【教育资料】2018-2019数学北师大版选修2-1练习：第二章3.3 空间向量运算的坐标表示 2学习精品

[A.基础达标]
1．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O ，球面上有两个点A ，B 的坐标分别为A (1，2，2)，B (2，－2，1)，则|AB |＝( )
A ．18
B ．12
C ．3 2
D ．2 3
解析：选C.AB →＝(1，－4，－1)，|AB |＝|AB →|＝12＋（－4）2＋（－1）2＝3 2.
2.若ABCD 为平行四边形，且A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (－3，7，－5)，则顶点D 的坐标为( )
A.⎝⎛⎭
⎫72，4，－1 B ．(2，3，1) C ．(－3，1，5) D ．(－1，13，－3)
解析：选D.设D (x ，y ，z )，因为AB →＝DC →，所以(－2，－6，－2)＝(－3－x ，7－y ，－5
－z )，
所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＝－3－x ，－6＝7－y ，－2＝－5－z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝13，z ＝－3.
3．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )
A ．0°
B ．60°
C ．30°
D ．90°
解析：选D.因为(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝cos 2α＋1＋sin 2α－(sin 2α＋1＋cos 2α)＝0， 所以cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝0，
所以〈a ＋b ，a －b 〉＝90°.
4．已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(0，1，1)，c ＝(1，0，1)，d ＝(1，0，－1)，则其中共面的三个向量是( )
A ．a ，b ，c
B ．a ，b ，d
C ．a ，c ，d
D ．b ，c ，d
解析：选B.因为a ＝b ＋d ，所以a ，b ，d 三向量共面．
5．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，1)，a 与b 的夹角为60°，则λ的值为( )
A ．17或－1
B ．－17或1
C ．－1
D ．1
解析：选B.a ·b ＝4－λ，|a |＝
5＋λ2，|b |＝6， 由题意得cos 60°＝a ·b |a ||b |
，即4－λ5＋λ2·6＝12， 解之得λ＝1或λ＝－17.
6．已知a ＝(m ＋1，0，2m )，b ＝(6，0，2)，a ∥b ，则m 的值为________．
解析：因为a ∥b ，所以a ＝λb ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＝6λ，
2m ＝2λ，得⎩
⎨⎧λ＝15，m ＝15.
答案：15
7．已知a ＝(1－t ，2t －1，0)，b ＝(2，t ，t )，t ∈R ，则|b －a |的最小值为________． 解析：因为b －a ＝(1＋t ，1－t ，t )，
所以|b －a |＝（b －a ）·（b －a ）＝3t 2＋2≥ 2. 答案： 2
8．与a ＝(2，－1，2)共线且满足a ·x ＝－18的向量x ＝________．
解析：因为a ∥x ，所以x ＝λa ＝(2λ，－λ，2λ)，
所以a ·x ＝2·2λ＋(－1)·(－λ)＋2·2λ＝9λ＝－18，得λ＝－2，故x ＝(－4，2，－4)． 答案：(－4，2，－4)
9．已知在△ABC 中，A (2，－5，3)，AB →＝(4，1，2)，BC →＝(3，－2，5)，求顶点B ，C
的坐标，向量CA →及∠A 的余弦值．
解：设B ，C 两点的坐标分别为(x ，y ，z )，(x 1，y 1，z 1)．
因为AB →＝(4，1，2)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝4，y ＋5＝1，z －3＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－4，z ＝5.
所以B 点坐标为(6，－4，5)．
因为BC →＝(3，－2，5)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1－6＝3，y 1＋4＝－2，z 1－5＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝9，y 1＝－6，z 1
＝10.
所以C 点坐标为(9，－6，10)．
所以AC →＝(7，－1，7)，CA →＝(－7，1，－7)．
所以cos A ＝AC →·AB →|AC →||AB →|
＝28－1＋1499×21 ＝413231
＝41231693. 10.如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A
的坐标是⎝⎛⎭
⎫32，12，0，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°. (1)求向量OD →的坐标；
(2)设向量AD →和BC →的夹角为θ，求cos θ的值．
解：(1)如图所示，过D 作
DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝ 3.
