结构力学第二章几何构造分析讲解讲课文档

进行分析时可以看作一般刚片，但在求体系的计算自由度
或是多余约束数量时应计入上述多余约束。如：
封闭刚结框架体系是具有3个内部多余约束的几何不变体系。
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§2-5 体系的几何构造与静定性
体系的静定性：是指体系在任意荷载作用下的全部反力和内力是 否可以根据静力平衡条件确定。
几何不变，无多余约束
发生有限位移
（2）几何瞬变体系
(instantaneously changeable system)
发生微小位移
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FP
FP
体系受到任意荷载作用，在不考虑材料应变的 前提下，体系产生瞬时变形后，变为几何不变体系 ，则称几何瞬变体系。
组成几何不变体系的条件：
• 具有必要的约束数； • 约束布置方式合理
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例2-7 试分析图示体系的几何构造。
解：首先考察中间部分，由两个弧形刚片和一根链杆构成内部几
何不变体。该几何不变体通过三个铰对外联系，因而可以用 一个铰接三角形体系等效替代。
刚片Ⅰ、Ⅲ和Ⅱ、Ⅲ分别通过虚铰(Ⅰ, Ⅲ)和(Ⅱ, Ⅲ)联结，刚片 Ⅰ、Ⅱ通过一对平行链杆联结。因为，两个虚铰的连线平行于
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例2-5 试分析图示体系的几何构造。
解：先去除一元体FC（或视为由FC和C处支杆所构成的二元体） 再将刚片GHJ和基础刚片均用链杆代替。 刚片Ⅰ、Ⅱ由相互平行但不等长的
三根链杆相联，所以，体系是瞬变
的。
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例2-5 试分析图示体系的几何构造。 也可按三刚片联结的特殊情况进行分析：
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2-3-2 三刚片组成规则
三刚片用不在一直线上的三个铰两两相联，其内部是几何不
变的，并且没有多余的约束。
实铰相联：
虚铰相联：
当三个铰在一直线上时：
瞬变体系
两刚片和三刚片组成规则都是基于同一简单的事实，即边长 给定的三角形的几何形状是惟一确定的。因此，平面几何不变体
系的基本组成规则可称为三角形规则。
约束：对体系各部分之间的位置关系形成几何限制的联系。
自由度：3
自由度：2
自由度：1 自由度：0
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约束(restraint)
内部约束 （体系内各杆之间或结点之间的联系） 外部约束 （体系与基础之间的联系)
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常见约束装置
单约束 仅连接两个刚片的约束.单链杆2、在结构计算时，可根据其几何组成情况，选择 适当的计算方法；分析其组成顺序，寻找简便的解 题途径。
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第2章 平面体系的几何构造（组成）分析
§2-1 概述 平面杆系：体系的所有杆件和联系
及外部作用在一个平面内。
几何构造分析：按照几何学的原理对体系发 生运动的可能性进行分析。
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刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由铰（Ⅰ, Ⅲ）、(Ⅱ, Ⅲ)和一组平行链杆两两
相联，因平行链杆与上述两铰的连线平行，所以体系是瞬变的.
