昌平区第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

昌平区第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 定义运算：,,a a b
a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩
．例如121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域为（ ）
A
．⎡
⎢⎣ B ．[]1,1- C
．⎤⎥⎦ D
．⎡-⎢⎣2． 已知函数f （x ）=a x （a ＞0且a ≠1）在（0，2）内的值域是（1，a 2），则函数y=f （x ）的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 以下四个命题中，真命题的是（ ）
A ．2
,2
x R x x ∃∈≤- B ．“对任意的，”的否定是“存在，x R ∈210x x ++>0x R ∈20010x x ++< C ．，函数都不是偶函数
R θ∀∈()sin(2)f x x θ=+ D ．已知，表示两条不同的直线，，表示不同的平面，并且，，则“”是m n αβm α⊥n β⊂αβ⊥ “”的必要不充分条件
//m n 【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
4． 已知函数f （x ）=2ax 3﹣3x 2+1，若 f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是（ ）
A ．（1，+∞）
B ．（0，1）
C ．（﹣1，0）
D ．（﹣∞，﹣1）
5． 不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，那么（ ）
A ．a ＜0，△＜0
B ．a ＜0，△≤0
C ．a ＞0，△≥0
D ．a ＞0，△＞0
6． 棱台的两底面面积为、，中截面（过各棱中点的面积）面积为，那么（
）
1S 2S 0S A ． B ．
C ．
D
．=
0S =
0122S S S =+2
012
2S S S =7． 如图，空间四边形ABCD 中，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则等（
）
A ．
B ．
C ．
D ．8． 执行如图所以的程序框图，如果输入a=5，那么输出n=（
）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9． 已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于
()cos (0)f x x x ωωω=
+>()y f x =2y =，则的一条对称轴是（ ）
π()f x A ． B ．
C ．
D ．12
x π=-
12
x π
=
6
x π
=-
6
x π
=10．cos80cos130sin100sin130︒︒-︒︒等于（ ）
A B ．
1
2
C ．1
2-
D ．11．“p q ∨为真”是“p ⌝为假”的（ ）条件
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
12．在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别
、
，则下列判断正确的是（
）
A ．＜，乙比甲成绩稳定
B ．＜，甲比乙成绩稳定
C ．＞
，甲比乙成绩稳定
D ．
＞
，乙比甲成绩稳定
二、填空题
13．抛物线的焦点为，经过其准线与轴的交点的直线与抛物线切于点，则2
4x y =F y Q P FPQ ∆外接圆的标准方程为_________.14．若tan θ+=4，则sin2θ= ．
15．S n =
+
+…+
= ．
16．函数f（x）=的定义域是 ．
17．圆柱形玻璃杯高8cm，杯口周长为12cm，内壁距杯口2cm的点A处有一点蜜糖．A点正对面的外壁（不是A点的外壁）距杯底2cm的点B处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少 cm．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）
18．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，2a n+1=a n，若对于任意n∈N*，当t∈[﹣1，1]时，不等式x2+tx+1＞S n 恒成立，则实数x的取值范围为 ．
三、解答题
19．如图，F1，F2是椭圆C：+y2=1的左、右焦点，A，B是椭圆C上的两个动点，且线段AB的中点M 在直线l：x=﹣上．
（1）若B的坐标为（0，1），求点M的坐标；
（2）求•的取值范围．
20．已知f（x）=|﹣x|﹣|+x|
（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≥a2﹣3a恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（m）+f（n）=4，且m＜n，求m+n的取值范围．
21．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
22．已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}
（1）若a=，求A∩B．
（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．
23．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H为棱CC1的中点，D在棱BB1上，且A1D丄平面AB1H．
（Ⅰ）求证：D 为BB 1的中点；（Ⅱ）求二面角C 1﹣A 1D ﹣A
的余弦值．
24．（本小题满分12分）在等比数列中，．{}n a 3339,22
a S =
=（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，且为递增数列，若，求证：．
2
21
6log n n b a +={}n b 11n n n c b b +=
g 1231
4
n c c c c ++++<L
昌平区第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】
考点：1、分段函数的解析式；2、三角函数的最值及新定义问题.
