第4章二阶非线性光学效应

0
1 n2
2
E0 0
1
n
2 y
,
1 n2
5
E0 0
0
1 n2
3
E0 0
1 nz2
,
1 n2
6
E0 0
0
(4.1-7)
第4章 二阶非线性光学效应
1） KDP（KH2PO4）晶体中的线性电光效应
KDP晶体属于42m对称群, 其光轴取为z轴, 另外两 个对称轴为x轴和y轴。 根据表4.1-1, 它的线性电光张量 的非零元素只有γ41=γ52和γ63, 其矩阵形式为
[ (2) (3,1)
:
a(2 )a(3)a(1)]E(3,
z)E(1,
z)eikz
(4.3-12)
dE(3, t )
dz
i32
k3c2
[ (2) (1,2 )
:
a(3)a(1)a(2 )]E(1,
z ) E (2 ,
z)eikz
(4.3-13)
第4章 二阶非线性光学效应
4.3.2 曼利-罗关系
乘 乘
第4章 二阶非线性光学效应
线性电光效应是一种特殊的二阶非线性光学效应。 在这里, 作用于介质的两个电场， 一个是光电场, 另一 个是低频场或直流场, 在这两个电场的作用下产生了二 阶非线性极化。 现在假定作用于介质的直流场为E0、 光电场为E exp(-iωt)+c.c., 则根据极化强度的一般表示 式（1.1-39）式和（1.1-40）式, 有
z )e ik 2 z
dE(3,
dz
z)
i320
2k3
a(3)
PNL (3,
z )e ik3 z
(4.3-4) (4.3-5) (4.3-6)
第4章 二阶非线性光学效应
式中的P′NL (ω,z)为
PNL (1, z) 20 (2) (3,2 ) : a(3)a(2 )E(3, z)E(2, z)ei(k3k2 )z PNL (2, z) 20 (2) (3,1) : a(3)a(1)E(3, z)E(1, z)ei(k3k1)z PNL (1, z) 20 (2) (1,2 ) : a(1)a(2 )E(1, z)E(2, z)ei(k3k2 )z
(2)
(2)
xyz
xzy
zxy
zyx
yzx
yxz
第4章 二阶非线性光学效应
假设外加直流电场的方向为z方向, 光波在xOy平面 内沿着x、 y轴的对角线方向传播, 因而有
kx k cos 45 2 / 2 ky k sin 45 2 / 2
式中, k表示光波传播方向的单位矢量, 所以有效相对
P(1) (t) 0 (1) (0) E0 0[ ( ) Eeit c.c.]
(4.1-1)
P(2) (t) 0 (2) (0,0) : E0E0 20 (2) (, ) : EE
20[ (2) (,0) : E E0eit c.c.] 0[ (2) (, ) : E E0ei2t c.c.]
介电张量为
( r )eff
2
r
E ( 2 )
xyz 0z
2
E ( 2 )
xyz 0z
r
0
0
0
0
r
第4章 二阶非线性光学效应
z
本征矢E2
O
y
本征矢E1
x
k
图 4.1-2 4 43m晶体横向运用时的本征矢示意
第4章 二阶非线性光学效应
4.2 光 整 流 效 应
若令光波电场的空间变化部分为
in kr
根据（3.3-23）式, 三个频率ω1、 ω2和ω3的光电场 标量复振幅E(ω1,z)， E(ω2,z)和E(ω3,z)满足的微分方程 分别为
第4章 二阶非线性光学效应
dE(1,
dz
z)
i120
2k1
a(1)
PNL (1,
z)eik1z
dE (2 ,
dz
z)
i220
2k2
a(2 )
PNL (2,
0 0 0 0
0 xzy xyz 0
0
0 0 0 0 0 0 0 zxy zxy
KDP晶体的有效相对介电张量元素可表示为
( )eff
2 (2) z
Eo
2
(2)
z
Eoz
第4章 二阶非线性光学效应
写成矩阵的形式为
xx
2
E ( 2 )
xyz oz
0
( r )eff
2
E ( 2 )
xyz oz
xx
1 n2
1
x2
1 n2
2
y
2
1 n2
3
z2
2
1 n2
4
yz
2
1 n2
5
zx
2
1 n2
6
xy
1
(4.1-6)
第4章 二阶非线性光学效应
当直流电场为零, 且x、 y、 z轴分别平行于三个介 电主轴时, 有
1 n2
1
E0 0
1 nx2
,
1 n2
4
E0 0
x2 n02
y2 n02
z2 n02
