数学高考总复习同步优化探究理数(北师大版)练习第二章第十一节定积分与微积分基本定理含解析

课时作业 A 组——基础对点练
1.⎠⎛01e x d x 的值等于( ) A ．e B ．1－e C ．e －1
D.1
2(e －1)
解析：⎠⎛0
1e x d x ＝e x |1
0＝e 1－e 0＝e －1.
答案：C
2．定积分⎠⎛01
(2x ＋e x
)d x 的值为( )
A ．e ＋2
B ．e ＋1
C ．e
D ．e －1
解析：⎠⎛0
1
(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪
1
＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，因此选C. 答案：C
3.已知二次函数y ＝f (x )的图像如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( ) A.2π5 B.43 C.32
D.π2
解析：由题中图像易知f (x )＝－x 2
＋1，则所求面积为2⎠⎛01
(－x 2
＋1)d x ＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 3
3＋x ⎪⎪⎪
10
＝43. 答案：B
4．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43 B ．2 C.83
D.1623
解析：由题意知抛物线的焦点坐标为(0,1)，故直线l 的方程为y ＝1，该直线与抛
物线在第一象限的交点坐标为(2,1)，根据对称性和定积分的几何意义可得所求的
面积是2⎠⎛02
⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 312⎪⎪⎪
2
＝83. 答案：C
5．(2018·保定模拟)从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为
( )
A.1
2g B ．g C.32g
D ．2g
解析：由题意知电视塔高为：⎠⎛12gt d t ＝12gt 2|21＝2g －12g ＝3
2g . 答案：C
6.(2018·长沙模拟)若⎠⎛01(x 2＋mx )d x ＝0，则实数m 的值为( )
A ．－13
B ．－2
3 C ．－1
D ．－2
解析：由题意知⎠⎛0
1(x 2
＋mx )d x ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 3
3＋mx
2
2
|10＝13＋m
2＝0，得m ＝－23.
答案：B
7．如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( ) A ．1 B.43 C. 3
D ．2
解析：由⎩⎨⎧
y ＝－x 2＋2x ＋1，
y ＝1，
得x 1＝0，x 2＝2.
所以S ＝⎠⎛0
2(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝⎠
⎛0
2(－x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋x 2|2
0＝－83＋4＝43.
答案：B
8．(2018·厦门模拟)定积分 ( ) A ．5 B ．6 C ．7
D ．8
解析：
答案：D
9．(2018·衡阳模拟)如图，阴影部分的面积是( )
A ．32
B ．16 C.323
D.83
解析：由题意得，阴影部分的面积＝
答案：C
10．设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( ) A ．1 B.13 C.23
D.43
解析：由⎩⎨⎧
y ＝x 2，
y ＝1，
得x ＝±1.如图，由对称性可知，
S ＝2⎝⎛⎭⎫1×1－⎠⎛01
x 2d x ＝2⎝
⎛⎭⎪⎫1×1－13x 3
⎪⎪⎪
1
0＝43，选D.
答案：D
11．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B ．4 C.163
D ．6
解析：如图，阴影部分面积即为所求，求得曲线y ＝x 与直线y ＝x －2的交点为A (4,2)，
∴所求阴影部分面积 S 阴＝⎠⎛0
4(x －x ＋2)d x
答案：C
12.⎠⎛03
(x 2
＋1)d x ＝ .
解析：⎠⎛03(x 2
＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪
30
＝13×33＋3＝12.
答案：12
13．若⎠⎛0T
x 2
d x ＝9，则常数T 的值为 ． 解析：∵⎠⎛0T x 2d x ＝13T 3＝9，T ＞0，∴T ＝3.
答案：3
14．汽车以72 km/h 的速度行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以等减速度a ＝4 m/s 2刹车，则汽车从开始刹车到停止走的距离为 m.
解析：先求从刹车到停车所用的时间t ， 当t ＝0时，v 0＝72 km/h ＝20 m/s ，
刹车后，汽车减速行驶，速度为v (t )＝v 0－at ＝20－4t . 令v (t )＝0，可得t ＝5 s ，
所以汽车从刹车到停车，所走过的路程为：
⎠⎛0
5
(20－4t )d t ＝(20t －2t 2)|50＝50(m)． 即汽车从开始刹车到停止，共走了50 m. 答案：50
B 组——能力提升练
1．定积分⎠⎛12x 2＋1
x d x 的值为( ) A.3
2＋ln 2 B.3
4 C ．3＋ln 2 D.12
解析：⎠⎛1
21＋x 2
x d x ＝⎠⎛12
⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x d x ＝⎠⎛121x d x ＋⎠⎛12x d x ＝ln x ⎪⎪⎪
2
1
＋12x 2⎪⎪⎪
2
1＝ln 2－ln 1＋12×22－12×12＝3
2＋ln 2.故选A. 答案：A
2．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )
A ．－1
B ．－13 C.1
3
D ．1
解析：由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，
设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，∴f (x )＝x 2＋2m ，
⎠⎛0
1f (x )d x ＝
⎠⎛0
1(x 2＋2m )d x ＝⎝
⎛⎭⎪⎫13x 3＋2mx |10＝1
3
＋2m ＝m ，∴m ＝－
13. 答案：B
3.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( ) A.14 B.15 C.16
D.17
解析：阴影部分的面积为⎠⎛01
(x －x )d x ＝故所求的概
率P ＝
阴影部分的面积正方形OABC 的面积
＝1
6，故选C.