2．【答案】B
【解析】解：函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）在（0，2）内的值域是（1，a2），
则由于指数函数是单调函数，则有a＞1，
由底数大于1指数函数的图象上升，且在x轴上面，可知B正确．
故选B．
3．【答案】D
4．【答案】D
【解析】解：若a=0，则函数f（x）=﹣3x2+1，有两个零点，不满足条件．
若a≠0，函数的f（x）的导数f′（x）=6ax2﹣6x=6ax（x﹣），
若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，
若a＞0，由f′（x）＞0得x＞或x＜0，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得0＜x＜，此时函数单调递减，
故函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=处取得极小值f（），若x0＞0，此时还存在一个小于0的零点，此时函数有两个零点，不满足条件．
若a＜0，由f′（x）＞0得＜x＜0，此时函数递增，
由f ′（x ）＜0得x ＜或x ＞0，此时函数单调递减，
即函数在x=0处取得极大值f （0）=1＞0，在x=处取得极小值f （），若存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，
则f （）＞0，即2a （）3﹣3（）2+1＞0，（）2＜1，即﹣1＜＜0，解得a ＜﹣1，故选：
D
【点评】本题主要考查函数零点的应用，求函数的导数，利用导数和极值之间的关系是解决本题的关键．注意分类讨论．　
5． 【答案】A
【解析】解：∵不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，∴a ＜0，且△=b 2﹣4ac ＜0，
综上，不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为的条件是：a ＜0且△＜0．故选A ．　
6． 【答案】A 【解析】
试题分析：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为上部三棱锥的高为，根据相似比的性质可得：
2h ，解得
A ．220()2()a S a h S a S a h
S '⎧=⎪+⎪
⎨'⎪=+⎪⎩=考点：棱台的结构特征．7． 【答案】C
【解析】解：∵M 、G 分别是BC 、CD 的中点，
∴=， =
∴=
+
+
=
+
=
故选C
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中将化为++，是解答本题的关
键．　
8． 【答案】B
【解析】解：a=5，进入循环后各参数对应值变化如下表： p 15 20 结束q 525n 23
∴结束运行的时候n=3．故选：B ．
【点评】本题考查了程序框图的应用，考查了条件结构和循环结构的知识点．解题的关键是理解题设中语句的意义，从中得出算法，由算法求出输出的结果．属于基础题．　
9． 【答案】D 【解析】
试题分析：由已知，，所以，则，令 ()2sin(6
f x x π
ω=+
T π=22π
ωπ=
=()2sin(2)6
f x x π
=+，得，可知D 正确．故选D ．
2,62x k k Z ππ
π+
=+
∈,26
k x k Z ππ
=
+∈考点：三角函数的对称性．()sin()f x A x ωϕ=+10．【答案】D 【解析】
试题分析：原式()()cos80cos130sin80sin130cos 80130cos 210cos 30180cos30=︒︒-︒︒=︒+︒=︒=︒+︒=-︒
=考点：余弦的两角和公式.11．【答案】B 【解析】
试题分析：因为假真时，真，此时为真，所以，“ 真”不能得“为假”，而“为p p q ∨p ⌝p q ∨p ⌝p ⌝假”时为真，必有“ 真”，故选B. p p q ∨考点：1、充分条件与必要条件；2、真值表的应用.12．【答案】A
【解析】解：由茎叶图可知
=（77+76+88+90+94）=，
=（75+86+88+88+93）=
=86，则
＜
，
乙的成绩主要集中在88附近，乙比甲成绩稳定，故选：A
【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据平均数和数据的稳定性是解决本题的关键．　
二、填空题
13．【答案】或()2
2
12x y -+=()2
2
12
x y ++=【解析】
试题分析：由题意知，设，由，则切线方程为，代入()0,1F 2001,
4P x x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
1'2y x =()200011
42y x x x x -=-得，则，可得，则外接圆以为直径，则()0,1-02x =±()()2,1,2,1P -PF FQ ⊥FPQ ∆PQ ()
2
212
x y -+=或.故本题答案填或．1
()2212x y ++=()2212x y -+=()22
12x y ++=考点：1.圆的标准方程；2.抛物线的标准方程与几何性质．14．【答案】 ．
【解析】解：若tan θ+=4，则
sin2θ=2sin θcos θ==
=
==，
故答案为．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．　
15．【答案】
【解析】解：∵ =
=（
﹣
），
∴S n =
+
+…+
= [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣
）=（1﹣
）
=
，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查利用裂项法进行数列求和，属于中档题．
16．【答案】　{x|x ＞2且x ≠3}　．
【解析】解：根据对数函数及分式有意义的条件可得解可得，x ＞2且x ≠3
故答案为：{x|x＞2且x≠3}
17．【答案】　10　cm
【解析】解：作出圆柱的侧面展开图如图所示，设A关于茶杯口的对称点为A′，
则A′A=4cm，BC=6cm，∴A′C=8cm，
