人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第8章 立体几何 第1节 空间几何体的结构及其三视图、直观图

规律方法 空间几何体展开图的应用与关键
1.应用展开图可以解决以下问题:(1)求几何体表面积或侧面积;(2)求几何
体表面上两个点的最短表面距离.
2.找到几何体的展开图和原几何体的形状与数量关系是解决此类问题的
重点.
对点训练3如图,四棱锥的底面是正方形,顶点P在底面上的投影是底面正方
形的中心,侧棱长为4,侧面的顶角为30°.过点A作一截面与PB,PC,PD分别相
下关系: S 直观图=
2
S 原图形,S 原图形=2
4
2S 直观图.
研考点 精准突破
考点一
空间几何体的结构特征
例1(1)给出下列命题:
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;
③棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.
反例法
出一个反例即可
对点训练1下列命题正确的是(
)
A.两个面平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台
B.两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.以直角梯形的一条与底垂直的腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形
成的面所围成的旋转体是圆台
D.用平面截圆柱得到的截面形状只能是圆和矩形
答案:C
解析:如图所示,可排除选项A,B,选项C正确.只有截面
选项,故选A.
考向2由空间几何体的三视图还原直观图
例5(2022吉林东北师大附中模拟)如图为某几何体的三视图,则该几何体的
最长的棱的长度为(
A.
5
2
3
B.
2
C. 3
D.2
)
答案:B
解析:由三视图得出原几何体为三棱锥A-BCD,将其补成一正方体,如图所
示,最长的棱为AC,
因为 BC=
故选 B.
12
1 2
+( )
2
=
5
,所以
2
AC=
2
+
2
=
12
+(
5 2
)
2
=
3
.
2
规律方法 由三视图还原到直观图的思路
对点训练5某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M
在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B,则在
此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为(
从而AB=BC= 2 ,所以AB2+BC2=AC2,即AB⊥BC,故△ABC是等腰直角三角
形.故选C.
(2)(方法1)根据题意,建立如图①所示的平面直角坐标系,再按照斜二测画
法画出其直观图,如图②所示.
1
3
由斜二测画法可知,A'B'=AB=a,O'C'= OC= a.
2
4
2
6
1
1
6
6 2
作 C'D'⊥A'B'于点 D',则 C'D'= O'C'= a,S△A'B'C'= A'B'·
确认;二要熟悉常见几何体的三视图.
对点训练4 (2022江西萍乡二模)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分
别为BC,CC1的中点,过点A,E,F作一截面,该截面将正方体分成上下两部分,
则下部分几何体的正视图为(
)
答案: A
解析:如图,由于EF∥AD1,由题意得此截面为AEFD1,由图可知正视图应为A
第八章
第一节 空间几何体的结构及其三视图、
直观图
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
课标解读
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结
构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简
单物体的结构.
2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、
圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上
述三视图所表示的立体模型,会用斜二测画法
所以“三棱锥P-ABC是正四面体”是“三棱锥P-ABC是正三棱锥”的充分不必
要条件,即A错;
因为一个正三棱锥可能是正四面体,也可能不是正四面体,所以“三棱锥PABC不是正四面体”是“三棱锥P-ABC是正三棱锥”的既不充分也不必要条
件,即B错;
由正三棱锥的底面是正三角形,得选项C正确;
因为正三棱锥有一个面是正三角形,其他面是等腰三角形,但正三角形不一
(4)底面与水平面平行放置的圆柱的正视图和侧视图为全等的矩形.
2.斜二测画法中的“三变”与“三不变”
坐标轴的夹角改变,
“三变” 与轴平行的线段的长度变为原来的一半,
图形改变
平行性不改变,
“三不变” 与轴和轴平行的线段的长度不改变,
相对位置不改变
3.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以
2
S
4 原图形.
2.在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x'轴或y'轴平行,原图中
不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线,原图中的曲线段可
以通过取一些关键点,作出在直观图中的相应点后,用平滑的曲线连接而
画出.