所以DE ＝CD ·sin 30°＝
32
. OE ＝OB －BD ·cos 60°＝1－12＝12
， 所以D 点坐标为⎝
⎛⎭⎫0，－12，32， 即向量OD →的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－12，32. (2)依题意知OA →＝⎝⎛⎭
⎫32，12，0， OB →＝(0，－1，0)，OC →＝(0，1，0)．
所以AD →＝OD →－OA → ＝⎝⎛⎭⎫－
32
，－1，32. BC →＝OC →－OB →＝(0，2，0)．
由于向量AD →和BC →的夹角为θ，则
cos θ＝AD →·BC →|AD →||BC →|
＝ ⎝⎛⎭⎫－32×0＋（－1）×2＋32×0⎝⎛⎭⎫－322＋（－1）2＋⎝⎛⎭⎫322·02＋22＋02＝－210
＝－1510. 所以cos θ＝－105
. [B.能力提升]
1．已知向量OA →＝(2，－2，3)，向量OB →＝(x ，1－y ，4z )，且平行四边形OACB 对角线
的中点坐标为⎝⎛⎭⎫0，32
，－12，则(x ，y ，z )＝( ) A ．(－2，－4，－1)
B ．(－2，－4，1)
C ．(－2，4，－1)
D ．(2，－4，－1) 解析：选A.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 2＝0，－2＋1－y 2＝32，3＋4z 2＝－12
，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2
，y ＝－4，z ＝－1. 2．△ABC 的顶点分别为A (1，－1，2)，B (5，－6，2)，C (1，3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( )
A ．5 B.41
C ．4
D ．2 5
解析：选A.设AD →＝λAC →，其中λ∈R ，D (x ，y ，z )，
则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0，4，－3)，
所以x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ.
所以BD →＝(－4，4λ＋5，－3λ)．
所以4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0.
所以λ＝－45，所以BD →＝(－4，95，125
)． 所以|BD →|＝ （－4）2＋（95）2＋（125
）2＝5. 3．设AB →＝(cos α＋sin α，0，－sin α)，BC →＝(0，cos α，0)，则|AC →|的最大值为________． 解析：AC →＝AB →＋BC →＝(cos α＋sin α，cos α，－sin α)，
所以|AC →|＝（cos α＋sin α）2＋cos 2α＋（－sin α）2＝2＋sin 2α≤ 3.
答案： 3
4．已知a ＝2(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则λ的值为________．
解析：由共面向量定理知存在有序实数组(x ，y )使得a ＝x b ＋y c ，即(4，－2，6)＝(－x ，
4x ，－2x )＋(7y ，5y ，λy )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝－x ＋7y ，
－2＝4x ＋5y ，6＝－2x ＋λy ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3433，y ＝1433，λ＝657.
答案：657
5．已知关于x 的方程x 2－(t －2)x ＋t 2＋3t ＋5＝0有两个实根，a ＝(－1，1，3)，b ＝(1，0，－2)，c ＝a ＋t b .
(1)当|c |取最小值时，求t 的值；
(2)在(1)的条件下，求b 和c 夹角的余弦值．
解：(1)因为关于x 的方程x 2－(t －2)x ＋t 2＋3t ＋5＝0有两个实根，
所以Δ＝[－(t －2)]2－4(t 2＋3t ＋5)≥0，
即－4≤t ≤－43.
又c ＝(－1，1，3)＋t (1，0，－2)＝(－1＋t ，1，3－2t )，
所以|c |＝
（－1＋t ）2＋12＋（3－2t ）2＝5（t －75）2＋65
.
因为t ∈[－4，－43]时，上述关于t 的函数是递减的，
所以当t ＝－43时，|c |取最小值3473
.
(2)当t ＝－43时，c ＝(－73，1，173
)，
所以cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b ||c |
＝－73＋0－34312＋02＋（－2）2× （－73）2＋12＋（173
）2
＝－411 735
＝－41 1 7351 735. 6．(选做题)已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，2)．
(1)若DB →∥AC →，DC →∥AB →，求点D 的坐标．
(2)问是否存在实数α，β，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立？若存在，求出α，β的值；若不
存在，说明理由．
解：(1)设D (x ，y ，z )，则DB →＝(－x ，1－y ，－z )，AC →＝(－1，0，2)，DC →＝(－x ，－y ，
2－z )，AB →＝(－1，1，0)．因为DB →∥AC →，DC →∥AB →，
所以⎩⎪⎨⎪⎧（－x ，1－y ，－z ）＝m （－1，0，2），
（－x ，－y ，2－z ）＝n （－1，1，0），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝2.
即D (－1，1，2)． (2)依题意AB →＝(－1，1，0)，AC →＝(－1，0，2)，BC →＝(0，－1，2)．
假设存在实数α，β，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立，则有(－1，0，2)＝α(－1，1，0)＋β(0，
－1，2)＝(－α，α－β，2β)．
所以⎩⎪⎨⎪⎧α＝1，α－β＝0，2β＝2，
故存在α＝β＝1，
使得AC →＝αAB →＋βBC →成立．。