∴A′B==10cm．
故答案为：10．
【点评】本题考查了曲面的最短距离问题，通常转化为平面图形来解决．
18．【答案】　（﹣∞，]∪[，+∞）　．
【解析】解：数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，2a n+1=a n，
∴数列{a n}是以1为首项，以为公比的等比数列，
S n==2﹣（）n﹣1，
对于任意n∈N*，当t∈[﹣1，1]时，不等式x2+tx+1＞S n恒成立，
∴x2+tx+1≥2，
x2+tx﹣1≥0，
令f（t）=tx+x2﹣1，
∴，
解得：x≥或x≤，
∴实数x的取值范围（﹣∞，]∪[，+∞）．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵B的坐标为（0，1），且线段AB的中点M在直线l：x=﹣上，
∴A点的横坐标为﹣1，
代入椭圆方程+y2=1，解得y=±，故点A（﹣1，）或点A（﹣1，﹣）．
∴线段AB的中点M（﹣，+）或（﹣，﹣）．
（2）由于F1（﹣1，0），F2（1，0），当AB垂直于x轴时，AB的方程为x=﹣，点A（﹣，﹣）、
B（﹣，），
求得•=．
当AB不垂直于x轴时，设AB的斜率为k，M（﹣，m），A（x1，y1），B （x2，y2），
由可得（x1+x2）+2（y1+y2）•=0，∴﹣1=﹣4mk，即k=，
故AB的方程为y﹣m=（x+），即y=x+①．
再把①代入椭圆方程+y2=1，可得x2+x+•=0．
由判别式△=1﹣＞0，可得0＜m2＜．
∴x1+x2=﹣1，x1•x2=，y1•y2=（•x1+）（x2+），
∴•=（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）=x1•x2+y1•y2﹣（x1+x2）+1=．
令t=1+8m2，则1＜t＜8，∴•==[3t+]．
再根据[3t+]在（1，）上单调递减，在（，8）上单调递增求得[3t+]的范围为[，）．
综上可得，[3t+]的范围为[，）．
【点评】本题主要考查本题主要考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，两个向量的数量积公式的应用，直线和二次曲线的关系，考查计算能力，属于难题．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≥a2﹣3a恒成立，即|﹣x|﹣|+x|≥a2﹣3a恒成立．
由于f（x）=|﹣x|﹣|+x|=，故f（x）的最小值为﹣2，
∴﹣2≥a2﹣3a，求得1≤a≤2．
（Ⅱ）由于f（x）的最大值为2，∴f（m）≤2，f（n）≤2，
若f（m）+f（n）=4，∴m＜n≤﹣，∴m+n＜﹣5．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为点B与A（﹣1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，﹣1）．设点P的坐标为（x，y）
化简得x2+3y2=4（x≠±1）．
故动点P轨迹方程为x2+3y2=4（x≠±1）
（Ⅱ）解：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0）
则．
因为sin∠APB=sin∠MPN，
所以
所以=
即（3﹣x0）2=|x02﹣1|，解得
因为x02+3y02=4，所以
故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为．
【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）当a=时，A={x|}，B={x|0＜x＜1}
∴A∩B={x|0＜x＜1}
（2）若A∩B=∅
当A=∅时，有a﹣1≥2a+1
∴a≤﹣2
当A≠∅时，有
∴﹣2＜a≤或a≥2
综上可得，或a≥2
【点评】本题主要考查了集合交集的求解，解题时要注意由A∩B=∅时，要考虑集合A=∅的情况，体现了分类讨论思想的应用．
23．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：连接AC1，
∵AC=AA1，∠AA1C1=60°，
∴三角形ACC1是正三角形，
∵H是CC1的中点，
∴AH⊥CC1，从而AH⊥AA1，
∵侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，面AA1C1C∩侧面ABB1A1=AA1，AH⊂平面AA1C1C，
∴AH⊥ABB1A1，
以A为原点，建立空间直角坐标系如图，
设AB=，则AA1=2，
则A（0，2，0），B1（，2，0），D（，t，0），
则=（，2，0），=（，t﹣2，0），
∵A1D丄平面AB1H．AB1⊂丄平面AB1H．
∴A1D丄AB1，
则•=（，2，0）•（，t﹣2，0）=2+2（t﹣2）=2t﹣2=0，得t=1，
即D（，1，0），
∴D为BB1的中点；
（2）C1（0，1，），=（，﹣1，0），=（0，﹣1，），
设平面C1A1D的法向量为=（x，y，z），
则由•=x﹣y=0），•=﹣y+z=0，得，
令x=3，则y=3，z=，=（3，3，），
显然平面A1DA的法向量为==（0，0，），
则cos＜，＞===，
即二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值是．
【点评】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解二面角的常用方法．综合性较强，运算量较大．　
24．【答案】（1）；（2）证明见解析.
1
31622n n n a a -⎛⎫
==- ⎪
⎝⎭
g 或【解析】
试题分析：（1）将化为，联立方程组，求出，可得；
3339,22a S ==1,a q 1,a q 1
31622n n n a a -⎛⎫
==- ⎪
⎝⎭
g 或（2）由于为递增数列，所以取，化简得
，
{}n b 1
162n n a -⎛⎫
=⋅- ⎪
⎝⎭
2n b n =，其前项和为.()1111114141n n n c b b n n n n +⎛⎫
===- ⎪
++⎝⎭
g ()1114414n -<+
考点：数列与裂项求和法．1。