2 41(E0x yz
E0 y zx
E0z xy)
1
(4.1-32)
第4章 二阶非线性光学效应
2. 麦克斯韦方程解析法描述
如前所述, 线性电光效应是一种二阶非线性光学效 应, 由于直流电场的作用, 使介质对频率为ω光波的相对 介电常数张量变为
( )eff
2
(2)
将其代入（4.2-3）式, 便得
P0z
20
E0
2
(2) zxy
(,
)
sin
2
(4.2-4)
第4章 二阶非线性光学效应
4.3 三波混频及和频、 差频产生
4.3.1 三波混频的耦合方程组 由二阶非线性极化强度的一般表示式（1.2-36）式,
可以得到三波混频中任何一对光波所感应的非线性极 化强度复振幅为
0
0
0
zz
将(εr)eff代入（4.1-41）式, 得
xx
2
(2) xyz
Eoz
2
E ( 2 )
xyz oz
xx
0
0
0 Ex ( )
0
E
y
(
)
zz kzkzn2 Ez ( )
n2 0 0 Ex ( )
0
n2
0
E
y
(
)
0 0 n2 Ez ( )
(4.1-42)
第4章 二阶非线性光学效应
第4章 二阶非线性光学效应
第4章 二阶非线性光学效应
4.1 线性电光效应 4.2 光整流效应 4.3 三波混频及和频、 差频产生 4.4 二次谐波产生 4.5 参量转换 4.6 参量放大与参量振荡 习题
第4章 二阶非线性光学效应
4.1 线性电光效应
线性电光效应也叫做普克尔（Pockler）效应。 当 没有反演中心的晶体受到直流电场或低频电场作用时, 其折射率发生与外加电场成线性关系的变化。 应当指 出的是, 这里所说的低频电场是与光频比较而言, 所以 微波频率也包括在内。
(4.1-2)
第4章 二阶非线性光学效应
因此, 相应于频率为ω的极化强度分量表示式为
P
( , t )
0
[
(1)
(
)
E
e
it
c.c.]
2
0
[
(2)
(,0)E E0 eit
c.c.]
0{[
(1)
(
)
2
(2eit
c.c.}
(4.1-3)
由此可见, 直流电场的作用使得介质对频率为ω的极化率
2） 43m类晶体的电光效应（横向运用） 43m类晶体的二阶非线性极化率张量的形式为
0 0 0 xyz xzy 0 0 0 0
0 0 0 0
0 xzy xyz 0
0
0 0 0 0 0 0 0 zxy zxy
这里的二阶非线性极化率张量元素有如下的对称性:
(2)
(2)
(2)
(2)
这类晶体未加电场时光学性质是各向同性的折射率椭球为旋转球面方程式为xyz取晶轴方向它们的线性电光张量矩阵为二阶非线性光学效应因此外加直流电场e414141麦克斯韦方程解析法描述如前所述线性电光效应是一种二阶非线性光学效由于直流电场的作用使介质对频率为光波的相对介电常数张量变为4140将变化后的介电常数张量代入描述晶体光学性质的基本方程319式二阶非线性光学效应1kdp晶体的线性电光效应假定外加直流电场平行于光轴z轴并且根据42m类晶体的二阶极化率张量形式zxyzxyxyzxzyxzyxyzkdp晶体的有效相对介电张量元素可表示为oz二阶非线性光学效应写成矩阵的形式为zzxxozxyzozxyzxxeffeff代入4141式zzxxozxyzozxyzxx二阶非线性光学效应243m类晶体的电光效应横向运用43m类晶体的二阶非线性极化率张量的形式为zxyzxyxyzxzyxzyxyzyxzyzxzyxzxyxzyxyz二阶非线性光学效应假设外加直流电场的方向为z方向光波在xoy平面内沿着xy轴的对角线方向传播因而有45sin45cosk表示光波传播方向的单位矢量所以有效相对介电张量为二阶非线性光学效应图412二阶非线性光学效应42光整流效应若令光波电场的空间变化部分为为光波电场的振幅a为光振动方向的单位矢量k为光波传播方向的单位矢量则由于二次非线性效应产生的直流极化强度为aa二阶非线性光学效应根据上面的假定光波在kdp晶体中传播时又根据kdp晶体2的空间对称性只有中三个脚标都不相同的元素才不为零
第4章 二阶非线性光学效应
P(2) (1) 20 (2) (3,2 ) : E(3, z)E*(2, z) P(2) (2 ) 20 (2) (3,1) : E(3, z)E*(1, z) P(2) (3) 20 (2) (1,2 ) : E(1, z)E(2, z)
(4.3 - 1) (4.3 - 2) (4.3 - 3)