刚片Ⅰ、Ⅱ由相互平行但不等长的 三根链杆相联，所以，体系是瞬变 的。
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例2-6 试分析图示体系的几何构造。
图b
图c
解：若按图b或图c所示的刚片划分，则刚片Ⅱ与基础刚片Ⅲ之间
静定结构
几何不变，有多余约束
超静定结构
几何常变体系
不能作为结构
在任意荷载作用下，处于平衡状态的任一平面体在其平面内 可建立三个独立的静力平衡方程，即：
F x 0 , F y 0 , M 0
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对于瞬变体系：
由于荷载有竖向分力，体系在其原始的水平位置上不可能达 到平衡，体系发生有限位形变化。
单刚结点
链杆：两端用铰与其它 物体相连的刚片。链杆 可以是曲的、折的杆， 只要保持两铰间距不变 ，起到两铰连线方向约 束作用即可
1个单链杆 = 1个约束
1个单刚结点=3个约束
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单铰
连接两个刚片的铰
1个单铰=2个约束=2个的单链杆。
虚铰——在运动中虚铰的位置不定，
这是虚铰和实铰的区别。通常我们研究 的是指定位置处的瞬时运动，因此，虚 铰和实铰所起的作用是相同的都是相对 转动中心。
W=a-d
d---- 全部约束
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S-W=d-c=n 多余约束
S=a-c
W=a-d
定义：体系中各构件间无任何约束时的总自由 度数与总约束数之差称计算自由度（W）。
一个体系必有：S≥0， n ≥0
S-W=n ≥0
n+W=S ≥0
S≥W
n ≥ -W
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单约束 复约束
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必要约束、多余约束
必要约束 ( necessary restraints)：体系中 增加一个或减少一个该约束，将改变 体系的自由度数。 多余约束 ( redundent restraints)：体系中 增加一个或减少一个该约束并不改 变体系的自由度数。
注意：多余约束将影响结构的受力与变形。
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图示2结个构有 几个单铰？
O是铰O不是吗虚？
O
II
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复约束 连接两个以上刚片的约束
复铰
复刚 复链杆
一个连接 n个刚片的复铰相当 于(n-1)个单铰，相当于2(n-1)个 约束。
一个连接 n个刚片的复刚相当3(n-1) 个约束。
连接n个结点的复链杆相当于2n-3 个单链杆
自由度：体系运动时，可以独立改变的几何参数的 数目，即确定体系空间位置所需要独立坐标(广义坐 标)的数目
A
y
y
A
x
y
x
1动点= 2自由度 1刚片= 3自由度
x
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约束(restraint)
体系有自由度，就不能承受荷载，因此就应想办法 减少其自由度。当对体系添加了某些装置后，限制了 体系的某些方向的运动，使体系原有的自由度数减少 ，就说这些装置是加在体系上的约束。约束，是能减 少体系自由度数的装置。能减少几个自由度就称为几 个约束。
1个单链杆 = 1个约束
1个单刚结点=3个约束
1个单铰=2个约束=2个单链杆
一个连接 n个刚片的复铰 相当于(n-1)个单铰，相当 于2(n-1)个约束 一个连接 n个刚片的复刚 相当3(n-1)个约束
均只有一根支座链杆直接联系，另一个为间接联系，不能直
接套用三刚片规则。
刚片Ⅰ、Ⅱ之间通过链杆ED和CF 相联，其延长后形成虚铰(Ⅰ,Ⅱ) ; 刚片Ⅰ、Ⅲ之间通过AD杆和支座 链杆相联，形成虚铰(Ⅰ, Ⅲ); 刚片 Ⅱ、Ⅲ之间通过AE杆和C支座链杆
相联，形成虚铰(Ⅱ, Ⅲ)。
体系为几何不变，并且无多余约束。
上述平行链杆，所以体系是瞬变的。
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等效代换：即链杆与刚片之间的代换。 ⑴ 任何链杆（包括支座链杆）都可以看作刚片。 ⑵ 刚片看作链杆则是有条件的：若一个刚片仅通过两个铰（包括
虚铰）对外联系，则该刚片可看作通过这两个铰的链杆；若一
个刚片是通过3个或3个以上的铰与外部联结，则该刚片看作联 结这些铰的内部几何不变，并且无多余约束的链杆体系。 注意：若一个刚片内部具有多余约束，则在对体系的几何可变性
（Ⅰ, Ⅱ）
Ⅰ
Ⅱ
（Ⅰ, Ⅲ）Ⅲ（Ⅱ, Ⅲ）
解：去除作为一元体的基础并划分三刚片。 刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由不在一直线上的三个铰（Ⅰ、Ⅱ）、 （Ⅱ、Ⅲ）、（Ⅰ、Ⅲ）两两相联，符合几何不变的组 成规则。所以，体系几何不变，并且无多余约束。
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例2-4 试分析图示体系的几何构造。 Ⅰ
Ⅱ
解：扩大基础刚片至D。 刚片Ⅰ、Ⅱ由三根不相交于一点也不平行的链杆相联 符合几何不变的组成规则，所以，体系几何不变，并 无多余约束。
和线，分析一个体系的运动，必须先研究构成体系的点
和线的运动。
2.自由度
人的身高用高度表示，水深用深度表示，体系的自由
度顾名思义是指：体系运动时的自由程度。例如平面内
一点的自由程度、一刚体的自由程度……
点
的y
自
A
由
程
x
度
刚
片y
自
A
由
程
x
度
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自由度(degrees of freedom)
多余约束
材力中多余约束的概念是从平衡方程的个数和未知力 的个数的比较找出多余约束的。
必要约束
结论：只有必要约束才能对体系自由度有影响。
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§2-3 平面几何不变体系的组成规则
规律1. 点与刚片两杆连，二杆不共线
（三铰不共线）
规律2. 规律3. 规律4.