对点训练2如图所示的是水平放置的△ABC的直观图,D是BC上一点,点D在
直观图中的对应点是D',且D'C'<D'B',又A'D'∥y'轴,那么原△ABC中的
AB,AD,AC三条线段中(
)
A.最长的是AB,最短的是AC
B.最长的是AC,最短的是AB
C.最长的是AB,最短的是AD
D.最长的是AD,最短的是AC
答案:C
解析:由题意得到原来△ABC的平面图如图,
其中,AD⊥BC,BD>DC,则 AB= 2 + 2 > 2 + 2 =AC>AD,
所以在三角形APA'中,
由余弦定理得AA'2=PA2+PA'2-2×PA×PA'×cos 120°
=16+16-2×4×4×
1
−
2
=48,所以 AA'=4 3.
考点四
空间几何体的三视图(多考向探究)
考向1由空间几何体的直观图识别三视图
例4我国古代数学家利用“牟合
方盖”(如图甲)找到了球体体积
的计算方法.“牟合方盖”是由两
画出它们的直观图.
3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三
视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.
衍生考点
核心素养
1.空间几何体
的结构特征
2.直观图
1.直观想象
3.空间几何体
2.逻辑推理
的侧面展开问
3.数学运算
题
4.空间几何体
的三视图
强基础 固本增分
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
多面体是一个封闭的几何体,是由平面多边形围成的,没有曲面
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
侧棱
侧面形状
互相 平行
且
全等
平行且相等
平行四边形
多边形
互相 平行
且 相似
相交于 一点 ,但不一 延长线交于
定相等
三角形
一点
梯形
微点拨1.多面体的关系:
棱柱
棱锥
棱台
2.特殊的四棱柱
四棱柱
长方体
平行六面体
正四棱柱
直平行六面体
与圆柱的母线平行或垂直时,截得的截面形状为矩形或圆.
考点二
直观图
例2(1)(2023上海静安模拟)如图,△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直
观图,其中O'C'=O'A'=2O'B',则以下说法正确的是(
)
A.△ABC是钝角三角形
B.△ABC是等边三角形
C.△ABC是等腰直角三角形
D.△ABC是等腰三角形,但不是直角三角形
②原图形中平行于坐标轴的线段,在直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴
保持原长度不变
和z轴的线段长度在直观图中
,平行于y轴的线
段长度在直观图中
变为原来的一半
.
常用结论
1.常见旋转体的三视图
(1)球的三视图都是半径相等的圆.
(2)底面与水平面平行放置的圆锥的正视图和侧视图为全等的等腰三角形.
(3)底面与水平面平行放置的圆台的正视图和侧视图为全等的等腰梯形.
(2)已知△ABC是边长为a的正三角形,用斜二测画法画出的△ABC的平面
直观图△A'B'C'的面积为(
6 2
A. a
16
3 2
B. a
32
)
3 2
C. a
16
D.
6 2
a
8
答案:(1)C (2)A
解析:(1)根据斜二测画法还原△ABC,如图,设A'C'=2,则可得
OB=2O'B'=1,AC=A'C'=2,
所以△ABC中,AB,AD,AC三条线段中最长的是AB,最短的是AD.
考点三
空间几何体的侧面展开问题
例3(1)(2022河南开封三模)已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个
半圆,则该圆锥的母线长为(
A. 2
)
B. 3
C.2
(2)(2022浙江模拟预测)如图,S-ABC是正三棱锥且
侧棱长为a,E,F分别是SA,SC上的动点,三角形BEF
方观察几何体画出的轮廓线.
, 宽相等
正俯
.
一样长, 侧俯
一样宽;看
3.空间几何体的直观图
(1)画法:常用斜二测画法.
九十度画一半,横不变,纵减半,平行关系不改变,画出图形更直观
(2)规则
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x'轴、y'轴的夹角为
45°(或135°) ,z'轴与x'轴 垂直 .
扇环
圆
—
微点拨旋转体要抓住“旋转”这一特点,弄清底面、侧面及展开图的形状.
2.空间几何体的三视图
眼见为实,不见为虚
(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别是从几何体的
正前
方、 正左
方、 正上
(2)三视图的画法
①基本要求: 长对正
②画法规则:
正侧
不到的轮廓线画 虚 线.