P0 z
20
E0
2[
(2) zxy
(
,
)ax
a
y
(2) zyx
(
,
)a
xay
]
40
E0
2
(2) zxy
( , )axa y
(4.2-3)
第4章 二阶非线性光学效应
这表示在z方向有一个恒定的极化强度分量P0z。 假 设光波的传播方向k与晶轴x之间的夹角为θ, 则有
x sin , ay cos
x2 no2
y2 no2
x2 ne2
2 41E0x yz
2 41E0y zx
2 63E0x xy 1
(4.1-23)
第4章 二阶非线性光学效应
x′
x
45°
y′
45°
O
z,z′
y
图 4.1-1 坐标变换关系
第4章 二阶非线性光学效应
2) 43m类晶体的线性电光效应（横向运用）
43m类晶体为立方晶系类, 属于这类晶系的晶体有 CuCl、 ZnS、 GaAs、 ZnTe等。
常光分量有ax≠0, ay≠0, az=0, 非常光分量有ax=ay=0, az≠0。 又根据KDP晶体χ(2)的空间对称性, 只有
(2)
(,
)
中三个脚标都不相同的元素才不为零。
所以, 如对于寻常光和非常光分别按（4.2-2）式展开,
就可以得到它们的P0x和P0y分量皆为零, 但对P0z分量两 者不同: 非常光的P0z=0, 寻常光的P0z≠0。 对于寻常光 来说,
2(2) (,0)E0
第4章 二阶非线性光学效应
1. 折射率椭球几何法描述 在第三章, 我们利用折射率椭球详细地讨论了光波 在介质中的传播特性。 在主轴坐标系中的折射率椭球 表示式为
x2 nx2
y2 yx2
z2 zx2
1
第4章 二阶非线性光学效应
由上面的讨论已知, 由于直流电场E0的存在, 引起 了介电常数张量的变化, 也就引起了折射率椭球方程的 系数1/n2x、 1/n2y、 1/n2z发生变化。 因此, 在有直流电 场存在时, 应将折射率椭球方程写成如下一般的形式:
E E0ae c
(4.2-1)
式中, E0为光波电场的振幅, a为光振动方向的单位 矢量, k为光波传播方向的单位矢量, 则由于二次非线性
效应产生的直流极化强度为
P0 20 (2) (,) : EE 20 E0 2 (2) (,) : aa
(4.2-2)
第4章 二阶非线性光学效应
根据上面的假定, 光波在KDP晶体中传播时, 其寻
将（4.3-7）式~（4.3-9）式分别代入（4.3-4）式~（4.3-6） 式, 并令
第4章 二阶非线性光学效应
dE(1, t )
dz
i12
k1c2
[ (2) (3,2 )
:
a(1)a(3)a(2 )]E(3,
z ) E (2 ,
z)eikz
(4.3-11)
dE(2 , t )
dz
i22
k2c2
这类晶体未加电场时, 光学性质是各向同性的, 其 折射率椭球为旋转球面, 方程式为
x2+y2+z2=n20
(4.1-30)
式中, x、 y、 z取晶轴方向, 它们的线性电光张量矩阵为
第4章 二阶非线性光学效应
0 0 0
0
0
0
0 0 0
41 0
0
0
0
41
0
0
41
(4.1-31)
因此, 外加直流电场E0后的折射率椭球方程为
k现22 Ek将33(（E42(,.3z-)31, 6z）) ,式再乘将所k得11 三,E（式(相41.,3加z-)1,8可）得式, （的4复.3-数17共）式轭
k1
1
E (1 ,
z)
dE(1,
dz
z)
k2
2
E (2 ,
z)
dE (2 ,
dz
z)
k3
3
E (2 ,
z)
dE(3,
dz
z)
0
(4.3-19)
第4章 二阶非线性光学效应
在得到上式时已利用了关系ω1+ω2=ω3。 现再取 （4.3-19）式的复数共轭并与（4.3-19）式相加, 有
0 0 0
0
0
0
0 0 0
41 0
0
0
0
41
0
0
63
(4.1-20)
第4章 二阶非线性光学效应
当外加直流电场E0=0时, KDP晶体的折射率椭球方 程为
x2 no2
y2 no2
z2 ne2
1
(4.1-21)
晶体外加直流电场E0时, 折射率椭球方程应为
x2 n12
y2 n22
z2 n32
2 yz n42
2zx n52
2xy n62
1
(4.1-22)
第4章 二阶非线性光学效应
由（4.1-19）式关系, 有
1 n2
1
0,
1 n2
4
41E1
1 n2