16．125
三、解答题
17．解答：（Ⅰ）2
11(21)20n n n n a a a a -----=变形可得1(2)(1)0n n n a a a --+=，即有1
2n n a a -=或1n a =-，又由数列{}n a 各项都为正数，则有12n n a a -=，故数列{}n a 是首项为11a =，公比为
2的等比数列，则1
2n n a -=………3分
由题意知，当1n =时，121b b =-，故22b =，当n ≥2时，12311
11
1231
n n b b b b b n -++++=--L ，和原递推式作差得，
11
n n n b b b n
+=-，整理得：*1()1n n n b b b n n N n n +=∴=∈+，∴ ………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12n n n a b n -=⋅因此21
122322n n T n -=+⋅+⋅++⋅L
2321232222n n T n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅L ,两式作差得：
231*11(1)(1)2()2222221n n n n n n T n n T n n N -=+++++-⋅=---⋅∴=-⋅∈-+L (12)
18 ．a=18 b=12 c=0.015 10
3
Y -5000
10000
P
13 23
19．解答：（1）取AD 中点O ，连结OP,OB ，因为PAD 是边长为2的正三角形，所以
,3
OP AD OP ⊥=，5,2AB BD OB AD OB ==∴⊥=Q ，
222OB OP PB OP OB OP ABCD OP PAD ∴+=∴⊥∴⊥⊂∴Q 平面PAD ⊥平面ABCD
（2）11
33
20. Q )0
,2
9 ⎝⎛ s 最小88
21.解：（Ⅰ）22(2)(2)(1)
()2(2)a x a x a x a x f x x a x x x
----+'=---==． …（1
分）
当0a ≤时，()0f x '>在（0，+∞）上恒成立，所以函数f()x 单调递增区间为（0，+∞），此时()f x 无单调减区间． …（2分）
当0a >时，由()0f x '>，得2a x >
，()0f x '<，得02a x <<， 所以函数()f x 的单调增区间为(,)2a +∞，单调减区间为(0,)2
a
．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数()f x 有两个零点，所以0a >，()f x 的最小值()02
a
f <，即
244ln
02a a a a -+-<．…（5分）因为0a >，所以44ln 02a a -+>．令()44ln 2
a h a a =-+，显然()h a 在（0，+∞）上为增函数，且3
(2)20,(3)4ln 102h h =-<=->∴存在a 0∈（2，3），h
（a 0）=0．…（6分）当a ＞a 0时，h （a ）＞0；当0＜a ＜a 0时，h （a ）＜0，所以满足条件的最小正整数a=3．…（7分）
又当a=3时，F （3）=3（2﹣ln3）＞0，F （1）=0，所以a=3时，f （x ）有两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3．…（8分） ．
22（Ⅰ）由2
2
3
12sin ρθ
=+得2
222
22sin 3cos ,sin 13x x y y ρρθρθρθ+===∴+=Q ，即曲线C 的直角坐标方程为
2213
x y += ………2分，又由题意可知点M 的横坐标为0，代入有
22cos 0cos M x t t αα
=-+=∴=
………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线过定点1
(2,0)F -，将2cos (0)2sin x t t y t π
ααα=-+≤<=⎧⎨⎩
为参数，代入2
213
x y +=，化简可得22(12sin )22cos 10,t t αα+--=设A 、B 对应的参数分别为12121,sin 0226
M t t t t t ππ
ααα∴+=∴=±≤<∴=Q ………10分
23． 解答：（Ⅰ）Θ函数的定义域为R ，6)4()2(42=--+≥-++x x x x ，6≤∴m . ………5分 （
Ⅱ
）
由
（
Ⅰ
）
知
6
=n ，由柯西不等式知，
47a b +=
141(47)()6532a b a b a b ++++1[(5)(32)]6
a b a b =+++413
(
)5322a b a b +≥++，当且仅当15
,2626
a b =
=时
取
等
号
，
47a b ∴+的最小值为
2
3
.
………10分。