两个刚片铰、杆连，铰不过杆 三个刚片三铰连，三铰不共线 两个刚片三杆连，三杆不共点
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∑Y=0， N=0.5P/sinβ→∞
由于瞬变体系能产生很 大的内力，故几何常变体 系和几何瞬变体系不能作 为建筑结构使用.
只有几何不变 体系才能作为建筑 结构使用！！
PA
P
N
N
A
β
PA
β
发生微量位移 Δ是微量
P
N
N
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瞬变体系分析
特点：
从微小运动角度看，这是一 个可变体系； 微小运动后即成不变体系。
但此时体系中杆件的轴力非常大，可能导致杆件的破坏。所 以瞬变体系也不能用作结构，而且结构设计中应避免采用接近瞬
变的几何构造，以防止个别杆件的内力过大。
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计算自由度
①体系是否几何可变？自由度的个数S=？ ②体系有无多余约束？多余约束的个数n=？
S=a-c
a ---- 自由度总和 c ---- 非多余约束
二元体
减少或增加二元体不改 变体系的几何构造特征。
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虚铰(瞬铰)
联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单铰即瞬铰。
单铰
A
定轴转动
1 2
4 3
O 瞬铰
绕瞬心转动！
能形成虚铰 的是链杆 ( 2，3 )
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无穷远处的瞬铰
两根平行的链杆把刚片I与基础 相连接， 则两根链杆的交点在无穷 远处。两根链杆所起的约束作用相 当于无穷远处的瞬铰所起的作用。
结构力学第二章几何构造分析讲解
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§2-1 概 述
问题：是不是任何一个结构都能成为工程结构？
目的：分析、判断一个体系是否几何可变，或者如
何保证它成为几何不变体系，只有几何不变体系才 可以作为结构。
1、研究结构正确的连接方式，确保所设计的结构 能承受荷载，维持平衡，不至于发生刚体运动。
A A
B
B
AC B
组成没 有多余 约束的 几何不 变体系
A
B
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§2-3 平面几何不变体系的组成规则 2-3-1 两刚片组成规则
常变体系
瞬变体系 常变体系
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瞬变体系
几何可变体系又可分为两种
（1）几何常变体系 (constantly changeable system)
FP
体系受到任意荷载
作用，在不考虑材料应
变的前提下，体系若能
保证几何形状、位置不
变，称为几何不变体系
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§2-1 概述
几何组成分析的目的： 1、判别某一体系是否为几何不变，从而决定它
能否作为结构。
2、区别静定结构、超静定结构，从而选定相
应计算方法。 3、搞清结构各部分间的相互关系，以决定合
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2-3-3 基本组成规则的应用技巧
一元体：一个刚片与一个体系之间只用三根不相交于 一点也不相 平行的链杆联结，则该刚片称为一元体。
减少或增加一元体不改 变体系的几何构造特征。
可去除基础只分析上 部体系的几何构造。
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二元体：两个刚片与一个体系之间只用三个不在一直线上的铰两 两相联，则两个刚片称为二元体。
无穷远处的含义
定向支座（平行支链 杆）减少二个自由度
（1）每一个方向有一个∞点；
（2）不同方向有不同的∞点；
（3） 各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线；
（4）各有限点都不在线∞上。
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三刚片相联的几种特殊情况：
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§2-4 平面体系几何构造分析举例 例2-3 试分析图示体系的几何构造。
理的计算顺序。
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§2-2 平面体系几何不变的必要条件
自由度(degrees of freedom)
1）刚 片：可以看成是几何形状不变体系（刚体 ）的物体。（可以是杆、由杆组成的结构、支撑 结构的地基）
刚片 Ⅱ
刚片 Ⅰ
刚片 Ⅲ
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杆系结构是由结点和杆件构成的，我们可以抽象为点
几何不变体系
几何可变体系
几何可变体系
(geometrically changeable system)
FP
FP
体系受到某种荷载作用，在不考虑材料应变的 前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变，称 为几何可变体系。
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几何不变体系
(geometrically unchangeable system)