答案：C
4．(2018·咸阳模拟)曲线y ＝2
x 与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形的面积为( ) A ．2ln 2 B ．2－ln 2 C ．4－ln 2
D ．4－2ln 2
解析：由曲线y ＝2
x 与直线y ＝x －1联立，解得x ＝－1或x ＝2，如图所示，故所求图形的面积
S ＝⎠⎛24⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－2x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x 2－x －2ln x |42 ＝4－2ln 2.
答案：D
5．一物体在力F (x )＝⎩⎨⎧
10 ，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2，(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的
方向运动了4米，则力F (x )所做的功为( ) A ．44 J
B ．46 J
C ．48 J
D ．50 J
解析：力F (x )所做的功为＝20＋26＝46(J)．
答案：B
6．设实数a ，b 均为区间[0,1]内的随机数，则关于x 的不等式bx 2
＋ax ＋1
4＜0有
实数解的概率为( ) A.12 B.16 C.13
D.23
解析：当b ＝0时，不等式要有实数解必有a ≠0，此时点(a ，b )构成的图形为直线；当b ≠0时，不等式bx 2＋ax ＋1
4＜0有实数解，则需满足a 2－b ＞0，即a 2＞b ，
满足此条件时对应的图形的面积为⎠⎛01a 2d a ＝13a 3| 1
0＝13
，而在区间[0,1]内产生的两个随机数a ，b 对应的图形面积为1，所以不等式bx 2
＋ax ＋1
4＜0有实数解的概率
P ＝131＝1
3，故选C. 答案：C
7．已知S 1＝⎠⎛12x d x ，S 2＝⎠⎛12e x d x ，S 3＝⎠⎛12x 2d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )
A ．S 1<S 2<S 3
B ．S 1<S 3<S 2
C ．S 3<S 2<S 1
D ．S 2<S 3<S 1
解析：∵S 1＝⎠⎛1
2x d x ＝
x 22|21＝2－12＝32
， S 2＝⎠⎛1
2e x d x ＝e x |21＝e 2
－e ＝e(e －1)，
S 3＝⎠⎛12x 2d x ＝x 33|21＝83－13＝73，
∴S 1<S 3<S 2，故选B. 答案：B
8．等比数列{a n }中，a 3＝9，前3项和为S 3＝3⎠⎛0
3x 2d x ，则公比q 的值是( )
A ．1
B ．－12
C ．1或－1
2
D ．－1或－1
2
解析：∵⎠⎛03x 2d x ＝1
3x 3|30＝9，∴S 3＝3×9＝27.
∴⎩⎨⎧
a 3＝a 1q 2＝9，S 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝27， 解得q ＝1或q ＝－1
2. 答案：C
9．如图，曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 和直线x ＝0，x ＝π
2所围成的阴影部分平面区域的面积为( )
解析：曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4，22，由图像的对称性可知阴影部分
面积为＝所以本题的正确选
项为 D. 答案：D
10．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
f (x －4)，x >1，e x ＋⎠⎛121t d t ，x ≤1，则f (2 016)＝( )
A ．0
B ．ln 2
C ．1＋e 2
D ．1＋ln 2
解析：当x >1时，f (x )＝f (x －4)，∴f (x )在(－3，＋∞)上是周期为4的周期函数，f (2 016)＝f (504×4＋0)＝f (0)＝e 0＋⎠⎛121
t d t ＝e 0＋ln t |21＝1＋ln 2，故选D.
答案：D
11．设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若⎠⎛02f (x )d x ＝2f (x 0)，x 0>0，则x 0＝( )
A.33
B.233
C.32
D ．3
解析：∵函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，⎠⎛02f (x )d x ＝2f (x 0)，
∴⎠⎛0
2(ax 2＋b )d x ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫a 3x 3＋bx |20＝83a ＋2b,2f (x 0)＝2ax 2
0＋2b ， ∴83a ＝2ax 2
0，∴x 0＝233，故选B. 答案：B
12.⎠⎛02(x －1)d x ＝ .
解析：⎠
⎛0
2(x －1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪
2
0＝12×22－2＝0.
答案：0
13．正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1,1)，D (－1,1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是 ．
解析：由几何概型的概率计算公式可知，所求概率
答案：23
14．由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是 ．
解析：把阴影部分分成两部分求面积．
答案：423＋76
15．(2018·泉州模拟)⎠⎛01⎝
⎛
⎭⎪⎫1－x 2＋12x d x ＝ .
解析：⎠⎛
01⎝
⎛⎭⎪⎫1－x 2
＋12x d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＋⎠⎛0112x d x ，⎠⎛0112x d x ＝1
4，⎠⎛0
11－x 2d x 表示四分之一单位圆的面积，为π
4，所以结果是π＋14. 答案：π＋14。