《平面向量的坐标表示》 讲义

《平面向量的坐标表示》讲义
一、平面向量的基本概念
在数学的世界里，平面向量是一个非常重要的概念。

我们先来了解一下什么是平面向量。

简单来说，平面向量是既有大小又有方向的量。

比如，一个力，它不仅有大小（比如 10 牛顿），还有方向（比如水平向右），这就是一个平面向量。

为了方便研究和计算，我们通常用有向线段来表示平面向量。

有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

二、平面向量的坐标表示
接下来，咱们重点讲讲平面向量的坐标表示。

想象在一个平面直角坐标系中，有一个向量。

我们以这个平面直角坐标系的原点为起点，向量的终点坐标就可以用来表示这个向量。

比如说，有一个向量的终点坐标是（3, 4)，那么这个向量就可以用坐标（3, 4) 来表示。

那为什么要用坐标来表示向量呢？这是因为坐标表示能够让我们更方便地进行向量的运算和研究。

三、平面向量坐标表示的计算
既然知道了平面向量可以用坐标表示，那怎么计算呢？
假设我们有两个向量，向量 a 的坐标是（x1, y1)，向量 b 的坐标是（x2, y2)。

（一）加法运算
它们的和，也就是向量 a ＋向量 b 的坐标就是（x1 ＋ x2, y1 ＋ y2)。

比如说，向量 a 是（1, 2)，向量 b 是（3, 4)，那么 a ＋ b 就是（1
＋ 3, 2 ＋ 4) ＝（4, 6) 。

（二）减法运算
向量 a 向量 b 的坐标就是（x1 x2, y1 y2)。

例如，向量 a 是（5, 6)，向量 b 是（2, 3)，那么 a b 就是（5 2, 6 3) ＝（3, 3) 。

（三）数乘运算
如果有一个实数 k 乘以向量 a ，那么得到的新向量的坐标就是
（kx1, ky1) 。

比如，向量 a 是（2, 3)，k ＝ 2，那么 k a 就是（2 2, 2 3) ＝（4,
6) 。

四、平面向量坐标表示的应用
平面向量的坐标表示在很多方面都有应用。

（一）解决几何问题
比如证明平行四边形、判断三角形的形状等。

（二）物理中的应用
在物理学中，力、速度、位移等都可以用平面向量来表示，通过坐
标运算来求解相关问题。

（三）计算机图形学
在计算机图形的处理中，平面向量的坐标表示也发挥着重要作用。

五、例题讲解
为了更好地理解平面向量的坐标表示，咱们来看几个例题。

例 1：已知向量 a ＝（2, －1)，向量 b ＝（－3, 4)，求 a ＋ b 和 a
b 的坐标。

解：a ＋ b ＝（2 ＋（－3)，－1 ＋ 4) ＝（－1, 3)
a b ＝（2 （－3)，－1 4) ＝（5, －5)
例 2：若向量 c ＝（3, 2)，k ＝－2 ，求 k c 的坐标。

解：k c ＝（－2 3, －2 2) ＝（－6, －4)
六、总结
通过以上的讲解，我们对平面向量的坐标表示有了比较全面的了解。

它不仅让向量的运算变得更加简单和直观，还在各个领域有着广泛的
应用。

同学们在学习的过程中，要多做练习，加深对平面向量坐标表示的理解和掌握，为后续的学习打下坚实的基础。

希望大家通过这次的学习，能够熟练运用平面向量的坐标表示解决各种问题，在数学的海洋中畅游无阻！。