, 高平齐
一样高,
其中正确命题的个数是(
A.0
B.1
C.2
)
D.3
(2)(2022海南高考诊断试卷五)“三棱锥P-ABC是正三棱锥”的一个必要不充
分条件是(
)
A.三棱锥P-ABC是正四面体
B.三棱锥P-ABC不是正四面体
C.有一个面是正三角形
D.△ABC是正三角形且PA=PB=PC
答案:(1)A (2)C
解析:(1)①不一定,只有当这两点的连线平行于轴时才是母线;②不一定,当
交于点E,F,G,则四边形AEFG周长的最小值是
.
答案:4 3
解析:依题意,四棱锥为正四棱锥,且每个侧面的顶角为30°,将四棱锥P-
ABCD的侧面沿PA展开,如图,点A展开后分别为点A与点A',则PA=4,且
∠APA'=120°,
则当点E,F,G在直线AA'上时,四边形AEFG的周长最小,
最小值为AA'.
C'D'= a× a= a .
2
8
2
2
8
16
3 2
2
6 2
(方法 2)易得原图形△ABC 的面积 S= a ,所以 S 直观图= S 原图形= a .
4
4
16
规律方法 1.在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段的位置,注意“三变”
与“三不变”;平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系是
S直观图=
以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是
圆锥,如图所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;③错误,棱台的上、下
底面相似且是对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不
一定相等.
(2)三棱锥P-ABC是正三棱锥等价于有一个面是正三角形,其他面是等腰三
角形,
因为三棱锥P-ABC是正四面体等价于四个面是全等的正三角形,
等腰三角形△SBC,△SCA,△SAB',如图,连接BB',交
SC于点F,交SA于点E,则线段BB'就是△BEF的最小
周长,BB'= 2 a,又SB=SB'=a,则
SB2+SB'2=BB'2=2a2,∴△SBB'是等腰直角三角
1
形,∠BSB'=90°,∴∠ASC=90°× =30°,
3
∴侧棱SA与SC的夹角为30°,故选A.
的周长的最小值为 2 a,则侧棱SA与SC的夹角为
(
)
A.30° B.60°
C.20°D.90°
D.2 2
答案:(1)C (2)A
解析:(1)依题意可知,半圆的弧长为2π×1=2π,圆心角的弧度数为π,由弧长
2π
公式可得该圆锥的母线长为 π =2.故选C.
(2)把正三棱锥沿SB剪开并展开,形成三个全等的
正方体
微思考有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗?
提示:不一定.如
(2)旋转体的结构特征
名称
要注意旋转轴及形成旋转体的平面图形
圆柱
圆锥
圆台
球
互相平行且相等,
垂直 于底面
相交于
一点
延长线交于
一点
—
全等的 矩形
全等的
等腰三角形
全等的
等腰梯形
图形
母线
轴截面
形状
侧面展开
图形状
矩形
扇形
个圆柱分别从纵横两个方向嵌
入一个正方体时两圆柱公共部
分形成的几何体.图乙所示的
几图依次是(
)
答案:C
解析:由三视图的定义,结合直观图可知正视图为②;侧视图为①;俯视图为
④.
规律方法 由直观图确定三视图,一要根据三视图的含义及画法和摆放规则
A.2 17
C.3
B.2 5
D.2
)
答案:B
解析:由三视图可知,该几何体为如图①所示的圆柱,该圆柱的高为2,底面周
长为16.画出该圆柱的侧面展开图,如图②所示,连接MN,则MS=2,SN=4,则
从M到N的路径中,最短路径的长度为.故选B.
定是△ABC,所以“△ABC是正三角形且PA=PB=PC”是“三棱锥P-ABC是正
三棱锥”的充分不必要条件,即D错.故选C.
规律方法 辨别空间几何体的2种方法
紧扣定义,由已知构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中
定义法
的线面关系或增加线、面等基本要素,根据定义进行判定
通过反例对结构特征进行辨析,要说明一个结论是错误的,只需举