已知系统函数求单位脉冲响应

已知系统函数求单位脉冲响应
在信号与系统中，我们经常需要求解系统的单位脉冲响应。

单位脉冲响应是指，当输入信号为单位脉冲函数（即一个时间上的单位冲激）时，系统输出的响应函数。

单位脉冲函数可以表示为：
$$
\delta(t)=\begin{cases}
0 & t<0 \\
\infty & t=0 \\
0 & t>0 \\
\end{cases}
$$
$$
x(t)=\delta(t)
$$
而对于一个线性时不变系统，其输出可以表示为输入信号和系统单位脉冲响应的卷积形式：
因此，我们需要知道系统的单位脉冲响应$h(t)$才能求解输出信号$y(t)$。

现在，我们已知系统的传递函数，如何求解$h(t)$呢？有以下三种方法：
1. 直接查表法
对于某些常见的系统，如一阶低通滤波器、二阶带通滤波器等，其单位脉冲响应可以通过表格得到，因此使用直接查表法即可。

2. 法式求解法
对于一般的系统，我们可以通过传递函数的拉普拉斯变换公式得到系统的单位脉冲响应。

具体来说，令传递函数为$H(s)$，则其拉普拉斯变换为：
$$
H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}
$$
此时，由于输入信号为单位脉冲函数$x(t)=\delta(t)$，因此有：
$$
X(s)=1
$$
因此，得到单位脉冲响应的拉普拉斯变换为：
接着，我们可以通过拉普拉斯反变换得到$h(t)$：
需要注意的是，这种方法只适用于系统传递函数存在的情况。

如果传递函数不存在，
则需要使用第三种方法。

3. 时域响应求解法
对于某些系统，其单位脉冲响应可以通过时域求解方法得到，例如一阶线性微分方程、RC电路等。

对于一般的系统，我们可以将系统分解为一些易于求解的子系统，例如串联的线性时
不变系统可以分解为一系列一阶系统，从而利用时域方法求解每个子系统的单位脉冲响应，最终得到整个系统的单位脉冲响应。

总之，对于求解系统的单位脉冲响应，我们可以采用直接查表法、法式求解法和时域
响应求解法等方法，根据具体情况选择相应的方法进行求解。