人教A版高中数学必修五湖北新课改专用作业：第4章 点、直线、平面之间的位置关系4.1.2

第四章 4.1.2
(建议用时：40分钟)
1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有()
A．3条B．4条
C．6条D．8条
C解析画一个正方体，可知满足题意的棱有6条．
2．下列命题中正确的个数是()
①没有公共点的两条直线是平行直线；②互相垂直的两条直线是相交直线；③既不平行又不相交的两条直线是异面直线；④不在同一平面内的两条直线是异面直线．A．1 B．2
C．3 D．4
A解析只有③正确．故选A项．
3．若空间两个角α与β的两边对应平行，则当α＝60°时，β＝()
A．30°
B．30°或120°
C．60°
D．60°或120°
D解析因为空间两个角α与β的两边对应平行，所以这两个角相等或互补．因为α＝60°，所以β＝60°或120°.
4．直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是() A．相交
B．平行
C．异面
D．以上都有可能
D解析a与c平行、相交、异面都有可能．
5．下列说法中正确的个数为()
①两直线若不是异面直线，则必相交或平行；②过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线；③和两条异面直线都相交的两条直线必是异面直线．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
B 解析 对于①，因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种，即平行、相交或异面，故①正确；对于②，过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内过该点的直线是相交直线，故②不正确；对于③，和两条异面直线都相交的两直线不一定是异面直线，故③不正确．
6．如图，空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，若CD ＝2AB ，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
A 解析 取AD 的中点H ，连接FH ，EH ，则EH ∥CD ，FH ∥A
B ．∠FEH 是EF 与CD 所成的角，∠EFH 是EF 与AB 所成的角．因为EF ⊥AB ，所以在△EFH 中，∠EFH ＝90°.因为CD ＝2AB ，所以HE ＝2HF ，所以∠FEH ＝30°.
二、填空题
7．在棱长为a 的正方体AC ′中，异面直线BD ′与AA ′所成的角的正弦值为________. 解析 连接BD ，BD ′.易知BD ′与AA ′所成的角为∠BD ′D ， 在Rt △BD ′D 中，sin ∠BD ′D ＝BD BD ′＝2a 3a ＝63.
答案
6
3
8．若正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则B 1D 与CD 1所成角为________. 解析 如图，在正方体AC 1旁补一个同样的正方体BF 1，连接B 1E ，易知B 1D 与CD 1
所成的角为∠DB 1E .
连接DE ，因为B 1D ＝3，B 1E ＝2，DE ＝5，
所以B1D2＋B1E2＝DE2，所以∠DB1E＝90°.
答案90°
9．已知空间四边形ABCD，AB≠AC，AE是△ABC的BC边上的高，DF是△BCD的BC边上的中线，则AE和DF是________(平行，相交，异面)直线．
解析由题设条件可知点E，F不重合，设△BCD所在平面为α，所以DF⊂α，A∉α，E∈α，E∉DF，所以AE和DF是异面直线．
答案异面
三、解答题
10．如图，AB是圆O的直径，点C是AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．
解析因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC．
因为点C是AB的中点，所以BC＝AC，
所以∠ABC＝45°.
在△VBC中，因为D，E分别为VB，VC的中点，
所以DE∥BC，
所以DE与AB所成的角为∠ABC＝45°.
11．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点．
(1)求直线AB1和直线CC1所成的角的大小；
(2)求直线AB1和直线EF所成的角的大小．
解析 (1)连接DC 1.因为DC 1∥AB 1，
所以直线DC 1和CC 1所成的锐角∠CC 1D 就是直线AB 1和CC 1所成的角．因为∠CC 1D ＝45°，所以直线AB 1和CC 1所成的角的大小是45°.
(2)连接DA 1，A 1C 1.
因为E ，F 分别为AD ，AA 1的中点，所以EF ∥A 1D ． 又因为AB 1∥DC 1，所以∠A 1DC 1是直线AB 1和EF 所成的角． 因为△A 1DC 1是等边三角形，所以∠A 1DC 1＝60°， 即直线AB 1和EF 所成的角的大小是60°.
12．如图所示，等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，BC ＝2，DA ⊥AC ，DA ⊥AB ，若DA ＝1，且E 为DA 的中点，求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．
解析 取AC 的中点F ，连接EF ，BF .
在△ACD 中，E ，F 分别是AD ，AC 的中点，所以EF ∥CD ， 所以∠BEF 即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角(或其补角)．
在Rt △ABC 中，BC ＝2，AB ＝AC ，所以AB ＝AC ＝1. 在Rt △EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，所以BE ＝5
2.
在Rt △AEF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，所以EF ＝2
2.
在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，所以BF ＝5
2
.
在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝10
10
，
所以异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010
. 四、选做题
13．过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，这样的直线l 可以作________条．
解析 如图，显然AC 1与AB ，AD ，AA 1所成的角相等．
以AA 1为中心，摆放四个同样大小的正方体，则这每一个正方体内以A 为端点的体对角线所在直线与AB ，AD ，AA 1所成的角相等．故共有4条直线符合题意．
答案 4
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